Sakārtotā patch teorija

Sākotnējais uzdevums T-4: MDL / parsimonijas salīdzinājums Problēma: aktuālais preprints apgalvo parsimonijas priekšrocību pār standarta fiziku, traktējot fizikas likumus kā makroskopiskus saspiešanas algoritmus, taču nesniedz formālu MDL salīdzinājumu. Nodevums: salīdzinoša MDL analīze starp OPT un etalonfizikas modeļu klasēm, izmantojot eksplicītas kodēšanas konvencijas.

Noslēguma statuss: SLĒGTS (ar nosacījumu par tipiskumu un IC normalizāciju). Šis pielikums sniedz formālo MDL izvērtējumu, ko pieprasa T-4. Ir fiksētas trīs etalonmodeļu klases ar eksplicītām kodēšanas konvencijām. Ir pierādītas četras teorēmas un formulēta viena konjektūra: (T-4a) OPT selektora likumam ir \mathcal{O}(1) apraksta garums; (T-4b) Solomonofa dominance ierobežo OPT log-loss no augšas; (Konjektūra T-4c) pieņēmuma līmenī OPT strukturālās priekšrocības avots ir sākuma nosacījumu saspiešana; (T-4d) OPT sasniedz pastāvīgu, konstanta bitu skaita modeļa sarežģītības priekšrocību pār jebkuru aprēķināmu etalonu; (T-4e) galīga T gadījumā priekšrocība ir nosacīti kvantificēta. Noslēgums balstās uz trim slodzi nesošiem nosacījumiem: novērotāja plūsmas tipiskumu, Solomonofa normalizācijas soda locekļa \log(1/\xi(\mathcal{O})) absorbciju un stāvokli K(\text{IC} \mid \text{SP}) > K_0.

§1. MDL kodēšanas konvenciju fiksēšana

MDL salīdzinājumi ir bezjēdzīgi bez skaidri noteiktām, fiksētām kodēšanas konvencijām. Preprinta §5.1 atzīmē šo prasību, bet to atliek. Šeit mēs fiksējam konvencijas, sekojot Risenam (1978) [12] un Li & Vitāņi (2008) [27] divdaļīgajam MDL ietvaram.

1.1 Divdaļīgais koda garums

Hipotēžu klasei \mathcal{M} un novērojumu virknei y_{1:T} \in \{0,1\}^* divdaļīgais MDL koda garums ir:

L_T(\mathcal{M}) = K(\mathcal{M}) + L(y_{1:T} \mid \mathcal{M}) \tag{preprint §5.1, Eq. 13}

kur K(\mathcal{M}) ir hipotēzes prefiksa Kolmogorova sarežģītība — īsākās pašnorobežojošās programmas garums uz fiksētas universālas Tjūringa mašīnas (UTM), kas izvada pilnīgu \mathcal{M} aprakstu, — un L(y_{1:T} \mid \mathcal{M}) ir datu negatīvā logaritmiskā ticamība zem \mathcal{M} labākā prediktīvā modeļa:

L(y_{1:T} \mid \mathcal{M}) = -\log_2 P_\mathcal{M}(y_{1:T})

Deterministiskām teorijām (likumi + IC viennozīmīgi nosaka novērojumus) L(y_{1:T} \mid \mathcal{M}) = 0, ja y ir saskanīgs ar teoriju, un citādi L = \infty. Visi logaritmi ir ar bāzi 2; visi koda garumi ir bitos.

1.2 Universālā mašīna

Viscaur fiksējam vienu optimālu UTM \mathcal{U}. Visas Kolmogorova sarežģītības ir relatīvas pret \mathcal{U}; rezultāti, izvēloties citu UTM, mainās ne vairāk kā par \mathcal{O}(1) bitiem. Solomonofa mērs \xi ir definēts relatīvi pret \mathcal{U} (priekšpublicējuma 1. vien.). Tas nosaka konvenciju visiem turpmākajiem salīdzinājumiem.

1.3 y_{1:T} tvērums

Mēs salīdzinām modeļus tajā domēnā, kura prognozēšanai katrs no tiem ir paredzēts: novērotāja apzinātajā plūsmā y_{1:T} = z_{0:T} (saspiesto latento stāvokļu secība, C_{\max} biti sekundē T sekunžu garumā). Standarta fizika tiek vērtēta tajā pašā domēnā, reducējot tās prognozes uz novērotājam saderīgo plūsmu ar rupjo graudojumu. Abām teorijām tiek prasīts izskaidrot tieši vienus un tos pašus novērojumus.

§2. Etalonmodeļu klases

Tiek fiksētas trīs etalonklases. Katrai tiek piešķirts eksplicīts K(\mathcal{M}) novērtējums saskaņā ar mūsu UTM konvenciju. Precīzās skaitliskās vērtības ir kārtas līmeņa novērtējumi; strukturālie rezultāti §§3–7 ir atkarīgi tikai no sakārtojuma, nevis no precīzajām vērtībām.

2.1 \mathcal{M}_1 — Standarta modelis + vispārējā relativitāte

Pašlaik pieejamā fizikas teorija ar visaugstāko prediktīvo precizitāti. Tās aprakstam nepieciešami trīs komponenti:

• Matemātiskā struktūra K_{\text{struct}}: kalibrēšanas grupa \text{SU}(3) \times \text{SU}(2) \times \text{U}(1), Lorenca invariance, renormalizējamība un VR difeomorfismu simetrija. Kolmogorova sarežģītība: K_{\text{struct}} \approx 10^3 biti.

• Parametru vērtības K_{\text{param}}: 19 SM brīvie parametri + 3 sajaukšanās leņķi + 1 CP fāze + \Lambda + G + c \approx 25 konstantes, kas iekodētas ar eksperimentālo precizitāti (\sim 30 biti katra): K_{\text{param}} \approx 750 biti.

• Sākuma nosacījumi K_{\text{IC}}: inflācijas paradigmas ietvaros K_{\text{IC}}^{\text{inf}} \approx 200–400 biti. Piezīme: mēs šeit nevērtējam Penrouza 10^{123} termodinamiskās entropijas robežu, jo tā mēra makroskopiskās fāžu telpas tilpumu (S), nevis specifisku algoritmisko Kolmogorova sarežģītību (K). Konkrētais mikrostāvoklis var būt ļoti saspiežams. Mēs balstāmies vienīgi uz korektajām inflācijas robežām.

K(\mathcal{M}_1) = K_{\text{struct}} + K_{\text{param}} \approx 1750 \text{ bits}

K(\text{IC} \mid \mathcal{M}_1) \approx 300 \text{ bits (inflationary)}

2.2 \mathcal{M}_2 — Vispārīga renormalizējama QFT

Visu renormalizējamo kvantu lauka teoriju klase \leq 4 telplaika dimensijās. Šī klase satur \mathcal{M}_1 kā vienu no saviem elementiem. Tā kā jānorāda arī kalibrēšanas grupa un daļiņu saturs:

K(\mathcal{M}_2) \gg K(\mathcal{M}_1) \gg 1750 \text{ bits}

\mathcal{M}_2 ir iekļauta kā kontrastējošs piemērs OPT apgalvojumam, ka likumi tiek atlasīti, nevis uzskaitīti. Lai gan MDL salīdzinājumu ar \mathcal{M}_2 triviāli uzvar jebkura galīga apakšklase (tostarp \mathcal{M}_1), jo K(\mathcal{M}_2) ir neierobežots, tās iekļaušana formāli kalpo tam, lai demonstrētu parametru atlases problēmas bezgalīgo mērogu, ko Stabilitātes filtrs dabiski kolapsē.

2.3 \mathcal{M}_3 — Bolcmaņa smadzenes / termiskā fluktuācija

Standarta fizika ar maksimāli vienkāršiem sākuma nosacījumiem: termisks (maksimālās entropijas) stāvoklis Planka mērogā. Likumi ir identiski \mathcal{M}_1; sākuma nosacījumi ir triviāli vienkārši:

K(\mathcal{M}_3) \approx K(\mathcal{M}_1) \approx 1750 \text{ bits}, \qquad K(\text{IC} \mid \mathcal{M}_3) \approx 10 \text{ bits}

Tomēr log-varbūtība novērot sakārtotu apzinātu plūsmu y_{1:T} pie \mathcal{M}_3 ir astronomiski maza: L(y_{1:T} \mid \mathcal{M}_3) \approx K(y_{1:T}) \gg T \cdot C_{\max}. Tādējādi \mathcal{M}_3 ir nenozīmīgas IC izmaksas, bet katastrofālas varbūtības izmaksas, un tas ir iekļauts, lai parādītu, ka OPT MDL priekšrocība netiek panākta ar to pašu paņēmienu.

§3. OPT koda garums — teorēma T-4a

OPT MDL koda garums sadalās šādi:

L_T(\text{OPT}) = K(\xi, \text{Filter}) + L(y_{1:T} \mid \xi, \text{Filter}) = K_0 + \left(-\log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T})\right)

kur \xi^{\text{Filter}} ir Solomonofa mērs \xi, kas nosacīts uz ar novērotāju saderīgo klasi \mathcal{O} (plūsmas, kas apmierina R_{\text{req}} \leq B_{\max}), un K_0 = K(\xi, \text{Filter}) ir selektora noteikuma apraksta garums.

Teorēma T-4a (meta-noteikuma sarežģītības robeža). K(\xi, \text{Filter}) = K_0 = \mathcal{O}(1) biti. Precīzāk:

K_0 \leq K(\mathcal{U}) + K(C_{\max}) + K(\Delta t) + c

kur K(\mathcal{U}) ir UTM sarežģītība, K(C_{\max}) = \mathcal{O}(\log C_{\max}) biti kodē joslas platuma slieksni ar eksperimentālu precizitāti, K(\Delta t) = \mathcal{O}(\log \Delta t) kodē atjaunināšanas logu, un c ir maza universāla konstante.

Pierādījums. Solomonofa mēru \xi viennozīmīgi nosaka fiksētā UTM \mathcal{U}, tāpēc K(\xi \mid \mathcal{U}) = \mathcal{O}(1). Stabilitātes filtram nepieciešami divi parametri: C_{\max} un \Delta t, katrs izmērīts ar \sim 4 nozīmīgajiem cipariem, tāpēc K(C_{\max}, \Delta t) \leq 2 \times (4 \times \log_2 10) \approx 26 biti. Nosacījums R_{\text{req}} \leq B_{\max} ir viena nevienādība fiksētā pierakstā: \sim 10 biti. Kopā: K_0 \leq K(\mathcal{U}) + 36 biti.

Lai godīgi absorbētu K(\mathcal{U}), mums jāpieņem “epistēmiski neitrāla” UTM — tas nozīmē atsauces mašīnu, kuras iebūvētais instrukciju kopums nekodē nevienu fizikas teoriju privileģēti (t. i., pamata kombinatoru vai Brainfuck ekvivalentu ģeometriju, pilnīgi agnostisku attiecībā pret fiziku). Pie šādas neitrālas mašīnas ir pamatoti uzturēt K(\xi, \text{Filter}) \approx 36 bitus, vienlaikus standartizējot K(\mathcal{M}_1) \approx 1750 bitus. Mēs īpaši atzīstam, ka tas padara absolūto bitu skaitu ievainojamu pret \mathcal{O}(1) konstanto mērogošanu, ja UTM tiek mainīta, kas nozīmē, ka aprēķins 36 pret 1750 pēc būtības ir relatīvs. Strukturāli godīgais matemātiskais apgalvojums šeit ir rangu sakārtojums (K_0 \ll K(\mathcal{M}_1)), kas apliecina robustu strukturālu priekšrocību neatkarīgi no precīzās skaitliskās konstantes. \blacksquare

Salīdzinājums: Izslēdzot kopīgo UTM pieskaitāmo daļu, K_0 \approx 36 biti pret K(\mathcal{M}_1) \approx 1750 bitiem. OPT selektora noteikums ir īsāks par Standarta modeļa aprakstu par K(\mathcal{M}_1) - K_0 \approx 1714 bitiem. Tā ir strukturālās parsimonijas priekšrocība, kas apgalvota priekšdrukas §5 — tagad ar eksplicītu bitu skaitu.

§4. Solomonofa dominances robeža — teorēma T-4b

Teorēma T-4b (Solomonofa dominances robeža). Jebkuram aprēķināmam fizikas mēram \nu (ieskaitot \mathcal{M}_1, \mathcal{M}_2, \mathcal{M}_3), kam K(\nu) < \infty, un jebkurai datu plūsmai y_{1:T}:

L_T(\text{OPT}) \leq L_T(\nu) + K'_0

kur K'_0 = K_0 + \log(1/\xi(\mathcal{O})). Tas reprezentē bāzes noteikuma sarežģītību plus nepieciešamo algoritmiskās normalizācijas sodu, kas rodas, nosacot universālo mēru attiecībā pret novērotāju klasi \mathcal{O}.

Pierādījums. No Solomonofa mēra definīcijas (preprinta 1. vienādojums), kur w_\nu \asymp 2^{-K(\nu)}:

\xi(y_{1:T}) \geq w_\nu \cdot \nu(y_{1:T}) \geq 2^{-K(\nu)} \cdot \nu(y_{1:T})

Ņemot negatīvos logaritmus:

-\log \xi(y_{1:T}) \leq -\log \nu(y_{1:T}) + K(\nu)

Pārejot no universālā mēra \xi uz ierobežoto filtru \xi^{\text{Filter}}, mēs maksājam normalizācijas izmaksu -\log \xi^{\text{Filter}}(y) = -\log \xi(y) + \log(1/\xi(\mathcal{O})). Aizstājot to L_T(\text{OPT}):

L_T(\text{OPT}) = K_0 - \log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T}) \leq K_0 + \log(1/\xi(\mathcal{O})) + K(\nu) - \log \nu(y_{1:T}) = K'_0 + L_T(\nu) \qquad \blacksquare

Svarīga atruna. Teorēma T-4b neparāda, ka OPT pārspēj SP. Tā parāda, ka OPT nevar darboties sliktāk par jebkuru etalonu vairāk nekā par K'_0 bitiem. Turpmāk mēs absorbējam \log(1/\xi(\mathcal{O})) iekš K_0, pieņemot, ka novērotāju secību klase ir tīri ierobežota attiecībā pret strukturālajām UTM konstantēm, taču atzīmējam šo normalizācijas plaisu kā formālu ievainojamību.

§5. Sākuma nosacījumu saspiešana — teorēma T-4c

OPT MDL priekšrocības strukturālais avots ir sākuma nosacījumu saspiešana. Standarta fizikā likumi un sākuma nosacījumi ir atsevišķi objekti, kuri abi ir jāapraksta. OPT ietvarā sākuma nosacījumi tiek absorbēti priorā: Solomonofa mērs jau piešķir vislielāko svaru vienkāršākajām novērotājam saderīgajām plūsmām, padarot atsevišķu SN specifikāciju lieku.

5.1 IC redundances arguments

Standarta fizikā (\mathcal{M}_1) pilnais MDL kods deterministiskai teorijai ir:

L_T(\text{SP}) = K_{\text{laws}} + K(\text{IC} \mid \text{laws}) + 0 \qquad \text{[deterministiska: } -\log P = 0 \text{, ja saskan]}

IC loceklis K(\text{IC} \mid \text{laws}) ir konkrēto sākotnējo nosacījumu apraksta garums pie dotajiem likumiem — tas nav atvasināms no pašiem likumiem. Šeit atrodas smalkās pielāgošanas problēmas centrs.

OPT ietvarā divdaļīgais kods ir:

L_T(\text{OPT}) = K_0 + \left(-\log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T})\right)

Loceklis -\log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T}) kodē konkrēto plūsmu pie dotā meta-noteikuma. Solomonofa prioritārais sadalījums jau ietver universālu fizikas modeli: -\log \xi(y) \approx K(y). OPT kodējumam nekad nav atsevišķi “jāmaksā” par IC.

Minējums T-4c (IC saspiešanas heiristiskā robeža). Definēsim IC saspiešanas priekšrocību:

\Delta_{\text{IC}} = K(\text{IC} \mid \text{SP laws}) - K(\text{IC} \mid \text{OPT})

Mēs izvirzām šādu heiristisku robežu:

\boxed{L_T(\text{OPT}) \leq L_T(\text{SP}) - \Delta_{\text{IC}} + K_0 + \mathcal{O}(1)}

kur K(\text{IC} \mid \text{OPT}) := K(\text{IC} \mid \xi, \text{Filter}, \text{codec}) ir sākotnējo nosacījumu atlikušais apraksta garums pie OPT pilnā modeļa. \Delta_{\text{IC}} \geq 0, un vienādība iestājas tad un tikai tad, ja Stabilitātes filtrs nesniedz nekādu papildu IC saspiešanu ārpus tā, ko jau dod likumi.

Arguments. Sākot no pilnā SP divdaļīgā koda un piemērojot Solomonofa dominanci (normalizācijas konstantes absorbējot \mathcal{O}(1) UTM ierobežojošā loceklī):

L_T(\text{OPT}) \leq K_0 + K(\text{laws}) + K(\text{IC} \mid \text{laws}) - \log P_{\text{SP}}(y) + \mathcal{O}(1)

Pārkārtojot un aizstājot L_T(\text{SP}) = K_{\text{laws}} + K(\text{IC} \mid \text{laws}) (deterministiska teorija):

L_T(\text{OPT}) \leq L_T(\text{SP}) + K_0 + \mathcal{O}(1)

OPT ietvarā -\log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T}) nav obligāti individuāli jākodē IC: Filtrs atlasa no Solomonofa prioritārā sadalījuma, kas IC saspiež jau pašā būtībā, izmantojot garuma svērumus. AIT subaditivitāte garantē, ka K(\text{IC} \mid x, f(x)) \leq K(\text{IC} \mid x) + \mathcal{O}(1). Ja postulējam, ka OPT atlases noteikums robežojas kā ciešāka aprakstoša virkne nekā vienkārša neapstrādāto likumu deklarēšana (kas ir ietvara pamatlikme, nevis matemātisks atvasinājuma pierādījums), tad atlikušais iekodētais K(\text{IC} \mid \text{OPT}) nevar būt būtiski lielāks par K(\text{IC} \mid \text{laws}). Heiristiski tas dod \Delta_{\text{IC}} \geq 0.

Aizstājot iegūstam: L_T(\text{OPT}) \leq L_T(\text{SP}) - \Delta_{\text{IC}} + K_0 + \mathcal{O}(1). \blacksquare

Piezīme. Mēs izvirzām hipotēzi, ka antropiskā saspiešana K(\text{IC} \mid \text{OPT}) \approx 0 darbojas robežgadījumā, kur Stabilitātes filtrs ir ļoti ierobežojošs un matemātiski attēlojas uz unikāli ar novērotāju saderīgiem stāvokļiem. Tas ir motivēts fizisks apgalvojums, nevis algoritmiski pierādīta unikalitātes robeža.

§6. Konstanta bitu modeļa sarežģītības priekšrocība — teorēma T-4d

Teorēma T-4d (Pastāvīga konstanta bitu MDL priekšrocība — ar nosacījumu par tipiskumu). Katram fiksētam, netriviālam aprēķināmam fizikas modelim \nu, kuram K_0 < K(\nu) < \infty, OPT formulējums nodrošina fiksētu, pastāvīgu modeļa sarežģītības priekšrocību tieši jebkuram y_{1:T} \in \mathcal{O}, kas vienlaikus ir arī \nu-tipisks. Kad virknes garums T \to \infty, kopējā koda garuma starpība ir strukturāli ierobežota:

L_T(\text{OPT}) - L_T(\nu) \to K_0 - K(\nu)

Pierādījums. No T-4b seko, ka L_T(\text{OPT}) \leq K'_0 - \log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T}). Jebkuram aprēķināmam \nu Solomonofa teorēma garantē, ka \xi konverģē uz \nu tieši uz \nu-tipiskām virknēm: mēra izteiksmē — uz \nu-gandrīz-visām y_{1:\infty}. Šeit jāatzīmē dziļa formāla spriedze: Stabilitātes filtrs izolē plūsmas, kas tiek vērtētas kā stingri zemas entropijas un strukturētas, tādējādi strukturāli kartējot tās kā netipiskas salīdzinājumā ar standarta neierobežotām maksimālās entropijas \nu-mēra plūsmām. Ja vien filtrētajai novērotāju klasei \mathcal{O} un \nu-tipiskajai klasei nav demonstrējama netriviāla matemātiska pārklāšanās, Solomonofa konverģences robežu nevar tieši izmantot. Tādēļ šī teorēma ir piemērojama nosacīti tad un tikai tad, ja konkrētā filtrētā novērotāja plūsma paliek \nu-tipiska attiecībā pret konkrētajiem etalonlikumiem (atstājot šādu teorētiski atbilstošu krustojošos plūsmu kopu formāli neraksturotu):

-\frac{1}{T} \log \xi(y_{1:T}) \to H(\nu) \quad \text{as } T \to \infty

kur H(\nu) ir \nu entropijas ātrums. Līdzīgi, -\frac{1}{T} \log \nu(y_{1:T}) \to H(\nu). Asimptotiski per-bit log-loss log-varbūtības locekļi konverģē un izlīdzinās, kas nozīmē, ka atlikusī kopējā koda garuma priekšrocība reducējas tikai uz modeļa apraksta garumu:

\left[L_T(\text{OPT}) - L_T(\nu)\right] \to K_0 - K(\nu) < 0 \qquad \text{[jo } K_0 \approx 36 \text{ pret } K(\nu) \sim 1750 \text{]}

Piezīme: lai gan kopējais koda garums saglabā šo pastāvīgo fiksēto bitu priekšrocību, per-bit priekšrocība (\frac{K_0 - K(\nu)}{T}) aktīvi sarūk līdz nullei. Tas nenozīmē asimptotiski nepārtraukti augošu priekšrocību datu akumulācijas ceļā, bet gan pastāvīgu stingru strukturālu nobīdi. \blacksquare

Skaitliska aplēse \mathcal{M}_1 gadījumā: K(\mathcal{M}_1) - K_0 \approx 1714 biti. Tiklīdz log-loss varbūtības locekļi konverģē pietiekami plašos \nu-tipisku novērojumu logos, OPT saglabā pastāvīgu matemātisku pārākumu kopējā kodējumā aptuveni 1714 bitu apmērā.

§7. Galīga-T nosacītā priekšrocība — teorēma T-4e

Galīga garuma plūsmām MDL salīdzinājums prasa, lai T-4c IC saspiešanas priekšrocība pārsniegtu K_0 pieskaitāmo izmaksu.

Teorēma T-4e (galīga-T nosacītā MDL priekšrocība). OPT iegūst stingru galīga-T MDL priekšrocību pār \mathcal{M}_1 — tas ir, L_T(\text{OPT}) < L_T(\mathcal{M}_1) — tad un tikai tad, ja ir spēkā šāds nosacījums:

\boxed{K(\text{IC} \mid \text{SP laws}) > K_0 + \log\left(\frac{1}{\xi(\mathcal{O})}\right) + \left[-\log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T}) - \left(-\log P_{\text{SP}}(y_{1:T})\right)\right]}

Labās puses iekava ir OPT log-varbūtības deficīts attiecībā pret SP konkrētajā plūsmā y_{1:T}. Nosacījums ir izpildīts vienmēr, kad IC apraksta izmaksas pārsniedz meta-likuma un OPT prognozēšanas deficīta šajā plūsmā kopējās pieskaitāmās izmaksas.

Pierādījums. Tieša manipulācija ar divdaļīgo koda garumiem:

L_T(\text{OPT}) < L_T(\text{SP}) \iff \quad K_0 + \log\left(\frac{1}{\xi(\mathcal{O})}\right) - \log \xi^{\text{Filter}}(y) < K_{\text{laws}} + K(\text{IC} \mid \text{laws}) - \log P_{\text{SP}}(y) \iff \quad K(\text{IC} \mid \text{laws}) - K_0 > \log\left(\frac{1}{\xi(\mathcal{O})}\right) + \left[-\log \xi^{\text{Filter}}(y) - \left(-\log P_{\text{SP}}(y)\right)\right] + \left[K_{\text{laws}} - K_{\text{laws}}\right]

Pārkārtojot (abiem locekļiem K_{\text{laws}} atceļas), tieši iegūstam formulēto nosacījumu. \blacksquare

7.1 Standarta kosmoloģijas nosacījuma izvērtēšana

Inflācijas kodējuma ietvarā (vislabvēlīgākais gadījums SP):

• K(\text{IC} \mid \text{SP laws}) \approx 300 biti (inflācijas parametri + e-kroku skaits + atkarsēšana)
• K_0 \approx 36 biti (T-4a)
• Log-varbūtības deficīts: Mēs funkcionāli izvirzām hipotēzi, ka OPT, aprīkota ar T-1 kartētajiem R_{T,h}(D) kodeka ierobežojumiem, novērotājam saderīgā plūsmā sasniedz vismaz tikpat robustu punktveida log-varbūtību kā standarta fizika. Ņemiet vērā, ka Solomonofa robežas stingri dod dominanci pār sagaidāmajām summām, nevis definitīvas punktveida robežas konkrētām singulārām plūsmām; tādēļ \left[-\log \xi^{\text{Filter}}(y) - \left(-\log P_{\text{SP}}(y)\right)\right] \leq 0 izsaka empīrisku strukturālu gaidu, nevis algoritmisku garantiju.

Tādēļ nosacījums reducējas uz K(\text{IC} \mid \text{SP laws}) > K_0, t. i., 300 > 36. Tas izpildās ar ievērojamu strukturālu rezervi. Nosacījums neizpildās tikai tad, ja IC izmaksā mazāk nekā \sim 36 bitus — t. i., ja mūsu visuma konkrētais IC ir strukturāli atvasināms tikai no SP likumiem, radot mazāk nekā 36 atlikušos bitus. Neviens pašreizējais kosmoloģiskais modelis to nesasniedz.

§8. Salīdzinošā MDL tabula

^* Saskaņā ar §9.2 eksplicīto kodeka identifikāciju OPT aktīvais datu loceklis reducējas uz -\log P_{K_\theta}(y) = -\log P_\text{SP}(y) = 0, tiklīdz K_\theta tiek identificēts ar SP kodeku.

§9. Salīdzinājuma robežas

9.1 K(y \mid \text{Filter}) nav aprēķināms

OPT koda garums K_0 + K(y \mid \text{Filter}) = K_0 - \log \xi^{\text{Filter}}(y) satur locekli, kas Tjūringa izpratnē nav aprēķināms (apstāšanās problēma neļauj \xi aprēķināt precīzi). Praksē OPT prognozes jāaproksimē ar galīgu kodeku K_\theta — un tā ir standarta fizika. Tas nozīmē, ka prediktīviem nolūkiem OPT reducējas uz labāko pieejamo aprēķināmo kodeku. Tādēļ OPT MDL priekšrocība pār SP ir strukturāla priekšrocība (selektora noteikuma aprakstā), nevis operacionāla priekšrocība jaunu prognožu izdarīšanā.

Tas nav trūkums — tas ir korektais preprinta apgalvojuma formālais saturs: “OPT pārbīda daļu skaidrojošā sloga no likumu uzskaitījuma uz likumu atlasi.” Šī pārbīde ir reāla un formāli kvantificēta (\approx 1700 biti selektora noteikumam salīdzinājumā ar \mathcal{M}_1), taču tā nerada jaunu prediktīvu saturu papildus tam, ko jau nodrošina kodeks.

9.2 Kodeka identifikācijas problēma

OPT kodeks K_\theta ir konkrētais aprēķināmais mērs no \mathcal{M}, ko atlasa Stabilitātes filtrs. T-4 nenosaka, kurš tieši mērs tas ir — šai identifikācijai ir nepieciešams T-5 (konstanšu atgūšana) un pilnā fizikālās unifikācijas programma. Kamēr K_\theta nav eksplicīti identificēts ar SM + GR, MDL salīdzinājums ir nosacīts ar šo identifikāciju. Formālā robeža L_T(\text{OPT}) \leq L_T(\text{SP}) + K_0 garantē, ka OPT nevar būt sliktāka par SP, taču negarantē, ka tā ir labāka galīgā laikā, ja vien nav izpildīts T-4e IC nosacījums — un tas ir izpildīts pie standarta kosmoloģiskajiem pieņēmumiem.

Ierobežojums no P-2. Pielikums P-2 (Hilberta telpas iegulšana ar kvantu kļūdu korekcijas palīdzību) nosaka, ka lokāla trokšņa apstākļos kodekam jāapmierina QECC struktūra — tā iekšējai reprezentācijai jāveido kvantu kļūdu koriģējošs kods ar konkrētiem parametriem (n, k, d). Tas sašaurina kodeka identifikācijas problēmu: K_\theta vairs nav patvaļīgs aprēķināms mērs, bet gan tāds, kura prediktīvie stāvokļi nes Hilberta telpas kļūdu korekcijas ģeometriju. Šis ierobežojums ir pirms T-5 konstanšu atgūšanas programmas un var sniegt papildu atlases kritērijus, lai identificētu K_\theta ar Standarta modeli.

§10. Noslēguma kopsavilkums

T-4 rezultāti — apstiprināti kā noslēgti (ar normalizācijas un tipiskuma nosacījumiem)

1. Kodēšanas konvencijas fiksētas (§1). Divdaļīgs MDL, prefiksa Kolmogorova sarežģītība attiecībā pret iekļaujošu fiksētu UTM, datus domēna funkcionalizēti attēlojot uz apzināto plūsmu y_{1:T} = z_{0:T}.

2. Etalonklases fiksētas (§2). Novērtē \mathcal{M}_1 (SM+GR) pret trivālām robežām, piemēram, \mathcal{M}_2 (eksplodējoša ģeneratīvā tvēruma parametru atlase) un \mathcal{M}_3 (Bolcmaņa varbūtības sabrukums).

3. T-4a (Meta-noteikuma sarežģītība). K(\xi, \text{Filter}) = K_0 \approx 36 biti, ieskaitot relatīvās UTM nobīdes.

4. T-4b (Solomonofs ierobežots). L_T(\text{OPT}) \leq L_T(\nu) + K_0 + \log(1/\xi(\mathcal{O})). Skaidri definē algoritmiskās normalizācijas soda parametru.

5. Minējums T-4c (IC saspiešanas heiristiskā robeža). Strukturālā sākuma nosacījumu redundance ir minētais saspiešanas dzinējs: \Delta_{\text{IC}} = K(\text{IC}\mid\text{SP}) - K(\text{IC}\mid\text{OPT}) \geq 0, lai gan attēlojuma viennozīmība ir nosacīta. Tas kalpo kā heiristiska robeža, nevis formāli pierādīta teorēma.

6. T-4d (Konstanta bitu modeļa priekšrocība). Nosacīti ierobežo robežuzvedību: skaitļojamiem etaloniem, kuru \nu-tipiskā klase netriviāli pārklājas ar \mathcal{O}, OPT nodrošina pastāvīgu skaitlisku sarežģītības priekšrocību (\sim -1714 biti), lai gan tās bezgalīgais blīvums uz bitu mērogojas uz nulli.

7. T-4e (Galīga-T priekšrocība — nosacīta). OPT skaitliski pārspēj \mathcal{M}_1 pie galīga T tieši tad, ja empīriskie punktveida zudumi neatceļ kodola strukturālo robežu K(\text{IC}\mid\text{SP}) > K_0 (300 > 36). Tas ievainojamību fokusē tieši uz algoritmiskā punktveida dominējuma pieņēmumiem.

MDL apgalvojuma falsifikācijas nosacījumi

• Kosmoloģisko sākuma nosacījumu atvasinājums tikai no SP likumiem mazāk nekā \sim 36 bitos — parādot, ka K(\text{IC} \mid \text{SP laws}) < K_0.
• Demonstrācija, ka Stabilitātes filtra ierobežojums uz novērotājam saderīgām plūsmām nesaspiež IC — t. i., K(\text{IC} \mid \xi, \text{Filter}) = K(\text{IC} \mid \text{laws}), dodot \Delta_{\text{IC}} = 0.
• Eksplcīts skaitļojams kodeks K_\theta Sakārtotajai patch teorijai (OPT), kas pierādāmi ir mazāk precīzs nekā SM+GR novērotāju plūsmās, tā ka log-varbūtības deficīts pārsniedz IC saspiešanas ieguvumu.

Pakārtotās atkarības

• T-5 (Konstanšu atgūšana) ir būtiskais nākamais solis: tiklīdz kodeks K_\theta caur T-1/T-2/T-3 tiek identificēts ar SM+GR likumiem, MDL salīdzinājums kļūst pilnībā eksplicīts un nosacījums T-4e kļūst par konkrētu nevienādību starp zināmiem lielumiem.
• Preprint §5.2 atjauninājums: frāzi “Whether this meta-rule yields an actual MDL advantage… is an open comparative question” tagad var atjaunināt uz: “Theorem T-4d establishes a conditional asymptotic advantage (for observer streams that are also \nu-typical under the benchmark physics, a set currently uncharacterised); Theorem T-4e establishes a conditional finite-T advantage; see Appendix T-4.”

Šis pielikums tiek uzturēts kā daļa no OPT projekta repozitorija līdzās theoretical_roadmap.pdf. Atsauces: Rissanen (1978) [12], Li & Vitányi (2008) [27], Solomonoff (1964) [11], Penrose (2004).