Teorie uspořádaného patche (OPT)

Původní úkol T-4: Srovnání MDL / parsimonie Problém: Aktuální preprint tvrdí, že je úspornější než standardní fyzika, protože fyzikální zákony chápe jako makroskopické kompresní algoritmy, ale neposkytuje formální srovnání v rámci MDL. Výstup: Komparativní MDL analýza OPT oproti referenčním třídám fyzikálních modelů při explicitně stanovených konvencích kódování.

Stav uzavření: UZAVŘENO (podmíněně na typičnosti a normalizaci IC). Tento dodatek přináší formální MDL vyhodnocení požadované úkolem T-4. Jsou fixovány tři referenční třídy modelů s explicitně stanovenými konvencemi kódování. Jsou odvozeny čtyři věty a jedna domněnka: (T-4a) selektorové pravidlo OPT má délku popisu \mathcal{O}(1); (T-4b) Solomonoffova dominance shora omezuje log-loss OPT; (Domněnka T-4c) předpokládaným zdrojem strukturální výhody OPT je komprese počátečních podmínek; (T-4d) OPT dosahuje trvalé výhody konstantního počtu bitů v komplexitě modelu vůči každému vyčíslitelnému benchmarku; (T-4e) výhoda pro konečné T je podmíněně kvantifikována. Uzavření stojí na třech nosných podmínkách: typičnosti proudu pozorovatele, absorbování Solomonoffovy normalizační penalizace \log(1/\xi(\mathcal{O})) a stavu K(\text{IC} \mid \text{SP}) > K_0.

§1. Ustavení kódovacích konvencí MDL

Srovnání MDL jsou bez explicitních, pevných kódovacích konvencí bezvýznamná. §5.1 preprintu tento požadavek zmiňuje, ale odkládá jej. Zde konvence ustavujeme podle Rissanena (1978) [12] a dvoudílného rámce MDL Liho a Vitányiho (2008) [27].

1.1 Dvoudílná délka kódu

Pro třídu hypotéz \mathcal{M} a posloupnost pozorování y_{1:T} \in \{0,1\}^* je dvoudílná délka kódu MDL dána:

L_T(\mathcal{M}) = K(\mathcal{M}) + L(y_{1:T} \mid \mathcal{M}) \tag{preprint §5.1, Eq. 13}

kde K(\mathcal{M}) je prefixová Kolmogorovova složitost hypotézy — délka nejkratšího sebeukončujícího programu na pevně zvoleném univerzálním Turingově stroji (UTM), který vypíše úplný popis \mathcal{M} — a L(y_{1:T} \mid \mathcal{M}) je záporný logaritmus věrohodnosti dat podle nejlepšího prediktivního modelu v rámci \mathcal{M}:

L(y_{1:T} \mid \mathcal{M}) = -\log_2 P_\mathcal{M}(y_{1:T})

Pro deterministické teorie (zákony + IC jednoznačně určují pozorování) platí, že L(y_{1:T} \mid \mathcal{M}) = 0, pokud je y s teorií konzistentní, a jinak L = \infty. Všechny logaritmy mají základ 2; všechny délky kódu jsou v bitech.

1.2 Univerzální stroj

V celém textu fixujeme jediný optimální UTM \mathcal{U}. Všechny Kolmogorovovy složitosti jsou vztaženy k \mathcal{U}; při jiné volbě UTM se výsledky mění nejvýše o \mathcal{O}(1) bitů. Solomonoffova semimíra \xi je definována vzhledem k \mathcal{U} (preprint, rovnice 1). Tím je stanovena konvence pro všechna následující srovnání.

1.3 Rozsah y_{1:T}

Porovnáváme modely v doméně, kterou byl každý z nich navržen predikovat: vědomý proud pozorovatele y_{1:T} = z_{0:T} (sekvence komprimovaných latentních stavů, C_{\max} bitů za sekundu po dobu T sekund). Standardní fyzika je hodnocena na téže doméně tím, že se její predikce redukují na proud kompatibilní s pozorovatelem pomocí coarse-grainingu. Obě teorie mají vysvětlit přesně tatáž pozorování.

§2. Třídy benchmarkových modelů

Jsou fixovány tři benchmarkové třídy. Každé je přiřazen explicitní odhad K(\mathcal{M}) podle naší konvence UTM. Přesné číselné hodnoty jsou řádové odhady; strukturální výsledky v §§3–7 závisejí pouze na uspořádání, nikoli na přesných hodnotách.

2.1 \mathcal{M}_1 — Standardní model + obecná relativita

V současnosti prediktivně nejpřesnější dostupná fyzikální teorie. Její popis vyžaduje tři složky:

• Matematická struktura K_{\text{struct}}: kalibrační grupa \text{SU}(3) \times \text{SU}(2) \times \text{U}(1), Lorentzova invariance, renormalizovatelnost a difeomorfismová symetrie GR. Kolmogorovova komplexita: K_{\text{struct}} \approx 10^3 bitů.

• Hodnoty parametrů K_{\text{param}}: 19 volných parametrů SM + 3 mísicí úhly + 1 CP fáze + \Lambda + G + c \approx 25 konstant zakódovaných s experimentální přesností (\sim 30 bitů každá): K_{\text{param}} \approx 750 bitů.

• Počáteční podmínky K_{\text{IC}}: v rámci inflačního paradigmatu K_{\text{IC}}^{\text{inf}} \approx 200–400 bitů. Poznámka: Penroseovu termodynamickou entropickou mez 10^{123} zde nezapočítáváme, protože měří makroskopický objem fázového prostoru (S), nikoli specifickou algoritmickou Kolmogorovovu komplexitu (K). Konkrétní mikrostav může být vysoce komprimovatelný. Opíráme se výhradně o poctivé inflační meze.

K(\mathcal{M}_1) = K_{\text{struct}} + K_{\text{param}} \approx 1750 \text{ bits}

K(\text{IC} \mid \mathcal{M}_1) \approx 300 \text{ bits (inflationary)}

2.2 \mathcal{M}_2 — Obecná renormalizovatelná QFT

Třída všech renormalizovatelných kvantových teorií pole v \leq 4 časoprostorových dimenzích. Tato třída obsahuje \mathcal{M}_1 jako jeden ze svých prvků. Protože je navíc nutné specifikovat i grupu kalibrační symetrie a obsah částic, platí:

K(\mathcal{M}_2) \gg K(\mathcal{M}_1) \gg 1750 \text{ bits}

\mathcal{M}_2 je zde zahrnuta jako kontrastní případ pro tvrzení OPT, že zákony jsou vybírány, nikoli vyčerpávajícím způsobem vyjmenovávány. Ačkoli je srovnání MDL s \mathcal{M}_2 triviálně vyhráno jakoukoli konečnou podtřídou (včetně \mathcal{M}_1), protože K(\mathcal{M}_2) je neomezená, její zahrnutí formálně slouží k demonstraci nekonečného rozsahu problému výběru parametrů, který Filtr stability přirozeně kolabuje.

2.3 \mathcal{M}_3 — Boltzmannův mozek / tepelná fluktuace

Standardní fyzika s maximálně jednoduchými počátečními podmínkami: tepelný stav (stav maximální entropie) na Planckově škále. Zákony jsou totožné s \mathcal{M}_1; počáteční podmínky jsou triviálně jednoduché:

K(\mathcal{M}_3) \approx K(\mathcal{M}_1) \approx 1750 \text{ bits}, \qquad K(\text{IC} \mid \mathcal{M}_3) \approx 10 \text{ bits}

Logaritmická věrohodnost pozorování uspořádaného vědomého proudu y_{1:T} za předpokladu \mathcal{M}_3 je však astronomicky malá: L(y_{1:T} \mid \mathcal{M}_3) \approx K(y_{1:T}) \gg T \cdot C_{\max}. \mathcal{M}_3 má tedy zanedbatelnou cenu IC, ale katastrofickou cenu věrohodnosti, a je zde zahrnut proto, aby ukázal, že MDL výhody OPT není dosaženo týmž trikem.

§3. Délka kódu OPT — Věta T-4a

Délka kódu MDL pro OPT se rozkládá takto:

L_T(\text{OPT}) = K(\xi, \text{Filter}) + L(y_{1:T} \mid \xi, \text{Filter}) = K_0 + \left(-\log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T})\right)

kde \xi^{\text{Filter}} je Solomonoffova míra \xi podmíněná třídou kompatibilní s pozorovatelem \mathcal{O} (proudy splňující R_{\text{req}} \leq B_{\max}) a K_0 = K(\xi, \text{Filter}) je délka popisu selekčního pravidla.

Věta T-4a (mez komplexity meta-pravidla). K(\xi, \text{Filter}) = K_0 = \mathcal{O}(1) bitů. Konkrétně:

K_0 \leq K(\mathcal{U}) + K(C_{\max}) + K(\Delta t) + c

kde K(\mathcal{U}) je komplexita UTM, K(C_{\max}) = \mathcal{O}(\log C_{\max}) bitů kóduje práh šířky pásma s experimentální přesností, K(\Delta t) = \mathcal{O}(\log \Delta t) kóduje aktualizační okno a c je malá univerzální konstanta.

Důkaz. Solomonoffova míra \xi je jednoznačně určena fixní UTM \mathcal{U}, takže K(\xi \mid \mathcal{U}) = \mathcal{O}(1). Filtr stability vyžaduje dva parametry: C_{\max} a \Delta t, z nichž každý je měřen s přesností na \sim 4 platné číslice, takže K(C_{\max}, \Delta t) \leq 2 \times (4 \times \log_2 10) \approx 26 bitů. Podmínka R_{\text{req}} \leq B_{\max} je jediná nerovnost ve fixní notaci: \sim 10 bitů. Celkem: K_0 \leq K(\mathcal{U}) + 36 bitů.

Abychom korektně absorbovali K(\mathcal{U}), musíme předpokládat „epistemicky neutrální“ UTM — tedy referenční stroj, jehož vestavěná instrukční sada nepreferenčně nekóduje žádnou fyzikální teorii (tj. základní geometrii ekvivalentní kombinátoru nebo jazyku Brainfuck, zcela agnostickou vůči fyzice). Za takto nezatíženého stroje je oprávněné udržet K(\xi, \text{Filter}) \approx 36 bitů při současné standardizaci K(\mathcal{M}_1) \approx 1750 bitů. Výslovně uznáváme, že to ponechává absolutní počet bitů zranitelný vůči škálování konstantou řádu \mathcal{O}(1) při změně UTM, což znamená, že výpočet 36 vs 1750 je ze své podstaty relativní. Strukturálně poctivé matematické tvrzení je zde pořadí podle velikosti (K_0 \ll K(\mathcal{M}_1)), které tvrdí robustní strukturální výhodu nezávislou na přesné numerické konstantě. \blacksquare

Srovnání: Po vyloučení sdílené režie UTM platí K_0 \approx 36 bitů oproti K(\mathcal{M}_1) \approx 1750 bitům. Selekční pravidlo OPT je kratší než popis Standardního modelu o K(\mathcal{M}_1) - K_0 \approx 1714 bitů. To je výhoda strukturální parsimonie tvrzená v §5 preprintu — nyní s explicitním počtem bitů.

§4. Solomonoffova hranice dominance — Věta T-4b

Věta T-4b (Solomonoffova hranice dominance). Pro libovolnou vyčíslitelnou míru fyziky \nu (včetně \mathcal{M}_1, \mathcal{M}_2, \mathcal{M}_3) s K(\nu) < \infty a pro libovolný datový proud y_{1:T} platí:

L_T(\text{OPT}) \leq L_T(\nu) + K'_0

kde K'_0 = K_0 + \log(1/\xi(\mathcal{O})). To představuje komplexitu základního pravidla plus nezbytnou penalizaci algoritmické normalizace vznikající podmíněním univerzální míry na třídu pozorovatelů \mathcal{O}.

Důkaz. Z definice Solomonoffovy míry (preprint, rovnice 1), při w_\nu \asymp 2^{-K(\nu)}:

\xi(y_{1:T}) \geq w_\nu \cdot \nu(y_{1:T}) \geq 2^{-K(\nu)} \cdot \nu(y_{1:T})

Po zlogaritmování se záporným znaménkem:

-\log \xi(y_{1:T}) \leq -\log \nu(y_{1:T}) + K(\nu)

Při přechodu od univerzální míry \xi k omezenému filtru \xi^{\text{Filter}} platíme náklad normalizace -\log \xi^{\text{Filter}}(y) = -\log \xi(y) + \log(1/\xi(\mathcal{O})). Po dosazení do L_T(\text{OPT}):

L_T(\text{OPT}) = K_0 - \log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T}) \leq K_0 + \log(1/\xi(\mathcal{O})) + K(\nu) - \log \nu(y_{1:T}) = K'_0 + L_T(\nu) \qquad \blacksquare

Důležité upozornění. Věta T-4b neukazuje, že OPT překonává SP. Ukazuje, že OPT nemůže dopadnout hůře než libovolný benchmark o více než K'_0 bitů. Od této chvíle absorbujeme \log(1/\xi(\mathcal{O})) do K_0 za předpokladu, že třída posloupností pozorovatelů je čistě ohraničena vzhledem ke strukturálním konstantám UTM, avšak tuto normalizační mezeru zaznamenáváme jako formální zranitelnost.

§5. Komprese počátečních podmínek — teorém T-4c

Strukturálním zdrojem MDL výhody OPT je komprese počátečních podmínek. Ve standardní fyzice jsou zákony a počáteční podmínky oddělené objekty, které je třeba oba popsat. V OPT jsou počáteční podmínky absorbovány do prioru: Solomonoffova míra již přiřazuje nejvyšší váhu nejjednodušším proudům kompatibilním s pozorovatelem, takže samostatná specifikace IC je nadbytečná.

5.1 Argument redundance IC

V rámci standardní fyziky (\mathcal{M}_1) má úplný MDL kód pro deterministickou teorii tvar:

L_T(\text{SP}) = K_{\text{laws}} + K(\text{IC} \mid \text{laws}) + 0 \qquad \text{[deterministické: } -\log P = 0 \text{, je-li konzistentní]}

Člen IC K(\text{IC} \mid \text{laws}) je délkou popisu specifických počátečních podmínek za daných zákonů — není odvoditelný ze samotných zákonů. Právě zde leží místo jemného doladění.

V rámci OPT má dvoudílný kód tvar:

L_T(\text{OPT}) = K_0 + \left(-\log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T})\right)

Člen -\log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T}) kóduje specifický proud vzhledem k meta-pravidlu. Solomonoffův prior již zahrnuje univerzální model fyziky: -\log \xi(y) \approx K(y). Kódování v OPT nikdy nemusí zvlášť „platit“ za IC.

Domněnka T-4c (heuristická horní mez komprese IC). Definujme kompresní výhodu IC:

\Delta_{\text{IC}} = K(\text{IC} \mid \text{SP laws}) - K(\text{IC} \mid \text{OPT})

Tvrdíme následující heuristickou mez:

\boxed{L_T(\text{OPT}) \leq L_T(\text{SP}) - \Delta_{\text{IC}} + K_0 + \mathcal{O}(1)}

kde K(\text{IC} \mid \text{OPT}) := K(\text{IC} \mid \xi, \text{Filter}, \text{codec}) je reziduální délka popisu počátečních podmínek vzhledem k úplnému modelu OPT. Platí \Delta_{\text{IC}} \geq 0, s rovností právě tehdy, pokud Filtr stability neposkytuje žádnou dodatečnou kompresi IC nad rámec toho, co již dávají samotné zákony.

Argument. Vyjdeme-li z úplného dvoudílného kódu pro SP a aplikujeme Solomonoffovu dominanci (přičemž normalizační konstanty pohltíme do ohraničujícího členu \mathcal{O}(1) pro UTM), dostáváme:

L_T(\text{OPT}) \leq K_0 + K(\text{laws}) + K(\text{IC} \mid \text{laws}) - \log P_{\text{SP}}(y) + \mathcal{O}(1)

Po přeuspořádání a dosazení L_T(\text{SP}) = K_{\text{laws}} + K(\text{IC} \mid \text{laws}) (deterministická teorie):

L_T(\text{OPT}) \leq L_T(\text{SP}) + K_0 + \mathcal{O}(1)

V rámci OPT nemusí -\log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T}) jednotlivě kódovat IC: Filtr vybírá ze Solomonoffova prioru, který IC komprimuje inherentně prostřednictvím vah podle délky. Subaditivita AIT zaručuje, že K(\text{IC} \mid x, f(x)) \leq K(\text{IC} \mid x) + \mathcal{O}(1). Pokud postulujeme, že selekční pravidlo OPT se ohraničuje jako těsnější popisný řetězec než pouhé deklarování surových zákonů (což je jádrová sázka tohoto rámce, nikoli matematický důkaz odvozením), pak reziduálně kódované K(\text{IC} \mid \text{OPT}) nemůže významně překročit K(\text{IC} \mid \text{laws}). Heuristicky tak dostáváme \Delta_{\text{IC}} \geq 0.

Dosazením: L_T(\text{OPT}) \leq L_T(\text{SP}) - \Delta_{\text{IC}} + K_0 + \mathcal{O}(1). \blacksquare

Poznámka. Předpokládáme, že antropická komprese K(\text{IC} \mid \text{OPT}) \approx 0 působí v limitě, kde je Filtr stability silně omezující a matematicky mapuje na jednoznačně s pozorovatelem kompatibilní stavy. Jde o motivovanou fyzikální propozici, nikoli o algoritmicky prokázanou mez jednoznačnosti.

§6. Výhoda složitosti modelu s konstantním počtem bitů — Věta T-4d

Věta T-4d (Trvalá MDL výhoda konstantního počtu bitů — podmíněná typičností). Pro každý pevně daný, netriviální vyčíslitelný model fyziky \nu s K_0 < K(\nu) < \infty dosahuje formulace OPT pevné, trvalé výhody ve složitosti modelu, konkrétně pro libovolné y_{1:T} \in \mathcal{O}, které je zároveň \nu-typické. Jak délka posloupnosti T \to \infty, je rozdíl celkové délky kódu strukturálně omezen:

L_T(\text{OPT}) - L_T(\nu) \to K_0 - K(\nu)

Důkaz. Z T-4b plyne, že L_T(\text{OPT}) \leq K'_0 - \log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T}). Pro libovolné vyčíslitelné \nu Solomonoffova věta zaručuje, že \xi konverguje k \nu právě na \nu-typických posloupnostech: měřeno jako pro \nu-skoro všechna y_{1:\infty}. Zde je třeba si povšimnout hlubokého formálního napětí: Filtr stability izoluje proudy, které se striktně vyhodnocují jako nízkoentropické a strukturované, čímž je strukturálně mapuje jako atypické ve srovnání se standardními neomezenými proudy podle \nu-míry s maximální entropií. Pokud třída filtrovaných pozorovatelů \mathcal{O} a třída \nu-typických posloupností nevykazují prokazatelný netriviální matematický překryv, nelze limitu Solomonoffovy konvergence přirozeně využít. Tato věta se proto uplatní podmíněně tehdy a jen tehdy, pokud konkrétní filtrovaný proud pozorovatele zůstává \nu-typický vzhledem ke konkrétním referenčním zákonům (přičemž množina takových teoreticky vyhovujících průnikových proudů zůstává formálně necharakterizována):

-\frac{1}{T} \log \xi(y_{1:T}) \to H(\nu) \quad \text{pro } T \to \infty

kde H(\nu) je entropická míra \nu. Podobně platí, že -\frac{1}{T} \log \nu(y_{1:T}) \to H(\nu). Asymptoticky log-loss a log-likelihood členy na bit konvergují a vyrovnávají se, což znamená, že zbývající výhoda v celkové délce kódu se redukuje čistě na délku popisu modelu:

\left[L_T(\text{OPT}) - L_T(\nu)\right] \to K_0 - K(\nu) < 0 \qquad \text{[protože } K_0 \approx 36 \text{ oproti } K(\nu) \sim 1750 \text{]}

Poznámka: Zatímco celková délka kódu si tuto trvalou výhodu pevného počtu bitů zachovává, výhoda na bit (\frac{K_0 - K(\nu)}{T}) aktivně klesá k nule. Nejde tedy o asymptoticky stále rostoucí výhodu skrze akumulaci dat, nýbrž o trvalý rigidní strukturální posun. \blacksquare

Numerický odhad pro \mathcal{M}_1: K(\mathcal{M}_1) - K_0 \approx 1714 bitů. Jakmile se log-loss likelihoody sblíží v rámci dostatečně dlouhých \nu-typických observačních oken, OPT si udržuje trvalou matematickou převahu v celkovém kódování přibližně o 1714 bitů.

§7. Konečná podmíněná výhoda pro T — Věta T-4e

Pro proudy konečné délky vyžaduje porovnání MDL, aby kompresní výhoda IC z T-4c převýšila režii K_0.

Věta T-4e (Podmíněná MDL výhoda pro konečné T). OPT dosahuje přísné MDL výhody pro konečné T vůči \mathcal{M}_1 — tj. L_T(\text{OPT}) < L_T(\mathcal{M}_1) — právě tehdy, když platí následující podmínka:

\boxed{K(\text{IC} \mid \text{SP laws}) > K_0 + \log\left(\frac{1}{\xi(\mathcal{O})}\right) + \left[-\log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T}) - \left(-\log P_{\text{SP}}(y_{1:T})\right)\right]}

Závorka na pravé straně představuje deficit log-likelihood OPT vzhledem ke SP na konkrétním proudu y_{1:T}. Podmínka je splněna vždy, když náklad popisu IC převyšuje kombinovanou režii meta-pravidla a predikční deficit OPT na tomto proudu.

Důkaz. Přímou úpravou délek dvoučástového kódu:

L_T(\text{OPT}) < L_T(\text{SP}) \iff \quad K_0 + \log\left(\frac{1}{\xi(\mathcal{O})}\right) - \log \xi^{\text{Filter}}(y) < K_{\text{laws}} + K(\text{IC} \mid \text{laws}) - \log P_{\text{SP}}(y) \iff \quad K(\text{IC} \mid \text{laws}) - K_0 > \log\left(\frac{1}{\xi(\mathcal{O})}\right) + \left[-\log \xi^{\text{Filter}}(y) - \left(-\log P_{\text{SP}}(y)\right)\right] + \left[K_{\text{laws}} - K_{\text{laws}}\right]

Po přeuspořádání (člen K_{\text{laws}} se na obou stranách vyruší) dostaneme uvedenou podmínku přímo. \blacksquare

7.1 Vyhodnocení podmínky pro standardní kosmologii

V rámci inflačního kódování (nejpříznivější případ pro SP):

• K(\text{IC} \mid \text{SP laws}) \approx 300 bitů (inflační parametry + počet e-foldů + reheating)
• K_0 \approx 36 bitů (T-4a)
• Deficit log-věrohodnosti: Funkčně předpokládáme, že OPT, vybavená omezeními kodeku R_{T,h}(D) mapovanými v T-1, dosahuje na proudu kompatibilním s pozorovatelem přinejmenším stejně robustní bodové log-věrohodnosti jako standardní fyzika. Všimněme si, že Solomonoffovy meze striktně zajišťují dominanci nad očekávanými součty, nikoli definitivní bodové meze pro konkrétní singulární proudy; takže \left[-\log \xi^{\text{Filter}}(y) - \left(-\log P_{\text{SP}}(y)\right)\right] \leq 0 představuje empirické strukturální očekávání, nikoli algoritmickou záruku.

Podmínka se tedy redukuje na K(\text{IC} \mid \text{SP laws}) > K_0, tj. 300 > 36. To platí s výraznou strukturální rezervou. Podmínka selhává pouze tehdy, pokud IC stojí méně než \sim 36 bitů — tj. pokud je konkrétní IC našeho vesmíru strukturálně odvoditelná pouze ze zákonů SP tak, že zbývá méně než 36 reziduálních bitů. Žádný současný kosmologický model toho nedosahuje.

§8. Srovnávací tabulka MDL

^* Při explicitní identifikaci kodeku v §9.2 se aktivní datový člen OPT redukuje na -\log P_{K_\theta}(y) = -\log P_\text{SP}(y) = 0, jakmile je K_\theta ztotožněn s kodekem SP.

§9. Meze srovnání

9.1 K(y \mid \text{Filter}) není vyčíslitelné

Délka kódu OPT K_0 + K(y \mid \text{Filter}) = K_0 - \log \xi^{\text{Filter}}(y) obsahuje člen, který není v turingovském smyslu vyčíslitelný (problém zastavení brání přesnému výpočtu \xi). V praxi musí být predikce OPT aproximovány konečným kodekem K_\theta — což je ve fyzice standardní postup. To znamená, že se OPT pro prediktivní účely redukuje na nejlepší dostupný vyčíslitelný kodek. MDL výhoda OPT vůči SP je tedy strukturální výhodou (v popisu selekčního pravidla), nikoli operační výhodou při vytváření nových predikcí.

To není vada — je to správný formální obsah tvrzení preprintu: „OPT přesouvá část explanační zátěže z enumerace zákonů na selekci zákonů.“ Tento posun je reálný a formálně kvantifikovaný (\approx 1700 bitů pro selekční pravidlo oproti \mathcal{M}_1), ale negeneruje nový prediktivní obsah nad rámec toho, co již poskytuje samotný kodek.

9.2 Problém identifikace kodeku

OPT kodek K_\theta je konkrétní vyčíslitelná míra z \mathcal{M}, kterou vybírá Filtr stability. T-4 neurčuje, o kterou míru jde — tato identifikace vyžaduje T-5 (rekonstrukci konstant) a úplný program fyzikální unifikace. Dokud nebude K_\theta explicitně ztotožněn se SM + GR, je srovnání MDL na této identifikaci podmíněně závislé. Formální mez L_T(\text{OPT}) \leq L_T(\text{SP}) + K_0 zaručuje, že si OPT nemůže vést hůře než SP, ale nezaručuje, že si v konečném čase povede lépe, pokud není splněna podmínka IC z T-4e — což za standardních kosmologických předpokladů splněno je.

Omezení z P-2. Dodatek P-2 (vnoření Hilbertova prostoru prostřednictvím Quantum Error Correction) ukazuje, že za lokálního šumu musí kodek splňovat strukturu QECC — jeho vnitřní reprezentace musí tvořit kvantový kód pro opravu chyb se specifickými parametry (n, k, d). Tím se problém identifikace kodeku zužuje: K_\theta už není libovolná vyčíslitelná míra, ale taková, jejíž prediktivní stavy nesou geometrii opravy chyb Hilbertova prostoru. Toto omezení předchází programu rekonstrukce konstant v T-5 a může poskytnout další selekční kritéria pro ztotožnění K_\theta se Standardním modelem.

§10. Shrnutí uzávěru

Výstupy T-4 — potvrzeně uzavřené (s podmínkami normalizace a typičnosti)

1. Kódovací konvence fixovány (§1). Dvoudílné MDL, prefixová Kolmogorovova složitost vzhledem k inkluzivní fixované UTM, mapující datovou doménu funkcionálně na vědomý proud y_{1:T} = z_{0:T}.

2. Benchmarkové třídy fixovány (§2). Vyhodnocuje \mathcal{M}_1 (SM+GR) vůči triviálním hranicím jako \mathcal{M}_2 (explodující výběr parametru generativního rozsahu) a \mathcal{M}_3 (Boltzmannův kolaps věrohodnosti).

3. T-4a (Složitost meta-pravidla). K(\xi, \text{Filter}) = K_0 \approx 36 bitů včetně relativních offsetů UTM.

4. T-4b (Solomonoff omezen). L_T(\text{OPT}) \leq L_T(\nu) + K_0 + \log(1/\xi(\mathcal{O})). Explicitně definuje parametr algoritmické normalizační penalizace.

5. Domněnka T-4c (heuristická mez komprese IC). Strukturální redundance počátečních podmínek je domnělým motorem komprese: \Delta_{\text{IC}} = K(\text{IC}\mid\text{SP}) - K(\text{IC}\mid\text{OPT}) \geq 0, ačkoli jednoznačnost mapování jen podmíněně. To slouží jako heuristická mez, nikoli jako formálně dokázaná věta.

6. T-4d (Výhoda modelu s konstantním počtem bitů). Podmíněně omezuje limitní chování: pro vyčíslitelné benchmarky, jejichž \nu-typická třída se netriviálně překrývá s \mathcal{O}, si OPT zajišťuje trvalou numerickou výhodu ve složitosti (\sim -1714 bitů), ačkoli její nekonečná hustota na bit škáluje k nule.

7. T-4e (Výhoda pro konečné T — podmíněná). OPT numericky překonává \mathcal{M}_1 při konečném T právě tehdy, když empirické bodové ztráty nepřevrátí základní strukturální hranici K(\text{IC}\mid\text{SP}) > K_0 (300 > 36). Zaměřuje zranitelnost přímo na předpoklady algoritmické bodové dominance.

Podmínky falzifikace pro tvrzení MDL

• Odvození kosmologických počátečních podmínek pouze ze zákonů SP v méně než \sim 36 bitech — ukazující, že K(\text{IC} \mid \text{SP laws}) < K_0.
• Demonstrace, že omezení Filtru stability na proudy kompatibilní s pozorovatelem nekomprimuje IC — tj. K(\text{IC} \mid \xi, \text{Filter}) = K(\text{IC} \mid \text{laws}), což dává \Delta_{\text{IC}} = 0.
• Explicitní vyčíslitelný kodek K_\theta pro OPT, který je prokazatelně méně přesný než SM+GR na proudech pozorovatele, takže deficit log-věrohodnosti převýší zisk z komprese IC.

Následné závislosti

• T-5 (Obnova konstant) je zásadním dalším krokem: jakmile je kodek K_\theta ztotožněn se zákony SM+GR prostřednictvím T-1/T-2/T-3, stává se srovnání MDL plně explicitním a podmínka v T-4e se mění v konkrétní nerovnost mezi známými veličinami.
• Aktualizace preprintu §5.2: formulaci “Whether this meta-rule yields an actual MDL advantage… is an open comparative question” lze nyní aktualizovat na: “Theorem T-4d establishes a conditional asymptotic advantage (for observer streams that are also \nu-typical under the benchmark physics, a set currently uncharacterised); Theorem T-4e establishes a conditional finite-T advantage; see Appendix T-4.”

Tato příloha je udržována jako součást repozitáře projektu OPT spolu s theoretical_roadmap.pdf. Reference: Rissanen (1978) [12], Li & Vitányi (2008) [27], Solomonoff (1964) [11], Penrose (2004).