有序補丁理論

原始任務 T-3：MERA 張量網路與因果錐 問題： OPT 提出由序列性壓縮所構成的資訊因果錐，但其依賴的是特製的幾何描述，而非標準的量子張量形式論。 交付內容： 將 OPT 的資訊因果錐形式化映射至 MERA 張量網路結構。

結案狀態：條件式同構（已確認結構同態；嚴格物理同構經由 P-2 有條件升級）。 本附錄提供了 T-3 所要求的目標結構映射。三個定理建立了一種強拓撲類比：（T-3a）OPT 的穩定性濾波器之反覆粗粒化，在結構上同態於 MERA 張量網路；（T-3b）§3.3 的資訊因果錐在數量級上對應於 MERA 因果錐；以及（T-3c）預測分支集在結構上映射至未經重整化的邊界自由度。將這種純粹隨機性的結構同態，在數學上提升為真正離散 Ryu-Takayanagi 界限所要求的嚴格希爾伯特空間等距映射，原先仍屬未解；但如今已透過問題 P-2 中依序建立的明確計算基底嵌入與等距映射識別橋接公設，而獲得有條件的解決。

§1. 多層壓縮結構

預印本的 §3.3 以單一瓶頸最佳化（式 4）來界定 OPT 觀察者：從完整邊界狀態 X_t 中選取一個壓縮狀態 Z_t \in \{1, \ldots, 2^B\}，以在最小描述長度下最大化預測資訊。§3.3 未明確說出的是，從 X_{\partial A} 到 Z_t 的路徑，自然可分解為一連串壓縮層的級聯——每一層都會捨棄那些在下一尺度的預測中無關緊要的短程相關。這種階層結構，正是 MERA 對應在 OPT 這一側的表現。

1.1 L 層瓶頸級聯

令 s \geq 2 為固定的粗粒化因子，L 為壓縮層的總數。定義此級聯如下：

Z_t^{(0)} := X_{\partial_R A} \qquad \text{（第 0 層：完整馬可夫邊界，} H = B_0 \text{ 位元）}

對於其後每一層 \tau = 0, \ldots, L-1：

Z_t^{(\tau+1)} = \operatorname*{arg\,min}_{q} \left[ I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) - \beta_\tau\, I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \right]

\text{約束條件為： } I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) \leq B_\tau, \qquad B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}

最終狀態為 Z_t := Z_t^{(L)}，其中 B_L = B_0 \cdot s^{-L} 位元。此級聯定義出一條馬可夫鏈：

X_{t+1:\infty} \;-\!\!-\; Z_t^{(0)} \;-\!\!-\; Z_t^{(1)} \;-\!\!-\; \cdots \;-\!\!-\; Z_t^{(L)} = Z_t

依據資料處理不等式，預測資訊是單調不增的：

I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \geq I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right)

每一層都會損失一個受控數量的預測資訊——其控制量即為該層瓶頸的失真預算 D_\tau。

1.2 分解為先解糾纏再粗化

每一層轉換 Z^{(\tau)} \to Z^{(\tau+1)} 都可分解為兩個典範步驟：

• 解糾纏： 對 Z^{(\tau)} 施加一個以置換映射 U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} 為模型的局部可逆重排，使預測分支集之中彼此互不相關的分支——亦即對未來不共享任何預測資訊的分支——被帶到相鄰位置。這個古典步驟是可逆的；不會有任何資訊遺失。

• 粗化（瓶頸映射）： 將狀態劃分為大小為 s 的群組，並在每個群組上施加古典隨機瓶頸壓縮映射 W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z})。鍵維度固定為 \chi = 2^{B_0/N}，其中 N 是邊界位點的數目。為了在形式上作為精確的離散希爾伯特空間張量維度，而非有效的連續尺度，該框架嚴格要求丟番圖約束 2^{B_0/N} \in \mathbb{Z}^+。這明確保證精確的整數維度 \chi 會給出每位點熵 \log \chi = B_0/N，並在幾何上與容量排程 B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau} 一致。注意： §2 中使用的量子目標結構是 MERA 等距映射 w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s}（其伴隨算子 w_\tau^\dagger 實作粗化）以及解糾纏器 u_\tau。§1 的映射 W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}) 與 U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} 則是古典的 OPT 對象。連接兩者的嵌入將在附錄 P-2 中建立。

每一層中的組合 W_\tau \circ U_\tau，對 \tau = 0, \ldots, L-1 疊加起來，即構成完整的張量網路。接下來我們將說明，這正是 MERA。

§2. MERA——形式定義

我們以適合 OPT 映射的形式，陳述 Vidal（2008）[43] 中的相關定義。

2.1 張量

對於具有局域希爾伯特空間 \mathbb{C}^\chi、由 N 個邊界站點構成的一維鏈，其 MERA 由 L 層組成。每一層 \tau 包含兩類張量：

• 解糾纏器 u_\tau： 酉張量 u_\tau: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2} \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2}，作用於相鄰的站點對。它們在不改變總希爾伯特空間維度的情況下去除短程糾纏。酉性：u^\dagger u = u u^\dagger = I。

• 等距映射 w_\tau： 張量 w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s}，滿足 w_\tau^\dagger w_\tau = I_{\mathbb{C}^\chi}（等距性：此映射是從粗粒化空間嵌入細粒化空間的單射）。其伴隨映射 w_\tau^\dagger: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} \to \mathbb{C}^\chi 實現粗粒化，將 s 個細粒化站點映射為 1 個粗粒化站點。

完整的 MERA 透過自體塊至邊界逐層施加各層，且每一層都將狀態空間按因子 s 擴展，從而把頂層狀態 |\psi_{\text{top}}\rangle \in \mathbb{C}^\chi（體塊）映射到邊界狀態 |\psi_{\text{boundary}}\rangle \in (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes N}。

2.2 MERA 的因果錐

邊界站點 x \in \{1, \ldots, N\} 的因果錐 \mathcal{C}(x)，是網路中其張量值可能影響站點 x 的約化密度矩陣 \rho_x 的最小張量集合。它以自底向上的方式計算（由 bulk 朝向邊界）。

在 bulk 層（自邊界起深度為 \tau = L）：\mathcal{C}(x) 包含單一的頂部張量。此後每往邊界前進一層，因果錐會在每個等距映射層按因子 s 擴張，並在每個去糾纏器層至多擴張 2 倍。\mathcal{C}(x) 在距頂部深度為 \tau 的邊界深度處，其寬度為：

w(\tau) = \mathcal{O}(s^\tau) \qquad \text{[自 bulk 朝向邊界呈指數增長]}

對於臨界 MERA（s = 2），因果錐的寬度在深度 \tau 處按 2^\tau 增長，而在經過 L 層之後，便達到完整的邊界寬度 N = s^L。

2.3 糾纏熵與最小割

對於長度 |A| = l 的連續邊界區域 A，MERA 狀態中的糾纏熵 S(A) 受限於張量網路體區中最小曲面 \gamma_A 所切斷的鍵數：

S(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi

其中，|\gamma_A| 是最小割中的鍵數，而 \chi 是鍵維度。對於尺度不變的 MERA，|\gamma_A| \sim \frac{c}{3} \log l，從而重現 CFT 的糾纏熵 S(A) \sim \frac{c}{3} \log l，其中 c/3 = \log \chi。這是 AdS/CFT 中 Ryu-Takayanagi 公式的離散類比。

§3. 定理 T-3a — 結構同態

定理 T-3a（MERA–OPT 同態）。 OPT 的 L 層資訊瓶頸級聯 \{Z_t^{(\tau)},\, \tau = 0, \ldots, L\}，其邊界狀態為 Z_t^{(0)} = X_{\partial_R A}、體態為 Z_t^{(L)} = Z_t、層容量為 B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}，且鍵維度為 \chi = 2^{B_0/N}，在下述形式上的古典映射之下，與一個具有 L 層、尺度因子 s 與鍵維度 \chi 的 MERA 之層拓撲在結構上同態： - (i) OPT 粗粒化 W_\tau \;\leftrightarrow\; MERA 等距映射伴隨算子 w_\tau^\dagger - (ii) OPT 解糾纏器 U_\tau \;\leftrightarrow\; MERA 解糾纏器 u_\tau

3.1 證明——等距映射識別

第 \tau 層的 OPT 粗粒化張量，是透過由瓶頸最佳化所產生的條件分佈 q^*(z^{(\tau+1)} \mid z^{(\tau)}) 來計算。雖然整體資訊預算強制施加平均的巨觀容量比 B_\tau / B_{\tau+1} = s，但經典隨機瓶頸本身並不會自然地強制精確且均勻的纖維基數（亦即，對每個 z^{(\tau+1)} 輸出，其嚴格離散原像都等價地具有大小 s）。因此，若要將這一步明確形式化，就必須把架構限制在理想化的緊映射極限（D \to 0），並在條件上假定相關參數能完美分離出均勻的資訊結構。

然而，q^* 所表示的是經典隨機機率矩陣，而非複數量子酉矩陣。若據此宣稱真正的希爾伯特空間等距條件（W_\tau W_\tau^\dagger = I_{\mathbb{C}^\chi}）成立，將構成一種範疇錯誤。真正的部分等距映射，要求先將這些離散狀態明確嵌入 \mathbb{C}^\chi 上的計算基底之中。Appendix P-2（條件性量子對應）建立了此一嵌入：定理 P-2.0 給出計算基底識別，而定理 P-2c 則證明，在緊極限下，最佳瓶頸映射會在受 QECC 保護的子空間內作為部分等距映射而運作。在 P-2 的局部雜訊模型條件下，該結構同態可進一步提升為碼空間內真正的張量網路同構。\blacksquare

3.2 證明——解纏器識別

純粹古典的解纏器 U_\tau 被確立為一個局部雙射（一種來自對稱群 S_{|\mathcal{Z}|} 的狀態字母表置換），其作用是在粗粒化之前重排 Z^{(\tau)}，以最小化群組間的冗餘（等價地說，即互資訊）。

U_\tau = \operatorname*{arg\,min}_{U \in S_{|\mathcal{Z}|}} \sum_{j \neq k} I\!\left( U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, j} \,;\, U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, k} \right)

這與 MERA 解纏器的結構性目標相符：在粗粒化之前移除短程纏結（相鄰群組之間的關聯）。真正的複數酉性（U^\dagger U = I）則由定理 P-2.0（附錄 P-2）所確立：在計算基底嵌入之下，置換 U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} 會經由置換表示，唯一地提升為 U(\mathbb{C}^\chi) 中的一個酉矩陣。

注意事項（置換 vs. 一般酉變換）。 定理 P-2.0 將 OPT 的解纏器提升到 U(\mathbb{C}^\chi) 的置換子群中，而非整個酉群。標準 MERA 解纏器是一般酉變換 u_\tau \in U(\mathbb{C}^\chi \otimes \mathbb{C}^\chi)；置換子群則是其真子集（|S_\chi| = \chi!，而 \dim U(\chi) = \chi^2 為連續參數）。因此，P-2.0+P-2c 所建立的同構，實際上是對應於置換 MERA——一個受限的子類。若要擴展至完整 MERA，則必須辨識出一種 OPT 原生機制，使其生成的是一般酉變換而非置換。此一缺口不影響 RT 熵界（P-2d），因為後者僅依賴等距條件 P-2c，而不依賴解纏器的類別。 \blacksquare

MERA–OPT 同構字典

§4. 定理 T-3b — 因果錐恆等性

定理 T-3b（因果錐對應）。 在 T-3a 的同態之下，OPT 的資訊因果錐（預印本 §3.3）在結構上（以數量級尺度而言）對應於 MERA 因果錐。當前孔徑 Z_t 映射到體中的頂層張量；已定的因果記錄 \mathcal{R}_t 對應於過去的體態；預測分支集 \mathcal{F}_h(z_t) 對應於 MERA 邊界上距當前 h 層之未重整化自由度。

4.1 對應方向

此處存在一個必須精確說明的取向細節。在 MERA 中，網路由邊界（UV，細粒度）通向體內（IR，粗粒度）。在 OPT 中，資訊因果錐則由過去（已定、已壓縮）穿過當下孔徑，通向未來（預測分支集，尚未解消）。其對應關係如下：

4.2 證明——因果錐寬度 = 預測分支集容量

在 MERA 中，體態 Z_t 的因果錐（位於距邊界深度 L 處）會在朝向邊界移動時擴張：當其位於距頂部 \tau 層的深度時，該錐的寬度為 s^\tau。這計數了能夠獨立影響 Z_t 的邊界位點數量。

在有序補丁理論 (OPT) 中，當前孔徑起算、深度為 h 個時間步的預測分支集 \mathcal{F}_h(z_t)，至多包含 2^{B \cdot h} 個可區分的未來狀態（預印本式 5：\log|\mathcal{F}_h| \leq Bh）。MERA 的層深對應於 \tau = h。我們觀察到一個指數界與線性界之間的不匹配（在 MERA 中，經由尺度擴張為 s^\tau \cdot B/L 位元；在預測分支集中，經由時間累積為 B \tau）。因果錐寬度與 OPT 的預測分支集容量，在數量級上穩健一致，但只有在單層編解碼器的極限下（L=1）才達到嚴格的精確一致。此外，若將 MERA 的被動拓撲與依賴行動的預測分支集加以識別，便意味著我們完全是在被動觀察者極限內運作（a \equiv \text{const}）。\blacksquare

4.3 證明 — 因果記錄 = 過去體積區域

已定的因果記錄 \mathcal{R}_t = (Z_0, Z_1, \ldots, Z_t)（預印本 §3.3）由所有過去的壓縮狀態所構成——亦即那些已被渲染結果為既定過去的體積區域狀態。在 MERA 中，這些對應於由編解碼器的時間動力學 K_\theta（預印本式 6）所連接的一系列過去體積區域狀態。\mathcal{R}_t 已定且低熵的性質，對應於 MERA 中體積區域狀態依其構造而具有低糾纏熵這一事實——它們是解糾纏程序粗粒化之後的結果。\blacksquare

§5. 定理 T-3c — 預測分支集作為邊界 UV 與離散 Ryu-Takayanagi 公式

定理 T-3c（預測分支集 = 邊界 UV；離散 RT）。

1. 預測分支集 \mathcal{F}_h(z_t) 以機率方式對應到 MERA 邊界上未重整化自由度的集合——亦即施加於時間步 t + h 之編解碼器的 MERA 邊界 UV 層。

2. 古典資料處理極限（體切割界）：在內部體最小切割層上正確評估的預測切割熵，明確滿足： S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \log \chi

3. 離散量子 RT 延伸（以 P-2d 嵌入為條件）：

\boxed{S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi}

其中，\gamma_A 是 MERA 體中的最小切割曲面，而 \chi = 2^{B_0/N} 是鍵維度。此界限在 P-2d 等距映射成立的條件下有效；當量子結構不可用時，它便退化為第 (b) 部分的古典體切割界。

5.1 證明——預測分支集作為邊界 UV

時間 t+h 的 MERA 邊界 UV 層由所有可能的輸入狀態 X_{\partial_R A}^{(t+h)} 所構成——亦即那些細粒度、尚未經粗粒化的邊界狀態，它們將在接下來的 h 個時間步中由編解碼器處理。依據其級聯結構，這些狀態恰好就是從當前孔徑 Z_t = Z_t^{(L)} 出發，將 MERA 反向運行（由體向邊界）h 層後所能到達的狀態——也就是說，將 Z_t 的因果錐展開 h 步所得到的狀態。

預測分支集 \mathcal{F}_h(z_t) 在預印本（§3.3）中定義為：

\mathcal{F}_h(z_t) := \left\{ z_{t+1:t+h} : p(z_{t+1:t+h} \mid z_t,\, a_{t:t+h-1}) > 0 \right\}

這些正是透過以機率方式沿展開方向操作級聯，在 h 個 MERA 層內從 Z_t 可達的所有體狀態序列。此一對應要求對 MERA 進行雙向評估——邊界 \to 體（過去的壓縮）以及體 \to 邊界（未來的展開）。預測分支集明確對應於第二個方向；在 §4.1 所正確指出的時間反演對應之下，它正是體狀態朝向邊界 UV 的因果錐展開之精確支撐集合。\blacksquare

5.2 證明——離散 Ryu-Takayanagi 映射界

令 A 與 \bar{A} = V \setminus A 為邊界的一個二分。令 \tau^* 為張量網路中 A/\bar{A} 介面被精確切斷的最小層級（即最小割層）。在此層級，局部互資訊瓶頸容量會被那些被切斷鍵的容量嚴格箝制：

S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi \qquad (\text{群間 bulk 界})

雖然這確實在 bulk 最小割層上精確建立了離散 Ryu-Takayanagi 容量界，但若要在形式上將此界向上推至外部邊界的預測切割熵 S_{\text{cut}}(A) = S_{\text{cut}}^{(0)}(A)，則無法藉由資料處理不等式（Data Processing Inequality, DPI）來完成（因為 DPI 要求的是：當我們向下壓縮時，熵必須單調遞減，而非遞增：S_{\text{cut}}^{(0)} \geq S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}）。

通往完整目標之離散 RT 邊界界（S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi）的正確路徑，是對該二分上的 Schmidt 秩 進行界定——這一策略要求將網路視為透過真正的線性等距映射來構造邊界態。此點現已在 附錄 P-2 中建立：定理 P-2d 在 P-2c 的等距條件下，透過 MERA 狀態沿最小割的 Schmidt 分解，證明了離散量子 Ryu-Takayanagi 公式。\blacksquare（以 P-2d 等距條件為前提）。

§6. 認識階梯——從經典到量子 RT

上述三個定理在經典資訊理論層次上確立了 MERA 結構。預印本 §3.4 的認識階梯描述了每一級階梯得以攀升所需的條件。

量子 RT 公式要求將經典的預測切割熵 I(X_A;\, X_{V \setminus A})，替換為密度矩陣 \rho_A 的馮紐曼糾纏熵 S_{\text{vN}}(\rho_A)。這預設了 Z_t 狀態空間具有希爾伯特空間結構。此一結構的推導——透過 ADH 量子錯誤更正論證（預印本 P-2）——仍是下一個形式化步驟。一旦 P-2 完成封閉，鍵維度 \chi = 2^{B_0/N} 就會成為量子鍵維度，而 T-3c 證明中的經典互資訊也將被量子互資訊取代，從而恢復帶有 bulk 修正項 S_{\text{bulk}} 的完整量子 RT 公式。

§7. 由碼距導出的湧現體幾何

MERA 的體幾何並非一個預先存在的容器。在 T-3a 的同構之下，它是編解碼器的資訊度量空間：亦即壓縮距離的幾何。

7.1 作為體積度量的碼距離

將級聯在層級 \tau 的兩個狀態之間的離散整數碼距離 d(z^{(\tau)}, z'^{(\tau)}) 定義為：在張量網路內將它們連接起來所需的最少 disentangler-swap 次數。

在適當的熱力學極限或連續體極限下（N \to \infty, a \to 0），可將連續空間層級尺度 \tau 上的體積度量 g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) 近似為：

g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) \propto \lim_{a \to 0} \frac{d\!\left(z_i^{(\tau)},\, z_j^{(\tau)}\right)^2}{d\!\left(z_i^{(0)},\, z_j^{(0)}\right)^2}

這是一種結構性的預期，其成立條件是：級聯具有尺度不變性，且假設 Permutation MERA 在連續體極限中可由一般 MERA 連續近似——這與 Swingle（2012）及 Nozaki-Ryu-Takayanagi（2012）的已知結果一致，但對於僅有有限層數的離散級聯而言，並無保證。因此，在這些連續體極限猜想之下，我們預期時空幾何將恰恰在碼距離發散之處產生曲率——亦即在所需預測速率 R_\text{req} 逼近 C_\text{max} 之處；這在策略性意義上與 T-2 將其辨識為率失真溢出的做法一致。

7.2 與 T-2 的連結

T-2 已確立，重力曲率 G_{\mu\nu} 是渲染熵 S_{\text{render}} 對度量的導數。現在，MERA 結構進一步指明了 S_{\text{render}} 的微觀起源：它就是最小切割熵 |\gamma_A| \log \chi，而愛因斯坦張量 G_{\mu\nu} 則是此切割熵對由編碼距離所誘發之體幾何中的度量擾動所作出的回應。因此，這兩篇附錄彼此一致：T-2 給出巨觀的場方程；T-3 則給出這些方程所極值化之熵泛函的微觀張量網路起源。

§8. 收束總結與開放邊界

T-3 交付項目——部分解決 → 有條件升級（配合 P-2）

1. T-3a（MERA 同構）。OPT 的 L 層瓶頸級聯，在結構上與層因子為 s、深度為 L 的 MERA 同態。結合附錄 P-2（定理 P-2.0 與 P-2c），此結果可升級為 QECC 保護子空間內的張量網路同構，但以局域雜訊為條件。注意：此同構對應的是置換 MERA（解糾纏器屬於 U(\mathbb{C}^\chi) 的置換子群），而非具有任意酉解糾纏器的一般 MERA。此限制不影響 RT 界（P-2d），但會將對應關係限制在 MERA 網路的一個子類別內。

2. T-3b（因果錐對應）。在被動觀察者極限內，資訊因果錐與 MERA 因果錐結構在數量級上呈對稱縮放，儘管其深度剖面有所不同。預測分支集對應於未經重整化的邊界資料。（P-2 的等距結果適用於被動觀察者極限；而預測分支集定義中的動作相依項 a_{t:t+h-1}，則需要 P-2 尚未處理的開放系統延伸。）

3. T-3c（離散量子 RT）。原先基於 DPI 的證明只界定了體區，卻未能界定邊界熵。藉由 P-2c 的等距性，定理 P-2d 透過 MERA 狀態的 Schmidt 秩，建立了完整的邊界界限 S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi。

4. 湧現體區幾何。 MERA 的體區度量 g_{ij}^{\text{bulk}} 由級聯中的碼距所誘導。時空會在碼距發散之處彎曲，這與 T-2 將 G_{\mu\nu} 識別為渲染結果熵之度量導數的主張一致。（仍需連續極限。）

5. 認識論階梯狀態。 第 2 階（離散量子 RT）現已由 P-2d 證成。第 3 階（含體區修正的完整量子 RT）則仍需一個尚未從 OPT 基元導出的連續極限。

此一收束所開啟的開放邊界

• P-2（Born 規則／希爾伯特空間）如今已有其精確切入點：鍵維度 \chi 必須嵌入為量子希爾伯特空間的維度。一旦 ADH 誤差校正強制出邏輯量子位元結構，經典鍵 \chi = 2^{B_0/N} 就會升級為具有馮紐曼熵的量子鍵，而 T-3c 的離散 RT 也將成為帶有體區修正 S_{\text{bulk}} 的完整量子 RT。

• P-3（非對稱全像）：MERA 的體區重建與 Fano 不等式，如今有了共同的形式歸屬。Fano 不等式（預印本 §3.10）界定了觀察者從渲染結果內部重建基底的能力——這恰恰就是 MERA 映射的不可逆性（邊界 \to 體區是編解碼器；而體區 \to 邊界的反演，在超過最小切割深度 \tau^* 之後便不可能）。

• T-5（常數回復）：鍵維度 \chi = 2^{B_0/N} 與粗粒化因子 s，為無因次常數提供了新的約束。特別是，s = 2 與 L = \log_s(B_0/B_L) 必須與 T-2 中的普朗克尺度識別 l_{\text{codec}} = l_P 相容，從而約束比值 B_0/B_L。

• §8.3 預印本項目 3（MERA／因果集）：將預測分支集的 MERA 邊界層，形式化地映射到因果集框架，以便純粹從編解碼器排序中抽取感知時空的度量性質。§7 的碼距度量 g_{ij}^{\text{bulk}} 即為其起點。

本附錄作為 OPT 專案儲存庫的一部分，與 theoretical_roadmap.pdf 一同維護。參考文獻：Vidal (2008) [43]、Pastawski et al. (2015) [44]、Almheiri-Dong-Harlow (2015) [42]、Tishby et al. (1999) [28]、Ryu-Takayanagi (2006)。