有序补丁理论

原始任务 T-3：MERA 张量网络与因果锥 问题： OPT 提出了一种由序贯压缩构成的信息因果锥，但其依赖的是定制化的几何描述，而非标准量子张量形式主义。 交付成果： 将 OPT 的信息因果锥形式化映射到 MERA 张量网络结构。

结项状态：条件同构（结构同态已确认；严格物理同构经由 P-2 有条件升级）。 本附录给出了 T-3 所要求的目标结构映射。三个定理确立了一种强拓扑类比：（T-3a）OPT 的稳定性滤波器的迭代粗粒化，在结构上同态于 MERA 张量网络；（T-3b）§3.3 的信息因果锥在数量级上对应于 MERA 因果锥；以及（T-3c）预测分支集在结构上映射到未重整化的边界自由度。将这种纯粹随机性的结构同态，在数学上提升为真正离散 Ryu-Takayanagi 界所要求的严格希尔伯特空间等距映射，最初仍属开放问题；但如今已通过问题 P-2 中依次建立的显式计算基嵌入与等距识别桥接公设，得到有条件的解决。

§1. 多层压缩结构

预印本的 §3.3 通过单一的瓶颈优化（式 4）来定义 OPT 观察者：从完整边界状态 X_t 中选取一个压缩状态 Z_t \in \{1, \ldots, 2^B\}，以在最小描述长度下最大化预测信息。§3.3 未明确指出的是，从 X_{\partial A} 到 Z_t 的路径会自然分解为一连串压缩层的级联——每一层都会丢弃那些与下一尺度预测无关的短程相关性。这种层级结构构成了 MERA 对应关系在 OPT 一侧的表述。

1.1 L 层瓶颈级联

设 s \geq 2 为固定的粗粒化因子，L 为压缩层的总数。定义如下级联：

Z_t^{(0)} := X_{\partial_R A} \qquad \text{（第 0 层：完整马尔可夫边界，} H = B_0 \text{ 比特）}

对于其后的每一层 \tau = 0, \ldots, L-1：

Z_t^{(\tau+1)} = \operatorname*{arg\,min}_{q} \left[ I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) - \beta_\tau\, I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \right]

\text{约束条件： } I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) \leq B_\tau, \qquad B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}

最终状态为 Z_t := Z_t^{(L)}，其中 B_L = B_0 \cdot s^{-L} 比特。该级联定义了一个马尔可夫链：

X_{t+1:\infty} \;-\!\!-\; Z_t^{(0)} \;-\!\!-\; Z_t^{(1)} \;-\!\!-\; \cdots \;-\!\!-\; Z_t^{(L)} = Z_t

根据数据处理不等式，预测信息是单调不增的：

I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \geq I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right)

每一层都会损失一个受控数量的预测信息——其控制量即该层瓶颈的失真预算 D_\tau。

1.2 分解为“先解纠缠，后粗粒化”

每一层的跃迁 Z^{(\tau)} \to Z^{(\tau+1)} 都可分解为两个规范步骤：

• 解纠缠： 对 Z^{(\tau)} 施加一个局部可逆重排，其模型化为一个置换映射 U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|}，使预测分支集中的彼此无关分支——即那些对未来不共享任何预测信息的分支——被带到相邻位置。这个经典步骤是可逆的；不会丢失任何信息。

• 粗粒化（瓶颈映射）： 将状态划分为大小为 s 的组，并在每一组上施加经典随机瓶颈压缩映射 W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z})。键维数固定为 \chi = 2^{B_0/N}，其中 N 是边界位点的数量。为了在形式上作为一个精确的离散希尔伯特空间张量维数，而非一个有效的连续尺度来发挥作用，该框架严格要求满足丢番图约束 2^{B_0/N} \in \mathbb{Z}^+。这明确保证了精确的整数维数 \chi 所给出的每位点熵 \log \chi = B_0/N，在几何上与容量调度 B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau} 保持一致。注意： §2 中使用的量子目标结构是 MERA 等距映射 w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s}（其伴随 w_\tau^\dagger 实现粗粒化）以及解纠缠器 u_\tau。§1 中的映射 W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}) 和 U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} 则是经典的 OPT 对象。连接二者的嵌入将在附录 P-2 中建立。

每一层上的复合映射 W_\tau \circ U_\tau，对 \tau = 0, \ldots, L-1 逐层堆叠后，就构成了完整的张量网络。下面我们将说明，这恰好就是 MERA。

§2. MERA——形式定义

我们以适合 OPT 映射的形式，陈述 Vidal（2008）[43] 中的相关定义。

2.1 张量

对于一个由 N 个边界站点构成、局域希尔伯特空间为 \mathbb{C}^\chi 的一维链，其 MERA 由 L 层组成。每一层 \tau 包含两类张量：

• 解纠缠器 u_\tau： 幺正张量 u_\tau: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2} \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2}，作用于相邻的站点对。它们在不改变希尔伯特空间总维数的前提下去除短程纠缠。幺正性：u^\dagger u = u u^\dagger = I。

• 等距映射 w_\tau： 张量 w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s}，满足 w_\tau^\dagger w_\tau = I_{\mathbb{C}^\chi}（等距：该映射是从粗粒化空间到细粒化空间的单射）。其伴随算符 w_\tau^\dagger: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} \to \mathbb{C}^\chi 实现粗粒化，将 s 个细粒化站点映射为 1 个粗粒化站点。

完整的 MERA 通过按从体到边界的顺序施加各层，将顶部态 |\psi_{\text{top}}\rangle \in \mathbb{C}^\chi（体）映射为边界态 |\psi_{\text{boundary}}\rangle \in (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes N}，其中每一层都将状态空间按因子 s 扩展。

2.2 MERA 因果锥

边界位点 x \in \{1, \ldots, N\} 的因果锥 \mathcal{C}(x)，是网络中其取值能够影响位点 x 的约化密度矩阵 \rho_x 的最小张量集合。它按自底向上的方式计算（从体区指向边界）。

在体区层（距边界深度为 \tau = L）：\mathcal{C}(x) 包含单个顶部张量。此后，在每一层朝边界推进时，因果锥会在每个等距映射层按因子 s 扩展，并在每个解纠缠器层至多扩展 2 倍。距顶部边界深度为 \tau 时，\mathcal{C}(x) 的宽度为：

w(\tau) = \mathcal{O}(s^\tau) \qquad \text{[从体区朝边界呈指数增长]}

对于临界 MERA（s = 2），因果锥宽度在深度 \tau 处按 2^\tau 增长，并在经过 L 层后达到完整的边界宽度 N = s^L。

2.3 纠缠熵与最小割

对于长度为 |A| = l 的连续边界区域 A，MERA 态中的纠缠熵 S(A) 受限于张量网络体区中由最小曲面 \gamma_A 切断的键数：

S(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi

其中，|\gamma_A| 是最小割中的键数，\chi 是键维数。对于尺度不变的 MERA，|\gamma_A| \sim \frac{c}{3} \log l，从而恢复了 CFT 的纠缠熵关系 S(A) \sim \frac{c}{3} \log l，其中 c/3 = \log \chi。这就是 AdS/CFT 中 Ryu-Takayanagi 公式的离散对应物。

§3. 定理 T-3a — 结构同态

定理 T-3a（MERA–OPT 同态）。 具有边界态 Z_t^{(0)} = X_{\partial_R A}、体态 Z_t^{(L)} = Z_t、层容量 B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau} 以及键维数 \chi = 2^{B_0/N} 的 OPT L 层信息瓶颈级联 \{Z_t^{(\tau)},\, \tau = 0, \ldots, L\}，在如下形式上的经典映射下，与一个具有 L 层、尺度因子 s 和键维数 \chi 的 MERA 的层拓扑结构同态： - (i) OPT 粗粒化 W_\tau \;\leftrightarrow\; MERA 等距映射伴随 w_\tau^\dagger - (ii) OPT 解纠缠器 U_\tau \;\leftrightarrow\; MERA 解纠缠器 u_\tau

3.1 证明——等距映射识别

层级 \tau 处的 OPT 粗粒化张量，是通过由瓶颈优化产生的条件分布 q^*(z^{(\tau+1)} \mid z^{(\tau)}) 来计算的。尽管整体信息预算施加了平均意义上的宏观容量比 B_\tau / B_{\tau+1} = s，经典随机瓶颈本身并不会天然强制精确的均匀纤维基数（即：对每个输出 z^{(\tau+1)}，都要求其严格离散原像的大小等价地恰为 s）。因此，对这一步进行形式化时，必须将该架构限制在理想化的紧映射极限（D \to 0）下，并以参数已完美分离出均匀信息结构为条件假设。

然而，q^* 表示的是经典随机概率矩阵，而不是复数量子幺正矩阵。若据此声称满足真正的希尔伯特空间等距条件（W_\tau W_\tau^\dagger = I_{\mathbb{C}^\chi}），将构成范畴错误。真正的部分等距映射要求先将这些离散状态显式嵌入到 \mathbb{C}^\chi 上的计算基中。附录 P-2（条件量子对应）建立了这一嵌入：定理 P-2.0 给出了计算基识别，而定理 P-2c 则证明，在紧极限下，最优瓶颈映射在受 QECC 保护的子空间内作为部分等距映射起作用。在 P-2 的局部噪声模型条件下，这一结构同态可升级为码空间内部真正的张量网络同构。\blacksquare

3.2 证明——解纠缠器识别

纯经典的解纠缠器 U_\tau 被确立为一个局部双射（即来自对称群 S_{|\mathcal{Z}|} 的状态字母表置换），它在对 Z^{(\tau)} 进行粗粒化之前，先对其进行重排，以最小化组间冗余（等价地说，即互信息）。

U_\tau = \operatorname*{arg\,min}_{U \in S_{|\mathcal{Z}|}} \sum_{j \neq k} I\!\left( U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, j} \,;\, U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, k} \right)

这与 MERA 解纠缠器的结构性目标相一致：在粗粒化之前去除短程纠缠（相邻组之间的相关性）。真正的复数幺正性（U^\dagger U = I）由定理 P-2.0（附录 P-2）确立：在计算基嵌入下，置换 U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} 通过置换表示唯一提升为 U(\mathbb{C}^\chi) 中的一个幺正矩阵。

注意（置换 vs. 一般幺正）。定理 P-2.0 将 OPT 的解纠缠器提升到 U(\mathbb{C}^\chi) 的置换子群中，而非整个幺正群。标准 MERA 解纠缠器是一般幺正算子 u_\tau \in U(\mathbb{C}^\chi \otimes \mathbb{C}^\chi)；置换子群只是其中的一个真子集（|S_\chi| = \chi!，而 \dim U(\chi) = \chi^2 为连续参数）。因此，P-2.0+P-2c 所确立的同构实际上是到置换 MERA——一个受限的子类。若要扩展到完整 MERA，则需要识别出一种 OPT 原生机制，使其生成的是一般幺正算子而非置换。这个缺口并不影响 RT 熵界（P-2d），因为后者只依赖于等距条件 P-2c，而不依赖于解纠缠器的类别。\blacksquare

MERA–OPT 同构词典

§4. 定理 T-3b — 因果锥同一性

定理 T-3b（因果锥对应）。在 T-3a 的同态映射之下，有序补丁理论 (OPT) 的信息因果锥（预印本 §3.3）在结构上（按数量级尺度）对应于 MERA 因果锥。当前孔径 Z_t 映射到体中的顶部张量；已定型的因果记录 \mathcal{R}_t 对应于过去的体状态；预测分支集 \mathcal{F}_h(z_t) 对应于 MERA 边界上距当前时刻 h 层的、尚未重整化的自由度。

4.1 对应关系的方向

这里存在一个必须精确说明的取向细节。在 MERA 中，网络从边界（UV，细粒度）通向体（IR，粗粒度）。在 OPT 中，信息因果锥从过去（已定、已压缩）经由当下的孔径通向未来（预测分支集，未解）。对应关系如下：

4.2 证明——因果锥宽度 = 预测分支集容量

在 MERA 中，体态 Z_t 的因果锥（位于距边界深度为 L 处）在向边界移动时会扩张：当其位于距顶部深度为 \tau 层时，锥的宽度为 s^\tau。这计数了能够独立影响 Z_t 的边界位点数量。

在 OPT 中，距当前孔径 h 个时间步深度处的预测分支集 \mathcal{F}_h(z_t) 至多包含 2^{B \cdot h} 个可区分的未来状态（预印本公式 5：\log|\mathcal{F}_h| \leq Bh）。MERA 的层深对应于 \tau = h。我们观察到一个指数型与线性型界限之间的不匹配（MERA 中经由尺度扩张得到 s^\tau \cdot B/L 比特，而预测分支集中经由时间累积得到 B \tau）。因果锥宽度与 OPT 的预测分支集容量在数量级上稳健一致，但只有在单层编解码器极限（L=1）下才达到严格的精确一致。此外，若将 MERA 的被动拓扑与依赖行动的预测分支集相认同，则意味着我们完全是在被动观察者极限内运作（a \equiv \text{const}）。\blacksquare

4.3 证明——因果记录 = 过去体块

已定型的因果记录 \mathcal{R}_t = (Z_0, Z_1, \ldots, Z_t)（预印本 §3.3）由所有过去的压缩状态构成——即那些已经被渲染结果为已定过去的体块状态。在 MERA 中，这对应于由编解码器的时间动力学 K_\theta（预印本公式 6）所连接的一系列过去体块状态。\mathcal{R}_t 那种已定型、低熵的性质，对应于 MERA 中体块状态按构造即具有低纠缠熵这一事实——它们是解纠缠过程粗粒化后的结果。\blacksquare

§5. 定理 T-3c —— 预测分支集作为边界 UV 与离散 Ryu-Takayanagi 公式

定理 T-3c（预测分支集 = 边界 UV；离散 RT）。

1. 预测分支集 \mathcal{F}_h(z_t) 以概率意义映射到 MERA 边界处未重整化自由度的集合——即施加于时间步 t + h 的编解码器上的 MERA 的边界 UV 层。

2. 经典数据处理极限（体切割界）：在内部体最小切割层上正确评估的预测切割熵，明确满足： S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \log \chi

3. 离散量子 RT 推广（以 P-2d 嵌入为条件）：

\boxed{S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi}

其中，\gamma_A 是 MERA 体中的最小切割曲面，\chi = 2^{B_0/N} 是键维数。该界在 P-2d 等距映射成立的条件下有效；当量子结构不可用时，它退化为第 (b) 部分的经典体切割界。

5.1 证明——预测分支集作为边界 UV

时刻 t+h 的 MERA 边界 UV 层由所有可能的输入状态 X_{\partial_R A}^{(t+h)} 构成——即那些细粒度、未经粗粒化的边界状态，它们将在接下来的 h 个时间步中由编解码器处理。根据级联结构，这些状态恰好就是从当前孔径 Z_t = Z_t^{(L)} 出发，通过将 MERA 反向运行（从体到边界）h 层所能到达的状态——也就是说，通过将 Z_t 的因果锥扩展 h 步所得到的状态。

预测分支集 \mathcal{F}_h(z_t) 在预印本（§3.3）中定义为：

\mathcal{F}_h(z_t) := \left\{ z_{t+1:t+h} : p(z_{t+1:t+h} \mid z_t,\, a_{t:t+h-1}) > 0 \right\}

这些恰恰是在扩展方向上以概率方式作用于该级联时，从 Z_t 出发在 h 个 MERA 层内可达的体状态序列。要建立这一对应关系，必须在两个方向上对 MERA 进行求值——边界 \to 体（过去的压缩）以及体 \to 边界（未来的展开）。预测分支集明确对应于第二个方向；在 §4.1 中已恰当说明的时间反演对应之下，它正是体状态朝向边界 UV 的因果锥展开的精确支撑集。\blacksquare

5.2 证明——离散 Ryu-Takayanagi 映射界

设 A 与 \bar{A} = V \setminus A 构成边界的一个二分。令 \tau^* 为张量网络中 A/\bar{A} 界面被精确切断的最小层级（即最小割层）。在该层，局域互信息瓶颈容量被这些被切断键的容量严格钳制：

S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi \qquad (\text{群间基底界})

尽管这确实在基底最小割层上精确建立了离散 Ryu-Takayanagi 容量界，但若要在形式上将此界向上推进，以限制外部边界预测割熵 S_{\text{cut}}(A) = S_{\text{cut}}^{(0)}(A)，则不能借助数据处理不等式（Data Processing Inequality, DPI）来完成（因为 DPI 要求的是：当我们向下压缩时，熵必须单调减少，而非增加：S_{\text{cut}}^{(0)} \geq S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}）。

通向完整目标离散 RT 边界界（S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi）的正确路径，是对该二分上的施密特秩进行界定——这一策略要求将网络视为通过真正的线性等距映射来构造边界态。这一点现已在附录 P-2中确立：定理 P-2d 在 P-2c 的等距条件下，通过对最小割上的 MERA 态进行施密特分解，证明了离散量子 Ryu-Takayanagi 公式。\blacksquare（以 P-2d 等距性为条件）。

§6. 认识论阶梯——从经典到量子 RT

上述三个定理在经典信息论层面确立了 MERA 结构。预印本第 §3.4 节中的“认识论阶梯”描述了每一级阶梯得以攀升所需满足的条件。

量子 RT 公式要求将经典预测割熵 I(X_A;\, X_{V \setminus A}) 替换为密度矩阵 \rho_A 的冯·诺依曼纠缠熵 S_{\text{vN}}(\rho_A)。这预设了 Z_t 的状态空间具有希尔伯特空间结构。该结构的推导——通过 ADH 量子纠错论证（预印本 P-2）——仍是下一步需要完成的形式化工作。一旦 P-2 得到闭合，键维数 \chi = 2^{B_0/N} 就会成为量子键维数，而 T-3c 证明中的经典互信息也将被量子互信息所取代，从而恢复包含体修正项 S_{\text{bulk}} 在内的完整量子 RT 公式。

§7. 由码距涌现的体几何

MERA 的体几何并不是一个预先存在的容器。在 T-3a 的同构之下，它是编解码器的信息度量空间：压缩距离的几何。

7.1 作为体度量的码距离

将级联在层级 \tau 上的两个状态之间的离散整数码距离 d(z^{(\tau)}, z'^{(\tau)}) 定义为：在张量网络内部将它们连接起来所需的最少解缠器交换次数。

在适当的热力学极限或连续极限下（N \to \infty, a \to 0），可以将连续空间层级尺度 \tau 处的体度量 g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) 近似写为：

g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) \propto \lim_{a \to 0} \frac{d\!\left(z_i^{(\tau)},\, z_j^{(\tau)}\right)^2}{d\!\left(z_i^{(0)},\, z_j^{(0)}\right)^2}

这是一种结构性预期，其成立以级联的尺度不变性为条件，并且还依赖如下假设：置换 MERA 在连续极限中可以被一般 MERA 连续近似——这与 Swingle（2012）以及 Nozaki-Ryu-Takayanagi（2012）的已知结果相一致，但对于一个仅含有限层数的离散级联而言，并无保证。因此，在这些连续极限猜想之下，我们预期，时空几何将恰恰在码距离发散之处发生弯曲——也就是说，在所需预测速率 R_\text{req} 逼近 C_\text{max} 之处；这在策略性意义上与 T-2 对率失真溢出的识别相一致。

7.2 与 T-2 的联系

T-2 已确立，引力曲率 G_{\mu\nu} 是渲染结果熵 S_{\text{render}} 对度量的导数。现在，MERA 结构进一步指明了 S_{\text{render}} 的微观来源：它就是最小割熵 |\gamma_A| \log \chi，而爱因斯坦张量 G_{\mu\nu} 则是这一割熵对由编码距离所诱导的体几何中的度量扰动所作出的响应。因此，这两个附录是相互一致的：T-2 给出宏观的场方程；T-3 给出这些方程所极值化之熵泛函的微观张量网络起源。

§8. 闭合性总结与开放边缘

T-3 交付项——部分解决 → 有条件升级（结合 P-2）

1. T-3a（MERA 同构）。OPT 的 L 层瓶颈级联在结构上与层因子为 s、深度为 L 的 MERA 同态。结合附录 P-2（定理 P-2.0 与 P-2c），这一结果可升级为 QECC 保护子空间内的张量网络同构，但以局域噪声条件成立。注意：该同构对应的是置换 MERA（解纠缠器属于 U(\mathbb{C}^\chi) 的置换子群），而非具有任意幺正解纠缠器的一般 MERA。此限制不影响 RT 界（P-2d），但会将该对应关系限制在 MERA 网络的一个子类之内。

2. T-3b（因果锥对应）。在被动观察者极限内，信息因果锥与 MERA 因果锥结构在数量级上具有对称缩放关系，尽管二者的深度剖面不同。预测分支集对应于未经重整化的边界数据。（P-2 的等距结果适用于被动观察者极限；而预测分支集定义中依赖动作的 a_{t:t+h-1} 项，则需要 P-2 未处理的开放系统扩展。）

3. T-3c（离散量子 RT）。原先基于 DPI 的证明约束了体区，却未约束边界熵。借助 P-2c 给出的等距性，定理 P-2d 通过 MERA 态的 Schmidt 秩建立了完整的边界界限：S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi。

4. 涌现体区几何。 MERA 的体区度量 g_{ij}^{\text{bulk}} 由级联中的码距所诱导。时空在码距发散处发生弯曲，这与 T-2 将 G_{\mu\nu} 识别为渲染结果熵之度量导数的做法一致。（仍需连续极限。）

5. 认知阶梯状态。 第 2 阶（离散量子 RT）现已通过 P-2d 得到证明。第 3 阶（带体区修正的完整量子 RT）则仍需一个尚未从 OPT 原始构件中导出的连续极限。

由这一闭合所开启的开放边缘

• P-2（玻恩规则 / 希尔伯特空间）现在获得了其精确切入点：键维度 \chi 必须被嵌入为量子希尔伯特空间维度。一旦 ADH 纠错强制出逻辑量子比特结构，经典键 \chi = 2^{B_0/N} 就会升级为具有冯·诺依曼熵的量子键，而 T-3c 的离散 RT 也将成为带体区修正 S_{\text{bulk}} 的完整量子 RT。

• P-3（非对称全息）：MERA 体区重建与 Fano 不等式如今拥有了共同的形式归属。Fano 不等式（预印本 §3.10）约束观察者从渲染结果内部重建基底的能力——这恰好就是 MERA 映射的不可逆性（边界 \to 体区是编解码器；而体区 \to 边界的逆转在越过最小割深度 \tau^* 后便不可能实现）。

• T-5（常数恢复）：键维度 \chi = 2^{B_0/N} 与粗粒化因子 s 为无量纲常数提供了新的约束。特别是，s = 2 与 L = \log_s(B_0/B_L) 必须与 T-2 中的普朗克尺度识别 l_{\text{codec}} = l_P 保持一致，从而约束比值 B_0/B_L。

• §8.3 预印本项目 3（MERA/因果集）：将预测分支集的 MERA 边界层形式化映射到因果集框架，以便纯粹从编解码器序列中提取感知时空的度量性质。§7 中的码距度量 g_{ij}^{\text{bulk}} 是其出发点。

本附录作为 OPT 项目仓库的一部分，与 theoretical_roadmap.pdf 一并维护。参考文献：Vidal (2008) [43]，Pastawski et al. (2015) [44]，Almheiri-Dong-Harlow (2015) [42]，Tishby et al. (1999) [28]，Ryu-Takayanagi (2006)。