Korrastatud patch’i teooria

Algne ülesanne T-4: MDL-i / parsimoonia võrdlus Probleem: aktiivne eeltrükk väidab standardse füüsika ees parsimoonilist eelist, käsitledes füüsikaseadusi makroskoopiliste pakkimisalgoritmidena, kuid ei esita formaalset MDL-võrdlust. Väljund: OPT-i ja füüsikamudelite võrdlusklasside võrdlev MDL-analüüs selgesõnaliselt määratletud kodeerimiskonventsioonide alusel.

Lõpetatuse staatus: SULETUD (tingimuslikult tüüpilisuse ja IC normaliseerimise korral). Käesolev lisa esitab T-4 jaoks nõutava formaalse MDL-hinnangu. Fikseeritakse kolm võrdlusmudelite klassi koos selgesõnaliste kodeerimiskonventsioonidega. Tõestatakse neli teoreemi ja üks konjektuur: (T-4a) OPT-i valikureeglil on kirjeldusepikkus \mathcal{O}(1); (T-4b) Solomonoffi dominantsus piirab OPT-i log-kaotust ülalt; (Konjektuur T-4c) OPT-i struktuurse eelise oletatav allikas on algtingimuste pakkimine; (T-4d) OPT saavutab iga arvutatava võrdlusmudeli suhtes püsiva konstantse bitilise eelise mudeli keerukuses; (T-4e) lõpliku T korral kvantifitseeritakse eelis tingimuslikult. Sulgemine tugineb kolmele koormust kandvale tingimusele: vaatlejavoo tüüpilisusele, Solomonoffi normaliseerimistrahvi \log(1/\xi(\mathcal{O})) absorbeerimisele ning tingimusele K(\text{IC} \mid \text{SP}) > K_0.

§1. MDL kodeerimiskonventsioonide fikseerimine

MDL-võrdlused on mõttetud ilma eksplitsiitsete, fikseeritud kodeerimiskonventsioonideta. Eeltrüki §5.1 märgib selle nõude, kuid lükkab selle edasi. Siin fikseerime konventsioonid, järgides Rissaneni (1978) [12] ning Li ja Vitányi (2008) [27] kaheosalise MDL-raamistiku käsitlust.

1.1 Kaheosalise koodi pikkus

Hüpoteesiklassi \mathcal{M} ja vaatluste jada y_{1:T} \in \{0,1\}^* korral on kaheosalise MDL-koodi pikkus:

L_T(\mathcal{M}) = K(\mathcal{M}) + L(y_{1:T} \mid \mathcal{M}) \tag{preprint §5.1, Eq. 13}

kus K(\mathcal{M}) on hüpoteesi prefiks-Kolmogorovi keerukus — lühima isepiiritleva programmi pikkus fikseeritud universaalsel Turingi masinal (UTM), mis väljastab \mathcal{M} täieliku kirjelduse — ning L(y_{1:T} \mid \mathcal{M}) on andmete negatiivne logaritmiline tõepära \mathcal{M} parima prediktiivse mudeli all:

L(y_{1:T} \mid \mathcal{M}) = -\log_2 P_\mathcal{M}(y_{1:T})

Deterministlike teooriate korral (seadused + IC määravad vaatlused üheselt) on L(y_{1:T} \mid \mathcal{M}) = 0, kui y on teooriaga kooskõlas, ning vastasel juhul L = \infty. Kõik logaritmid on alusega 2; kõik koodipikkused bittides.

1.2 Universaalne masin

Fikseerime läbivalt üheainsa optimaalse UTM-i \mathcal{U}. Kõik Kolmogorovi keerukused on määratud suhtes \mathcal{U}-ga; teistsuguse UTM-i valiku korral muutuvad tulemused kõige rohkem \mathcal{O}(1) biti võrra. Solomonoffi mõõt \xi on defineeritud suhtes \mathcal{U}-ga (preprint, võrrand 1). See fikseerib konventsiooni kõigi järgnevate võrdluste jaoks.

1.3 y_{1:T} ulatus

Võrdleme mudeleid domeenis, mille ennustamiseks kumbki on loodud: vaatleja teadlik voog y_{1:T} = z_{0:T} (kokkusurutud latentsete seisundite jada, C_{\max} bitti sekundis T sekundi jooksul). Standardset füüsikat hinnatakse samas domeenis, taandades selle ennustused vaatlejaga ühilduvaks vooks jämedustamise kaudu. Mõlemalt teoorialt nõutakse täpselt samade vaatluste seletamist.

§2. Võrdlusmudelite klassid

Fikseeritakse kolm võrdlusklassi. Igaühele omistatakse meie UTM-konventsiooni alusel eksplitsiitne hinnang K(\mathcal{M}). Täpsed arvväärtused on suurusjärgulised hinnangud; §§3–7 struktuursed tulemused sõltuvad ainult järjestusest, mitte täpsetest väärtustest.

2.1 \mathcal{M}_1 — Standardmudel + üldrelatiivsusteooria

Praegu kättesaadav kõige prediktiivselt täpsem füüsikateooria. Selle kirjeldus nõuab kolme komponenti:

• Matemaatiline struktuur K_{\text{struct}}: kaliibrigrupp \text{SU}(3) \times \text{SU}(2) \times \text{U}(1), Lorentzi invariantsus, renormaliseeritavus ja üldrelatiivsusteooria diffeomorfismisümmeetria. Kolmogorovi keerukus: K_{\text{struct}} \approx 10^3 bitti.

• Parameetrite väärtused K_{\text{param}}: 19 standardmudeli vaba parameetrit + 3 segunemisnurka + 1 CP-faas + \Lambda + G + c \approx 25 konstanti, kodeeritud eksperimentaalse täpsuseni (\sim 30 bitti igaüks): K_{\text{param}} \approx 750 bitti.

• Algtingimused K_{\text{IC}}: inflatsioonilise paradigma korral K_{\text{IC}}^{\text{inf}} \approx 200–400 bitti. Märkus: me ei arvesta siin Penrose’i termodünaamilise entroopia piiri 10^{123}, sest see mõõdab makroskoopilise faasiruumi mahtu (S), mitte spetsiifilist algoritmilist Kolmogorovi keerukust (K). Konkreetne mikroseisund võib olla tugevalt kokkusurutav. Tugineme eranditult ausatele inflatsioonilistele piiridele.

K(\mathcal{M}_1) = K_{\text{struct}} + K_{\text{param}} \approx 1750 \text{ bits}

K(\text{IC} \mid \mathcal{M}_1) \approx 300 \text{ bits (inflationary)}

2.2 \mathcal{M}_2 — Üldine renormaliseeritav QFT

Kõigi renormaliseeritavate kvantväljateooriate klass aegruumimõõtmetes \leq 4. See klass sisaldab ühe liikmena \mathcal{M}_1. Kuna täpsustada tuleb ka kaliibrigrupp ja osakeste sisu:

K(\mathcal{M}_2) \gg K(\mathcal{M}_1) \gg 1750 \text{ bitti}

\mathcal{M}_2 on kaasatud kontrastse võrdlusena OPT väitele, et seadused valitakse, mitte ei loetleta. Kuigi MDL-võrdlus \mathcal{M}_2-ga võidetakse triviaalselt iga lõpliku alamklassi poolt (sealhulgas \mathcal{M}_1), sest K(\mathcal{M}_2) on ülalt piiritlemata, näitab selle kaasamine formaalselt parameetrite valiku probleemi lõpmatut mastaapi, mille Stabiilsusfilter loomupäraselt kokku varistab.

2.3 \mathcal{M}_3 — Boltzmanni aju / termiline fluktuatsioon

Standardne füüsika maksimaalselt lihtsate algtingimustega: termiline (maksimaalse entroopiaga) olek Plancki skaalal. Seadused on identsed mudeliga \mathcal{M}_1; algtingimused on triviaalselt lihtsad:

K(\mathcal{M}_3) \approx K(\mathcal{M}_1) \approx 1750 \text{ bitti}, \qquad K(\text{IC} \mid \mathcal{M}_3) \approx 10 \text{ bitti}

Siiski on korrastatud teadvusliku voo y_{1:T} vaatlemise log-tõepära mudeli \mathcal{M}_3 korral astronoomiliselt väike: L(y_{1:T} \mid \mathcal{M}_3) \approx K(y_{1:T}) \gg T \cdot C_{\max}. Seega on \mathcal{M}_3-l tühine IC-kulu, kuid katastroofiline tõepärakulu, ning see on lisatud näitamaks, et OPT MDL-eelist ei saavutata sama võttega.

§3. OPT-i koodipikkus — teoreem T-4a

OPT-i MDL-koodipikkus laguneb kujule:

L_T(\text{OPT}) = K(\xi, \text{Filter}) + L(y_{1:T} \mid \xi, \text{Filter}) = K_0 + \left(-\log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T})\right)

kus \xi^{\text{Filter}} on Solomonoffi poolmõõt \xi, mis on tingitud vaatlejaga ühilduva klassi \mathcal{O} suhtes (vood, mis rahuldavad tingimust R_{\text{req}} \leq B_{\max}), ning K_0 = K(\xi, \text{Filter}) on valikureegli kirjelduspikkus.

Teoreem T-4a (metareegli keerukuse ülempiir). K(\xi, \text{Filter}) = K_0 = \mathcal{O}(1) bitti. Täpsemalt:

K_0 \leq K(\mathcal{U}) + K(C_{\max}) + K(\Delta t) + c

kus K(\mathcal{U}) on UTM-i keerukus, K(C_{\max}) = \mathcal{O}(\log C_{\max}) bitti kodeerib ribalaiuse läve eksperimentaalse täpsuseni, K(\Delta t) = \mathcal{O}(\log \Delta t) kodeerib uuendusakna ning c on väike universaalne konstant.

Tõestus. Solomonoffi poolmõõt \xi on üheselt määratud fikseeritud UTM-i \mathcal{U} poolt, seega K(\xi \mid \mathcal{U}) = \mathcal{O}(1). Stabiilsusfilter nõuab kahte parameetrit: C_{\max} ja \Delta t, millest kumbki on mõõdetud \sim 4 tüvenumbrini, seega K(C_{\max}, \Delta t) \leq 2 \times (4 \times \log_2 10) \approx 26 bitti. Tingimus R_{\text{req}} \leq B_{\max} on üksainus fikseeritud tähistuses esitatud võrratus: \sim 10 bitti. Kokku: K_0 \leq K(\mathcal{U}) + 36 bitti.

Et K(\mathcal{U}) ausalt arvesse võtta, peame eeldama „episteemiliselt neutraalset” UTM-i — see tähendab referentsmasinat, mille sisseehitatud käsustik ei kodeeri eelistatult ühtki füüsikateooriat (s.t. elementaarne kombinaatori- või Brainfuck-ekvivalentne geomeetria, füüsika suhtes täielikult agnostiline). Sellise erapooletu masina korral on põhjendatud hoida K(\xi, \text{Filter}) \approx 36 bitti, samal ajal standardiseerides K(\mathcal{M}_1) \approx 1750 bitti. Tunnistame sõnaselgelt, et see jätab absoluutse bitiarvu haavatavaks \mathcal{O}(1) konstantse skaleerimise suhtes juhul, kui UTM-i muudetakse, mis tähendab, et arvutus 36 vs 1750 on olemuslikult relatiivne. Struktuurselt aus matemaatiline väide on siin järjestus (K_0 \ll K(\mathcal{M}_1)), mis kinnitab tugevat struktuurset eelist, mis ei sõltu täpsest arvulisest konstandist. \blacksquare

Võrdlus: Kui jätta välja jagatud UTM-i üldkulu, siis K_0 \approx 36 bitti võrreldes K(\mathcal{M}_1) \approx 1750 bitiga. OPT-i valikureegel on Standardmudeli kirjeldusest lühem suurusjärgus K(\mathcal{M}_1) - K_0 \approx 1714 bitti. See on §5 preprindis väidetud struktuurse parsimonia eelis — nüüd eksplitsiitse bitiarvuga.

§4. Solomonoffi dominantsuse ülempiir — teoreem T-4b

Teoreem T-4b (Solomonoffi dominantsuse ülempiir). Iga arvutatava füüsikamõõdu \nu korral (sealhulgas \mathcal{M}_1, \mathcal{M}_2, \mathcal{M}_3), mille puhul K(\nu) < \infty, ja iga andmejada y_{1:T} korral:

L_T(\text{OPT}) \leq L_T(\nu) + K'_0

kus K'_0 = K_0 + \log(1/\xi(\mathcal{O})). See väljendab baasreegli keerukust koos vajaliku algoritmilise normaliseerimistrahviga, mis tekib universaalse mõõdu tingimisel vaatlejate klassile \mathcal{O}.

Tõestus. Solomonoffi mõõdu definitsioonist (eeltrüki võrrand 1), kus w_\nu \asymp 2^{-K(\nu)}:

\xi(y_{1:T}) \geq w_\nu \cdot \nu(y_{1:T}) \geq 2^{-K(\nu)} \cdot \nu(y_{1:T})

Võttes negatiivsed logaritmid:

-\log \xi(y_{1:T}) \leq -\log \nu(y_{1:T}) + K(\nu)

Üleminekul universaalselt mõõdult \xi piiratud filtrile \xi^{\text{Filter}} maksame normaliseerimiskulu -\log \xi^{\text{Filter}}(y) = -\log \xi(y) + \log(1/\xi(\mathcal{O})). Asendades selle avaldisse L_T(\text{OPT}):

L_T(\text{OPT}) = K_0 - \log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T}) \leq K_0 + \log(1/\xi(\mathcal{O})) + K(\nu) - \log \nu(y_{1:T}) = K'_0 + L_T(\nu) \qquad \blacksquare

Oluline märkus. Teoreem T-4b ei näita, et OPT ületaks SP-d. See näitab, et OPT ei saa olla ühestki võrdlusalusest halvem rohkem kui K'_0 bitti. Edaspidi neelame \log(1/\xi(\mathcal{O})) suuruse liikme K_0 sisse, eeldades, et vaatlejajärjendite klass on struktuursete UTM-konstantide suhtes puhtalt piiritletud, kuid märgime selle normaliseerimislünga formaalse haavatavusena.

§5. Algtingimuste pakkimine — teoreem T-4c

OPT MDL-eelise struktuurne allikas on algtingimuste pakkimine. Standardses füüsikas on seadused ja algtingimused eraldi objektid, mida mõlemaid tuleb kirjeldada. OPT-s neelduvad algtingimused eeljaotusse: Solomonoffi mõõt annab juba suurima kaalu lihtsaimatele vaatlejaga ühilduvatele voogudele, muutes eraldi AT-spetsifikatsiooni üleliigseks.

5.1 IC liiasuse argument

Standardfüüsika (\mathcal{M}_1) korral on deterministliku teooria täielik MDL-kood:

L_T(\text{SP}) = K_{\text{laws}} + K(\text{IC} \mid \text{laws}) + 0 \qquad \text{[deterministlik: } -\log P = 0 \text{ kui kooskõlaline]}

IC-liige K(\text{IC} \mid \text{laws}) on konkreetsete algtingimuste kirjelduspikkus eeldusel, et seadused on antud — see ei ole tuletatav seadustest endist. Siin paikneb peenhäälestuse kese.

OPT korral on kaheosaline kood:

L_T(\text{OPT}) = K_0 + \left(-\log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T})\right)

Liige -\log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T}) kodeerib konkreetse voo metareegli korral. Solomonoffi prior sisaldab juba universaalset füüsikamudelit: -\log \xi(y) \approx K(y). OPT-kodeering ei pea kunagi IC eest eraldi „maksma“.

Hüpotees T-4c (IC pakkimise heuristiline piirang). Defineerime IC pakkimise eelise:

\Delta_{\text{IC}} = K(\text{IC} \mid \text{SP laws}) - K(\text{IC} \mid \text{OPT})

Väidame järgmise heuristilise piirangu:

\boxed{L_T(\text{OPT}) \leq L_T(\text{SP}) - \Delta_{\text{IC}} + K_0 + \mathcal{O}(1)}

kus K(\text{IC} \mid \text{OPT}) := K(\text{IC} \mid \xi, \text{Filter}, \text{codec}) on algtingimuste jääkkirjelduspikkus OPT täieliku mudeli korral. \Delta_{\text{IC}} \geq 0, võrdsus kehtib parajasti siis, kui Stabiilsusfilter ei anna IC-le mingit täiendavat pakkimist peale selle, mida seadused juba annavad.

Argument. Alustades SP täielikust kaheosalisest koodist ja rakendades Solomonoffi dominantsi (neelates normaliseerimiskonstandid \mathcal{O}(1) UTM-i piiravasse liikmesse):

L_T(\text{OPT}) \leq K_0 + K(\text{laws}) + K(\text{IC} \mid \text{laws}) - \log P_{\text{SP}}(y) + \mathcal{O}(1)

Ümber korraldades ja asendades L_T(\text{SP}) = K_{\text{laws}} + K(\text{IC} \mid \text{laws}) (deterministlik teooria):

L_T(\text{OPT}) \leq L_T(\text{SP}) + K_0 + \mathcal{O}(1)

OPT sees ei pea -\log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T}) IC-d eraldi kodeerima: Filter valib Solomonoffi priorist, mis pakib IC olemuslikult pikkuskaalude kaudu kokku. AIT subaditiivsus garanteerib, et K(\text{IC} \mid x, f(x)) \leq K(\text{IC} \mid x) + \mathcal{O}(1). Kui postuleerime, et OPT valikureegel piirneb pelgalt toorseaduste deklareerimisega võrreldes rangema kirjeldusstringina (mis on raamistiku keskne panus, mitte matemaatiline tuletuslik tõestus), siis kodeeritud jääk K(\text{IC} \mid \text{OPT}) ei saa oluliselt ületada K(\text{IC} \mid \text{laws}). Heuristiliselt annab see \Delta_{\text{IC}} \geq 0.

Asendades saame: L_T(\text{OPT}) \leq L_T(\text{SP}) - \Delta_{\text{IC}} + K_0 + \mathcal{O}(1). \blacksquare

Märkus. Hüpoteesime, et antropiline pakkimine K(\text{IC} \mid \text{OPT}) \approx 0 toimib piirjuhul, kus Stabiilsusfilter on tugevalt kitsendav ja vastab matemaatiliselt üheselt vaatlejaga ühilduvatele olekutele. See on motiveeritud füüsikaline väide, mitte algoritmiliselt tõestatud ühesusepiirang.

§6. Konstantse bitiarvuga mudelikomplekssuse eelis — teoreem T-4d

Teoreem T-4d (püsiv konstantse bitiarvuga MDL-eelis — tüüpilisuse tingimusel). Iga fikseeritud, mittetriviaalse arvutatava füüsikamudeli \nu korral, mille puhul K_0 < K(\nu) < \infty, saavutab OPT-formulatsioon fikseeritud ja püsiva mudelikomplekssuse eelise just nende y_{1:T} \in \mathcal{O} jaoks, mis on ühtlasi ka \nu-tüüpilised. Kui jada pikkus T \to \infty, siis on kogu koodipikkuse erinevus struktuurselt piiratud:

L_T(\text{OPT}) - L_T(\nu) \to K_0 - K(\nu)

Tõestus. Teoreemist T-4b tuleneb, et L_T(\text{OPT}) \leq K'_0 - \log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T}). Iga arvutatava \nu korral garanteerib Solomonoffi teoreem, et \xi koondub \nu-le täpselt \nu-tüüpilistel jadadel: mõõteteoreetiliselt \nu-peaaegu-kõigi y_{1:\infty} korral. Siin tuleb tähele panna sügavat formaalset pinget: Stabiilsusfilter isoleerib vood, mida hinnatakse rangelt madala entroopiaga ja struktureerituks, kaardistades need struktuurselt ebatüüpiliseks võrreldes standardsete piiranguteta maksimaalse entroopiaga \nu-mõõdu voogudega. Kui filtreeritud vaatlejate klassi \mathcal{O} ja \nu-tüüpilise klassi vahel ei ole näidatavat mittetriviaalset matemaatilist kattuvust, siis ei saa Solomonoffi koondumispiiri vahetult rakendada. Järelikult kehtib see teoreem tingimuslikult parajasti siis ja ainult siis, kui konkreetne filtreeritud vaatlejavoog jääb konkreetsete võrdlusseaduste suhtes \nu-tüüpiliseks (jättes selliste teoreetiliselt kooskõlaliste lõikuvate voogude hulga formaalselt iseloomustamata):

-\frac{1}{T} \log \xi(y_{1:T}) \to H(\nu) \quad \text{as } T \to \infty

kus H(\nu) on \nu entroopiamäär. Samamoodi kehtib, et -\frac{1}{T} \log \nu(y_{1:T}) \to H(\nu). Asümptootiliselt koonduvad biti kohta arvutatud log-lossi log-tõenäosuse liikmed samale väärtusele, mis tähendab, et järelejääv kogu koodipikkuse eelis taandub puhtalt mudeli kirjelduspikkusele:

\left[L_T(\text{OPT}) - L_T(\nu)\right] \to K_0 - K(\nu) < 0 \qquad \text{[kuna } K_0 \approx 36 \text{ vs } K(\nu) \sim 1750 \text{]}

Märkus: kuigi kogu koodipikkus säilitab selle püsiva fikseeritud bitiarvulise eelise, kahaneb biti kohta eelis (\frac{K_0 - K(\nu)}{T}) aktiivselt nulli. See ei tähenda asümptootiliselt pidevalt kasvavat eelist andmete akumuleerumise kaudu, vaid pigem püsivat jäika struktuurset nihet. \blacksquare

Arvuline hinnang mudelile \mathcal{M}_1: K(\mathcal{M}_1) - K_0 \approx 1714 bitti. Kui log-lossi tõeväärtusliikmed on piisavalt pikkade \nu-tüüpiliste vaatlusakende jooksul koondunud, säilitab OPT püsiva matemaatilise üleoleku kogu kodeeringu osas suurusjärgus 1714 bitti.

§7. Lõpliku-T tingimuslik eelis — teoreem T-4e

Lõpliku pikkusega voogude korral nõuab MDL-võrdlus, et T-4c IC-pakkimise eelis ületaks K_0 üldkulu.

Teoreem T-4e (lõpliku-T tingimuslik MDL-eelis). OPT saavutab \mathcal{M}_1 suhtes range lõpliku-T MDL-eelise — see tähendab, et L_T(\text{OPT}) < L_T(\mathcal{M}_1) — parajasti siis, kui kehtib järgmine tingimus:

\boxed{K(\text{IC} \mid \text{SP laws}) > K_0 + \log\left(\frac{1}{\xi(\mathcal{O})}\right) + \left[-\log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T}) - \left(-\log P_{\text{SP}}(y_{1:T})\right)\right]}

Parempoolse poole sulgudes olev liige on OPT log-tõepära puudujääk võrreldes SP-ga konkreetse voo y_{1:T} korral. Tingimus on täidetud alati, kui IC kirjelduse maksumus ületab metareegli ja OPT selle voo prediktsioonipuudujäägi kombineeritud üldkulu.

Tõestus. Kaheosaliste koodipikkuste otsene teisendamine:

L_T(\text{OPT}) < L_T(\text{SP}) \iff \quad K_0 + \log\left(\frac{1}{\xi(\mathcal{O})}\right) - \log \xi^{\text{Filter}}(y) < K_{\text{laws}} + K(\text{IC} \mid \text{laws}) - \log P_{\text{SP}}(y) \iff \quad K(\text{IC} \mid \text{laws}) - K_0 > \log\left(\frac{1}{\xi(\mathcal{O})}\right) + \left[-\log \xi^{\text{Filter}}(y) - \left(-\log P_{\text{SP}}(y)\right)\right] + \left[K_{\text{laws}} - K_{\text{laws}}\right]

Ümberrühmitades (kuna K_{\text{laws}} taandub mõlemal poolel) saame vahetult esitatud tingimuse. \blacksquare

7.1 Tingimuse hindamine standardkosmoloogia jaoks

Inflatsioonilise kodeeringu korral (SP jaoks kõige soodsam juhtum):

• K(\text{IC} \mid \text{SP laws}) \approx 300 bitti (inflatsioonilised parameetrid + e-voltimiste arv + taassoojenemine)
• K_0 \approx 36 bitti (T-4a)
• Logaritmilise tõepära defitsiit: funktsionaalselt püstitame hüpoteesi, et OPT, varustatuna T-1-s kaardistatud R_{T,h}(D) koodeki piirangutega, saavutab vaatlejaga ühilduval voolul vähemalt sama tugeva punktipõhise logaritmilise tõepära kui standardfüüsika. Pange tähele, et Solomonoffi piirid annavad rangelt võttes ülemvõimu oodatud summade üle, mitte lõplikke punktipõhiseid piire konkreetsete üksikute voogude korral; seega \left[-\log \xi^{\text{Filter}}(y) - \left(-\log P_{\text{SP}}(y)\right)\right] \leq 0 väljendab empiirilist struktuurset ootust, mitte algoritmilist garantiid.

Seega taandub tingimus kujule K(\text{IC} \mid \text{SP laws}) > K_0, s.t. 300 > 36. See kehtib märkimisväärse struktuurse varuga. Tingimus nurjub üksnes siis, kui IC maksumus on väiksem kui \sim 36 bitti — s.t. kui meie universumi konkreetne IC on struktuurselt tuletatav üksnes SP seadustest nii, et jääk on alla 36 biti. Ükski praegune kosmoloogiline mudel seda ei saavuta.

§8. Võrdlev MDL-tabel

^* §9.2 eksplitsiitse koodeki-identifitseerimise korral taandub OPT aktiivse andme termini väärtus kujule -\log P_{K_\theta}(y) = -\log P_\text{SP}(y) = 0, kui K_\theta samastatakse SP-koodekiga.

§9. Võrdluse piirid

9.1 K(y \mid \text{Filter}) ei ole arvutatav

OPT koodipikkus K_0 + K(y \mid \text{Filter}) = K_0 - \log \xi^{\text{Filter}}(y) sisaldab liiget, mis ei ole Turingi mõttes arvutatav (seiskumisprobleem takistab \xi täpset arvutamist). Praktikas tuleb OPT ennustusi lähendada lõpliku koodekiga K_\theta — mis on standardne füüsika. See tähendab, et prediktiivsetel eesmärkidel taandub OPT parimale उपलब्ध computable codec?

9.2 Koodeki identifitseerimise probleem

OPT koodek K_\theta on see konkreetne arvutatav mõõt \mathcal{M}-ist, mille Stabiilsusfilter välja valib. T-4 ei määra, millise mõõduga täpselt on tegu — see identifitseerimine nõuab T-5-t (konstantide taastamine) ja täielikku füüsikalise ühendamise programmi. Kuni K_\theta ei ole eksplitsiitselt samastatud SM + GR-iga, on MDL-võrdlus sellest samastusest tingitud tingimuslik. Formaalne piir L_T(\text{OPT}) \leq L_T(\text{SP}) + K_0 garanteerib, et OPT ei saa toimida halvemini kui SP, kuid ei garanteeri, et see toimib lõplikus ajas paremini, välja arvatud juhul, kui T-4e IC-tingimus on täidetud — ning standardsete kosmoloogiliste eelduste korral on see täidetud.

Piirang P-2-st. Lisa P-2 (Hilberti ruumi sisestamine kvantvigade paranduse kaudu) näitab, et lokaalse müra korral peab koodek vastama QECC-struktuurile — selle sisemine representatsioon peab moodustama kvantvigade parandamise koodi kindlate parameetritega (n, k, d). See kitsendab koodeki identifitseerimise probleemi: K_\theta ei ole enam suvaline arvutatav mõõt, vaid selline, mille prediktiivsed seisundid kannavad Hilberti ruumi veaparanduslikku geomeetriat. See piirang eelneb T-5 konstantide taastamise programmile ja võib anda täiendavaid valikukriteeriume K_\theta samastamiseks Standardmudeliga.

§10. Kokkuvõttev sulgemisülevaade

T-4 väljundid — kinnitatult suletud (koos normaliseerimis- ja tüüpilisustingimustega)

1. Kodeerimiskonventsioonid fikseeritud (§1). Kaheosaline MDL, prefiks-Kolmogorovi keerukus inklusiivse fikseeritud UTM-i suhtes, andmedomeeni funktsionaalse kaardistamisega teadvusvoole y_{1:T} = z_{0:T}.

2. Võrdlusklassid fikseeritud (§2). Hindab \mathcal{M}_1 (SM+GR) mudelit triviaalsete piiride suhtes nagu \mathcal{M}_2 (plahvatuslik generatiivse ulatuse parameetrivalik) ja \mathcal{M}_3 (Boltzmanni tõenäosuskokkuvarisemine).

3. T-4a (metareegli keerukus). K(\xi, \text{Filter}) = K_0 \approx 36 bitti, kaasa arvatud suhtelised UTM-i nihked.

4. T-4b (Solomonoff piiratud). L_T(\text{OPT}) \leq L_T(\nu) + K_0 + \log(1/\xi(\mathcal{O})). Määratleb algoritmilise normaliseerimistrahvi parameetri eksplitsiitselt.

5. Hüpotees T-4c (IC pakkimise heuristiline piir). Struktuurne algtingimuste redundantsus on oletatav pakkimise mootor: \Delta_{\text{IC}} = K(\text{IC}\mid\text{SP}) - K(\text{IC}\mid\text{OPT}) \geq 0, kuigi kaardistuse ühesus on tingimuslik. See toimib heuristilise piirina, mitte formaalselt tõestatud teoreemina.

6. T-4d (konstantse bitiarvuga mudeli eelis). Piirab tingimuslikult piirjuhtumit: arvutatavate võrdlusmudelite korral, mille \nu-tüüpiline klass kattub mittetriviaalselt hulgaga \mathcal{O}, tagab OPT püsiva numbrilise keerukuse eelise (\sim -1714 bitti), kuigi selle lõpmatu bitipõhine tihedus skaleerub nulli.

7. T-4e (lõpliku T eelis — tingimuslik). OPT ületab \mathcal{M}_1 numbriliselt lõpliku T korral täpselt siis, kui empiirilised punktkaupa kaod ei tühista tuumset struktuurset piiri K(\text{IC}\mid\text{SP}) > K_0 (300 > 36). See koondab haavatavuse otseselt algoritmilise punktkaupa domineerimise eeldustele.

MDL-väite falsifitseerimistingimused

• Kosmoloogiliste algtingimuste tuletus üksnes SP-seadustest vähem kui \sim 36 bitiga — näidates, et K(\text{IC} \mid \text{SP laws}) < K_0.
• Näitamine, et Stabiilsusfilteri piirang vaatlejaga ühilduvatele voogudele ei paki IC-d kokku — s.t. K(\text{IC} \mid \xi, \text{Filter}) = K(\text{IC} \mid \text{laws}), mis annab \Delta_{\text{IC}} = 0.
• OPT jaoks eksplitsiitne arvutatav koodek K_\theta, mis on tõendatavalt vähem täpne kui SM+GR vaatlejavoogudel, nii et log-tõepära defitsiit ületab IC pakkimisest saadava võidu.

Järgnevad sõltuvused

• T-5 (konstantide taastamine) on järgmine hädavajalik samm: kui koodek K_\theta samastatakse T-1/T-2/T-3 kaudu SM+GR seadustega, muutub MDL-võrdlus täielikult eksplitsiitseks ja T-4e tingimus muutub konkreetseks tuntud suuruste vaheliseks võrratuseks.
• Preprint §5.2 uuendus: fraasi “Whether this meta-rule yields an actual MDL advantage… is an open comparative question” saab nüüd uuendada kujule: “Teoreem T-4d kehtestab tingimusliku asümptootilise eelise (vaatlejavoogude jaoks, mis on ühtlasi võrdlusfüüsika all \nu-tüüpilised, praegu iseloomustamata hulk); teoreem T-4e kehtestab tingimusliku lõpliku-T eelise; vt lisa T-4.”

See lisa hoitakse OPT projektihoidlas koos failiga theoretical_roadmap.pdf. Viited: Rissanen (1978) [12], Li & Vitányi (2008) [27], Solomonoff (1964) [11], Penrose (2004).