Teoria del Patch Ordenat

Tasca original T-4: comparació MDL / parsimònia Problema: El preprint en circulació reivindica parsimònia respecte de la física estàndard en tractar les lleis físiques com a algorismes macroscòpics de compressió, però no proporciona una comparació formal en termes de MDL. Resultat esperat: Anàlisi comparativa de MDL de l’OPT enfront de classes de models físics de referència sota convencions de codificació explícites.

Estat de tancament: TANCAT (condicional a la tipicitat i a la normalització d’IC). Aquest apèndix proporciona l’avaluació formal en termes de MDL requerida per T-4. Es fixen tres classes de models de referència amb convencions de codificació explícites. S’estableixen quatre teoremes i una conjectura: (T-4a) la regla de selecció de l’OPT té una longitud de descripció \mathcal{O}(1); (T-4b) les cotes de dominància de Solomonoff acoten superiorment la log-pèrdua de l’OPT; (Conjectura T-4c) la font conjecturada de l’avantatge estructural de l’OPT és la compressió de les condicions inicials; (T-4d) l’OPT assoleix un avantatge permanent de complexitat del model de bits constants sobre qualsevol model de referència computable; (T-4e) l’avantatge per a T finit es quantifica condicionalment. El tancament reposa sobre tres condicions fonamentals: la tipicitat del flux de l’observador, l’absorció de la penalització de normalització de Solomonoff \log(1/\xi(\mathcal{O})), i l’estat de K(\text{IC} \mid \text{SP}) > K_0.

§1. Fixació de les convencions de codificació MDL

Les comparacions MDL no tenen sentit sense convencions de codificació explícites i fixes. La secció §5.1 del preprint assenyala aquest requisit però el posposa. Aquí fixem les convencions seguint Rissanen (1978) [12] i el marc MDL en dues parts de Li & Vitányi (2008) [27].

1.1 La longitud del codi en dues parts

Per a una classe d’hipòtesis \mathcal{M} i una seqüència d’observacions y_{1:T} \in \{0,1\}^*, la longitud del codi MDL en dues parts és:

L_T(\mathcal{M}) = K(\mathcal{M}) + L(y_{1:T} \mid \mathcal{M}) \tag{preprint §5.1, Eq. 13}

on K(\mathcal{M}) és la complexitat de Kolmogórov prefixada de la hipòtesi —la longitud del programa autodelimitat més curt en una màquina de Turing universal (UTM) fixa que produeix una descripció completa de \mathcal{M}— i L(y_{1:T} \mid \mathcal{M}) és el logaritme negatiu de la versemblança de les dades sota el millor model predictiu de \mathcal{M}:

L(y_{1:T} \mid \mathcal{M}) = -\log_2 P_\mathcal{M}(y_{1:T})

Per a teories deterministes (les lleis + IC determinen unívocament les observacions), L(y_{1:T} \mid \mathcal{M}) = 0 quan y és coherent amb la teoria i L = \infty en cas contrari. Tots els logaritmes són en base 2; totes les longituds de codi, en bits.

1.2 La màquina universal

Fixem una única UTM òptima \mathcal{U} al llarg de tot el text. Totes les complexitats de Kolmogórov són relatives a \mathcal{U}; els resultats canvien com a màxim en \mathcal{O}(1) bits sota una elecció diferent d’UTM. La mesura de Solomonoff \xi es defineix relativa a \mathcal{U} (preprint Eq. 1). Això fixa la convenció per a totes les comparacions posteriors.

1.3 Abast de y_{1:T}

Comparem els models en el domini que cadascun va ser dissenyat per predir: el flux conscient de l’observador y_{1:T} = z_{0:T} (la seqüència d’estats latents comprimits, C_{\max} bits per segon durant T segons). La física estàndard s’avalua en aquest mateix domini reduint les seves prediccions al flux compatible amb l’observador mitjançant granularització gruixuda. A totes dues teories se’ls demana que donin compte exactament de les mateixes observacions.

§2. Classes de models de referència

Es fixen tres classes de referència. A cadascuna se li assigna una estimació explícita de K(\mathcal{M}) sota la nostra convenció UTM. Els valors numèrics precisos són estimacions d’ordre de magnitud; els resultats estructurals de les §§3–7 depenen només de l’ordenació, no dels valors exactes.

2.1 \mathcal{M}_1 — Model Estàndard + Relativitat General

La teoria física amb la màxima precisió predictiva disponible actualment. La seva descripció requereix tres components:

• Estructura matemàtica K_{\text{struct}}: el grup de gauge \text{SU}(3) \times \text{SU}(2) \times \text{U}(1), la invariància de Lorentz, la renormalitzabilitat i la simetria per difeomorfismes de la RG. Complexitat de Kolmogórov: K_{\text{struct}} \approx 10^3 bits.

• Valors dels paràmetres K_{\text{param}}: 19 paràmetres lliures del ME + 3 angles de mescla + 1 fase CP + \Lambda + G + c \approx 25 constants codificades amb precisió experimental (\sim 30 bits cadascuna): K_{\text{param}} \approx 750 bits.

• Condicions inicials K_{\text{IC}}: sota el paradigma inflacionari, K_{\text{IC}}^{\text{inf}} \approx 200–400 bits. Nota: aquí no puntuem la cota d’entropia termodinàmica 10^{123} de Penrose perquè mesura el volum macroscòpic de l’espai de fases (S), no la complexitat algorítmica específica de Kolmogórov (K). El microestat específic pot ser altament comprimible. Ens basem exclusivament en les cotes inflacionàries honestes.

K(\mathcal{M}_1) = K_{\text{struct}} + K_{\text{param}} \approx 1750 \text{ bits}

K(\text{IC} \mid \mathcal{M}_1) \approx 300 \text{ bits (inflacionari)}

2.2 \mathcal{M}_2 — QFT renormalitzable genèrica

La classe de totes les teories quàntiques de camps renormalitzables en \leq 4 dimensions d’espaitemps. Aquesta classe conté \mathcal{M}_1 com un dels seus membres. Com que també cal especificar el grup de gauge i el contingut de partícules:

K(\mathcal{M}_2) \gg K(\mathcal{M}_1) \gg 1750 \text{ bits}

\mathcal{M}_2 s’inclou com a contrapunt a l’afirmació de l’OPT que les lleis són seleccionades, no enumerades. Tot i que la comparació MDL amb \mathcal{M}_2 és trivialment guanyada per qualsevol subclasse finita (inclosa \mathcal{M}_1) perquè K(\mathcal{M}_2) és no acotada, la seva inclusió serveix formalment per demostrar l’escala infinita del problema de selecció de paràmetres que el Filtre d’Estabilitat col·lapsa de manera nativa.

2.3 \mathcal{M}_3 — Cervell de Boltzmann / Fluctuació tèrmica

Física estàndard amb condicions inicials màximament simples: un estat tèrmic (d’entropia màxima) a l’escala de Planck. Les lleis són idèntiques a \mathcal{M}_1; les condicions inicials són trivialment simples:

K(\mathcal{M}_3) \approx K(\mathcal{M}_1) \approx 1750 \text{ bits}, \qquad K(\text{IC} \mid \mathcal{M}_3) \approx 10 \text{ bits}

Tanmateix, la logversemblança d’observar un flux conscient ordenat y_{1:T} sota \mathcal{M}_3 és astronòmicament petita: L(y_{1:T} \mid \mathcal{M}_3) \approx K(y_{1:T}) \gg T \cdot C_{\max}. Així, \mathcal{M}_3 té un cost de CI negligible però un cost de versemblança catastròfic, i s’inclou per mostrar que l’avantatge MDL de l’OPT no s’aconsegueix mitjançant el mateix truc.

§3. Longitud del codi de l’OPT — Teorema T-4a

La longitud de codi MDL per a l’OPT es descompon com:

L_T(\text{OPT}) = K(\xi, \text{Filter}) + L(y_{1:T} \mid \xi, \text{Filter}) = K_0 + \left(-\log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T})\right)

on \xi^{\text{Filter}} és la mesura de Solomonoff \xi condicionada sobre la classe compatible amb l’observador \mathcal{O} (corrents que satisfan R_{\text{req}} \leq B_{\max}), i K_0 = K(\xi, \text{Filter}) és la longitud de descripció de la regla selectora.

Teorema T-4a (Cota de complexitat de la meta-regla). K(\xi, \text{Filter}) = K_0 = \mathcal{O}(1) bits. Específicament:

K_0 \leq K(\mathcal{U}) + K(C_{\max}) + K(\Delta t) + c

on K(\mathcal{U}) és la complexitat de la UTM, K(C_{\max}) = \mathcal{O}(\log C_{\max}) bits codifica el llindar d’amplada de banda amb precisió experimental, K(\Delta t) = \mathcal{O}(\log \Delta t) codifica la finestra d’actualització, i c és una petita constant universal.

Demostració. La mesura de Solomonoff \xi queda determinada de manera única per la UTM fixa \mathcal{U}, de manera que K(\xi \mid \mathcal{U}) = \mathcal{O}(1). El Filtre d’Estabilitat requereix dos paràmetres: C_{\max} i \Delta t, cadascun mesurat amb \sim 4 xifres significatives, de manera que K(C_{\max}, \Delta t) \leq 2 \times (4 \times \log_2 10) \approx 26 bits. La condició R_{\text{req}} \leq B_{\max} és una única desigualtat en notació fixa: \sim 10 bits. Total: K_0 \leq K(\mathcal{U}) + 36 bits.

Per absorbir K(\mathcal{U}) de manera justa, hem d’assumir una UTM “epistèmicament neutral”, és a dir, una màquina de referència el conjunt d’instruccions incorporat de la qual no codifica preferentment cap teoria física (és a dir, una geometria bàsica de combinadors o equivalent a Brainfuck, completament agnòstica respecte de la física). Sota una màquina no esbiaixada d’aquest tipus, és vàlid mantenir K(\xi, \text{Filter}) \approx 36 bits mentre s’estandarditza K(\mathcal{M}_1) \approx 1750 bits. Reconeixem que això deixa específicament el recompte absolut de bits vulnerable a un escalat constant \mathcal{O}(1) si es canvia la UTM, cosa que significa que el càlcul 36 vs 1750 és inherentment relatiu. L’enunciat matemàtic estructuralment honest aquí és l’ordenació per rang (K_0 \ll K(\mathcal{M}_1)), que afirma un avantatge estructural robust independent de la constant numèrica precisa. \blacksquare

Comparació: Excloent la sobrecàrrega compartida de la UTM, K_0 \approx 36 bits vs. K(\mathcal{M}_1) \approx 1750 bits. La regla selectora de l’OPT és més curta que la descripció del Model Estàndard en K(\mathcal{M}_1) - K_0 \approx 1714 bits. Aquest és l’avantatge de parsimònia estructural reivindicat a la §5 del preprint — ara amb un recompte explícit de bits.

§4. La cota de dominància de Solomonoff — Teorema T-4b

Teorema T-4b (Cota de dominància de Solomonoff). Per a qualsevol mesura de física computable \nu (incloent-hi \mathcal{M}_1, \mathcal{M}_2, \mathcal{M}_3) amb K(\nu) < \infty, i per a qualsevol flux de dades y_{1:T}:

L_T(\text{OPT}) \leq L_T(\nu) + K'_0

on K'_0 = K_0 + \log(1/\xi(\mathcal{O})). Això representa la complexitat de la regla base més la penalització de normalització algorítmica necessària incorreguda en condicionar la mesura universal sobre la classe d’observadors \mathcal{O}.

Demostració. A partir de la definició de la Semimesura universal de Solomonoff (preprint Eq. 1), amb w_\nu \asymp 2^{-K(\nu)}:

\xi(y_{1:T}) \geq w_\nu \cdot \nu(y_{1:T}) \geq 2^{-K(\nu)} \cdot \nu(y_{1:T})

Prenent logaritmes negatius:

-\log \xi(y_{1:T}) \leq -\log \nu(y_{1:T}) + K(\nu)

En passar de la mesura universal \xi al filtre restringit \xi^{\text{Filter}}, paguem el cost de normalització -\log \xi^{\text{Filter}}(y) = -\log \xi(y) + \log(1/\xi(\mathcal{O})). Substituint-ho a L_T(\text{OPT}):

L_T(\text{OPT}) = K_0 - \log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T}) \leq K_0 + \log(1/\xi(\mathcal{O})) + K(\nu) - \log \nu(y_{1:T}) = K'_0 + L_T(\nu) \qquad \blacksquare

Advertiment important. El Teorema T-4b no mostra que l’OPT superi l’SP. Mostra que l’OPT no pot fer-ho pitjor que qualsevol referència en més de K'_0 bits. D’ara endavant absorbim \log(1/\xi(\mathcal{O})) dins de K_0 assumint que la classe de seqüències d’observadors queda acotada netament en relació amb les constants estructurals de la UTM, però assenyalem aquesta bretxa de normalització com una vulnerabilitat formal.

§5. La compressió de les condicions inicials — Teorema T-4c

La font estructural de l’avantatge MDL d’OPT és la compressió de les condicions inicials. En la física estàndard, les lleis i les condicions inicials són objectes separats que tots dos han de ser descrits. En OPT, les condicions inicials s’absorbeixen en el prior: la mesura de Solomonoff ja assigna el pes més alt als fluxos més simples compatibles amb l’observador, fent redundant una especificació separada de les CI.

5.1 L’argument de redundància de les IC

Sota la física estàndard (\mathcal{M}_1), el codi MDL complet per a una teoria determinista és:

L_T(\text{SP}) = K_{\text{laws}} + K(\text{IC} \mid \text{laws}) + 0 \qquad \text{[determinista: } -\log P = 0 \text{ si és consistent]}

El terme IC K(\text{IC} \mid \text{laws}) és la longitud de descripció de les condicions inicials específiques donades les lleis — no és derivable de les lleis mateixes. Aquest és el locus de l’ajust fi.

Sota l’OPT, el codi en dues parts és:

L_T(\text{OPT}) = K_0 + \left(-\log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T})\right)

El terme -\log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T}) codifica el flux específic donada la metaregla. La prior de Solomonoff ja incorpora un model universal de la física: -\log \xi(y) \approx K(y). La codificació de l’OPT no necessita mai pagar per separat per les IC.

Conjectura T-4c (Cota heurística de compressió de les IC). Definim l’avantatge de compressió de les IC:

\Delta_{\text{IC}} = K(\text{IC} \mid \text{SP laws}) - K(\text{IC} \mid \text{OPT})

Argumentem la cota heurística següent:

\boxed{L_T(\text{OPT}) \leq L_T(\text{SP}) - \Delta_{\text{IC}} + K_0 + \mathcal{O}(1)}

on K(\text{IC} \mid \text{OPT}) := K(\text{IC} \mid \xi, \text{Filter}, \text{codec}) és la longitud de descripció residual de les condicions inicials donat el model complet de l’OPT. \Delta_{\text{IC}} \geq 0, amb igualtat si i només si el Filtre d’Estabilitat no proporciona cap compressió addicional de les IC més enllà del que ja donen les lleis.

Argument. Partint del codi complet en dues parts per a SP i aplicant la dominància de Solomonoff (absorbint les constants de normalització en un terme de cota \mathcal{O}(1) de la UTM):

L_T(\text{OPT}) \leq K_0 + K(\text{laws}) + K(\text{IC} \mid \text{laws}) - \log P_{\text{SP}}(y) + \mathcal{O}(1)

Reordenant i substituint L_T(\text{SP}) = K_{\text{laws}} + K(\text{IC} \mid \text{laws}) (teoria determinista):

L_T(\text{OPT}) \leq L_T(\text{SP}) + K_0 + \mathcal{O}(1)

Dins de l’OPT, -\log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T}) no necessita codificar individualment les IC: el Filtre selecciona a partir de la prior de Solomonoff, que comprimeix les IC de manera inherent mitjançant ponderacions per longitud. La subadditivitat de l’AIT garanteix que K(\text{IC} \mid x, f(x)) \leq K(\text{IC} \mid x) + \mathcal{O}(1). Si postulem que la regla de selecció de l’OPT es limita com una cadena descriptiva més ajustada que no pas declarar simplement les lleis en brut (que és l’aposta central del marc, no una prova derivada matemàticament), aleshores el K(\text{IC} \mid \text{OPT}) residual codificat no pot excedir significativament K(\text{IC} \mid \text{laws}). Això dona heurísticament \Delta_{\text{IC}} \geq 0.

Per substitució: L_T(\text{OPT}) \leq L_T(\text{SP}) - \Delta_{\text{IC}} + K_0 + \mathcal{O}(1). \blacksquare

Observació. Hipotetitzem que la compressió antròpica K(\text{IC} \mid \text{OPT}) \approx 0 opera en el límit en què el Filtre d’Estabilitat és altament constrenyent, i mapeja matemàticament a estats compatibles amb l’observador de manera única. Aquesta és una proposició física motivada més que no pas una cota d’unicitat demostrada algorítmicament.

§6. Avantatge de Complexitat de Model de Bits Constants — Teorema T-4d

Teorema T-4d (Avantatge permanent de MDL de bits constants — condicionat a la tipicitat). Per a tot model físic computable fix i no trivial \nu amb K_0 < K(\nu) < \infty, la formulació OPT assoleix un avantatge fix i permanent de complexitat de model específicament per a qualsevol y_{1:T} \in \mathcal{O} que també sigui \nu-típic. A mesura que la longitud de la seqüència T \to \infty, la diferència total de longitud de codi queda estructuralment acotada:

L_T(\text{OPT}) - L_T(\nu) \to K_0 - K(\nu)

Demostració. A partir de T-4b, L_T(\text{OPT}) \leq K'_0 - \log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T}). Per a qualsevol \nu computable, el teorema de Solomonoff garanteix que \xi convergeix cap a \nu exactament sobre seqüències \nu-típiques: mesurat com a \nu-gairebé-tot y_{1:\infty}. Cal remarcar aquí la profunda tensió formal: el Filtre d’Estabilitat aïlla fluxos que s’avaluen estrictament com de baixa entropia i estructurats, i els cartografia nativament com a estructuralment atípics en comparació amb els fluxos de mesura \nu estàndard no restringits de màxima entropia. Llevat que la classe filtrada d’observadors \mathcal{O} i la classe \nu-típica presentin una superposició matemàtica no trivial demostrable, el límit de convergència de Solomonoff no es pot aprofitar de manera nativa. En conseqüència, aquest teorema s’aplica condicionalment si i només si el flux específic d’observador filtrat roman \nu-típic sota les lleis de referència específiques (deixant formalment no caracteritzat el conjunt d’aquests fluxos d’intersecció teòricament conformes):

-\frac{1}{T} \log \xi(y_{1:T}) \to H(\nu) \quad \text{quan } T \to \infty

on H(\nu) és la taxa d’entropia de \nu. De manera similar, -\frac{1}{T} \log \nu(y_{1:T}) \to H(\nu). Asimptòticament, els termes de log-versemblança de pèrdua logarítmica per bit convergeixen i s’igualen, cosa que significa que l’avantatge restant en la longitud total de codi s’aïlla purament en la longitud de descripció del model:

\left[L_T(\text{OPT}) - L_T(\nu)\right] \to K_0 - K(\nu) < 0 \qquad \text{[ja que } K_0 \approx 36 \text{ vs } K(\nu) \sim 1750 \text{]}

Nota: Tot i que la longitud de codi total manté aquest avantatge permanent fix en bits, l’avantatge per bit (\frac{K_0 - K(\nu)}{T}) es redueix activament fins a zero. Això no representa un avantatge asimptòticament creixent de manera contínua mitjançant l’acumulació de dades, sinó més aviat un desplaçament estructural rígid i permanent. \blacksquare

Estimació numèrica per a \mathcal{M}_1: K(\mathcal{M}_1) - K_0 \approx 1714 bits. Un cop les log-versemblances de pèrdua logarítmica convergeixen al llarg de finestres d’observació \nu-típiques adequades, OPT manté una superioritat matemàtica permanent d’encodificació total d’aproximadament 1714 bits.

§7. L’avantatge condicional en T finit — Teorema T-4e

Per a fluxos de longitud finita, la comparació MDL requereix que l’avantatge de compressió de l’IC de T-4c superi el sobrecost K_0.

Teorema T-4e (Avantatge condicional MDL en T finit). L’OPT assoleix un avantatge MDL estricte en T finit sobre \mathcal{M}_1 — és a dir, L_T(\text{OPT}) < L_T(\mathcal{M}_1) — si i només si es compleix la condició següent:

\boxed{K(\text{IC} \mid \text{SP laws}) > K_0 + \log\left(\frac{1}{\xi(\mathcal{O})}\right) + \left[-\log \xi^{\text{Filter}}(y_{1:T}) - \left(-\log P_{\text{SP}}(y_{1:T})\right)\right]}

El claudàtor del costat dret és el dèficit de logversemblança de l’OPT en relació amb SP en el flux específic y_{1:T}. La condició es compleix sempre que el cost descriptiu de l’IC superi el sobrecost combinat de la metaregla i del dèficit predictiu de l’OPT en aquest flux.

Demostració. Manipulació directa de les longituds dels codis en dues parts:

L_T(\text{OPT}) < L_T(\text{SP}) \iff \quad K_0 + \log\left(\frac{1}{\xi(\mathcal{O})}\right) - \log \xi^{\text{Filter}}(y) < K_{\text{laws}} + K(\text{IC} \mid \text{laws}) - \log P_{\text{SP}}(y) \iff \quad K(\text{IC} \mid \text{laws}) - K_0 > \log\left(\frac{1}{\xi(\mathcal{O})}\right) + \left[-\log \xi^{\text{Filter}}(y) - \left(-\log P_{\text{SP}}(y)\right)\right] + \left[K_{\text{laws}} - K_{\text{laws}}\right]

Reordenant-ho (K_{\text{laws}} es cancel·la a ambdós costats) s’obté directament la condició enunciada. \blacksquare

7.1 Avaluació de la Condició per a la Cosmologia Estàndard

Sota la codificació inflacionària (el cas més favorable per a SP):

• K(\text{IC} \mid \text{SP laws}) \approx 300 bits (paràmetres inflacionaris + recompte d’e-folds + reescalfament)
• K_0 \approx 36 bits (T-4a)
• El dèficit de log-versemblança: Hipotetitzem funcionalment que l’OPT, equipada amb els límits del còdec R_{T,h}(D) cartografiats a T-1, assoleix una log-versemblança puntual almenys tan robusta com la de la física estàndard sobre un flux compatible amb l’observador. Cal notar que les fites de Solomonoff només proporcionen estrictament dominància sobre sumes esperades, no pas fites puntuals definitives sobre fluxos singulars específics; per tant, \left[-\log \xi^{\text{Filter}}(y) - \left(-\log P_{\text{SP}}(y)\right)\right] \leq 0 representa una expectativa estructural empírica més que no pas una garantia algorítmica.

Per tant, la condició es redueix a K(\text{IC} \mid \text{SP laws}) > K_0, és a dir, 300 > 36. Això es compleix amb un marge estructural substancial. La condició només falla si IC costa menys de \sim 36 bits — és a dir, si la IC específica del nostre univers és estructuralment derivable únicament de les lleis de SP i genera menys de 36 bits residuals. Cap model cosmològic actual no aconsegueix això.

§8. La taula MDL comparativa

^* Sota la identificació explícita del còdec de la §9.2, el terme de dades actives de l’OPT es redueix a -\log P_{K_\theta}(y) = -\log P_\text{SP}(y) = 0 un cop K_\theta s’identifica amb el còdec SP.

§9. Límits de la comparació

9.1 K(y \mid \text{Filter}) no és computable

La longitud de codi de l’OPT K_0 + K(y \mid \text{Filter}) = K_0 - \log \xi^{\text{Filter}}(y) conté un terme que no és computable en el sentit de Turing (el problema de l’aturada impedeix calcular \xi exactament). A la pràctica, les prediccions de l’OPT s’han d’aproximar mitjançant un còdec finit K_\theta — cosa que és estàndard en física. Això significa que, amb finalitats predictives, l’OPT es redueix al millor còdec computable disponible. L’avantatge MDL de l’OPT sobre l’SP és, per tant, un avantatge estructural (en la descripció de la regla de selecció) més que no pas un avantatge operatiu a l’hora de fer prediccions noves.

Això no és un defecte — és el contingut formal correcte de l’afirmació del preprint: “L’OPT desplaça una part de la càrrega explicativa de l’enumeració de lleis cap a la selecció de lleis.” El desplaçament és real i està formalment quantificat (\approx 1700 bits per a la regla de selecció enfront de \mathcal{M}_1), però no genera contingut predictiu nou més enllà del que el còdec ja proporciona.

9.2 El problema d’identificació del Còdec

El còdec OPT K_\theta és la mesura computable específica de \mathcal{M} que selecciona el Filtre d’Estabilitat. T-4 no determina quina és aquesta mesura — aquesta identificació requereix T-5 (recuperació de constants) i el programa complet d’unificació física. Fins que K_\theta no s’identifiqui explícitament amb SM + GR, la comparació MDL és condicional a aquesta identificació. La cota formal L_T(\text{OPT}) \leq L_T(\text{SP}) + K_0 garanteix que l’OPT no pot fer-ho pitjor que l’SP, però no garanteix que ho faci millor en temps finit tret que es compleixi la condició IC de T-4e — cosa que efectivament passa sota supòsits cosmològics estàndard.

Restricció de P-2. L’apèndix P-2 (incrustació de l’espai de Hilbert mitjançant correcció quàntica d’errors) estableix que, sota soroll local, el còdec ha de satisfer una estructura QECC — la seva representació interna ha de constituir un codi quàntic de correcció d’errors amb paràmetres específics (n, k, d). Això acota el problema d’identificació del còdec: K_\theta ja no és una mesura computable arbitrària, sinó una mesura els estats predictius de la qual porten la geometria correctora d’errors d’un espai de Hilbert. Aquesta restricció és anterior al programa de recuperació de constants de T-5 i pot aportar criteris de selecció addicionals per identificar K_\theta amb el Model Estàndard.

§10. Resum de tancament

Lliurables de T-4 — Tancament confirmat (amb condicions de normalització i tipicitat)

1. Convencions de codificació fixades (§1). MDL de dues parts, complexitat de Kolmogórov prefixada relativa a una UTM fixa inclusiva, amb mapatge funcional del domini de dades sobre el flux conscient y_{1:T} = z_{0:T}.

2. Classes de referència fixades (§2). Avalua \mathcal{M}_1 (SM+GR) davant de límits trivials com ara \mathcal{M}_2 (selecció de paràmetres amb abast generatiu explosiu) i \mathcal{M}_3 (col·lapse de versemblança de Boltzmann).

3. T-4a (Complexitat de la meta-regla). K(\xi, \text{Filter}) = K_0 \approx 36 bits, inclosos els desplaçaments relatius de la UTM.

4. T-4b (Solomonoff acotat). L_T(\text{OPT}) \leq L_T(\nu) + K_0 + \log(1/\xi(\mathcal{O})). Defineix explícitament el paràmetre de penalització de normalització algorítmica.

5. Conjectura T-4c (Cota heurística de compressió d’IC). La redundància estructural de les condicions inicials és el motor conjecturat de la compressió: \Delta_{\text{IC}} = K(\text{IC}\mid\text{SP}) - K(\text{IC}\mid\text{OPT}) \geq 0, tot i que la unicitat del mapatge és condicional. Això serveix com a cota heurística, no com a teorema formalment demostrat.

6. T-4d (Avantatge del model de bits constants). Acota condicionalment el comportament límit: per a referències computables la classe \nu-típica de les quals se solapa de manera no trivial amb \mathcal{O}, l’OPT assegura un avantatge permanent de complexitat numèrica (\sim -1714 bits), tot i que la seva densitat infinita per bit escala a zero.

7. T-4e (Avantatge a T finit — condicional). L’OPT supera numèricament \mathcal{M}_1 a T finit exactament quan les pèrdues puntuals empíriques no reverteixen el límit estructural central K(\text{IC}\mid\text{SP}) > K_0 (300 > 36). Situa la vulnerabilitat directament en els supòsits de dominància puntual algorítmica.

Condicions de falsació per a l’afirmació MDL

• Una derivació de les condicions inicials cosmològiques a partir només de les lleis SP en menys de \sim 36 bits — mostrant que K(\text{IC} \mid \text{SP laws}) < K_0.
• Una demostració que la restricció del Filtre d’Estabilitat als fluxos compatibles amb observadors no comprimeix les IC — és a dir, K(\text{IC} \mid \xi, \text{Filter}) = K(\text{IC} \mid \text{laws}), donant \Delta_{\text{IC}} = 0.
• Un còdec computable explícit K_\theta per a l’OPT que sigui demostrablement menys precís que SM+GR en fluxos d’observador, de manera que el dèficit de log-versemblança superi el guany de compressió d’IC.

Dependències posteriors

• T-5 (Recuperació de constants) és el pas següent essencial: un cop el còdec K_\theta s’identifica amb les lleis SM+GR mitjançant T-1/T-2/T-3, la comparació MDL esdevé plenament explícita i la condicional de T-4e es converteix en una desigualtat concreta entre quantitats conegudes.
• Actualització del preprint §5.2: la frase “Whether this meta-rule yields an actual MDL advantage… is an open comparative question” ara es pot actualitzar a: “Theorem T-4d establishes a conditional asymptotic advantage (for observer streams that are also \nu-typical under the benchmark physics, a set currently uncharacterised); Theorem T-4e establishes a conditional finite-T advantage; see Appendix T-4.”

Aquest apèndix es manté com a part del repositori del projecte OPT, juntament amb theoretical_roadmap.pdf. Referències: Rissanen (1978) [12], Li & Vitányi (2008) [27], Solomonoff (1964) [11], Penrose (2004).