مرتب پیچ نظریہ

اصل کام T-3: MERA ٹینسر نیٹ ورکس اور سببی مخروط مسئلہ: مرتب پیچ نظریہ (OPT) ایک اطلاعاتی سببی مخروط پیش کرتا ہے جو متوالی کمپریشن پر مشتمل ہے، لیکن یہ معیاری کوانٹم ٹینسر رسمیاتیات کے بجائے ایک مخصوص ہندسی توضیح پر انحصار کرتا ہے۔ سپردگی: OPT کے اطلاعاتی سببی مخروط کی MERA ٹینسر نیٹ ورک ساخت کے ساتھ رسمی مماثلت نگاری۔

اختتامی حیثیت: مشروط ہم ساختی (ساختی ہومومورفزم کی توثیق ہو چکی؛ سخت طبعی ہم ساختی کی شرطی ترقی P-2 کے ذریعے ہوئی)۔ یہ ضمیمہ T-3 کے لیے مطلوب ہدفی ساختی مماثلت نگاری فراہم کرتا ہے۔ تین قضیے ایک مضبوط ٹوپولوجیکل مماثلت قائم کرتے ہیں: (T-3a) OPT کے استحکام فلٹر کی تکراری coarse-graining ساختی طور پر ایک MERA ٹینسر نیٹ ورک کے ساتھ ہومومورفک ہے؛ (T-3b) §3.3 کا اطلاعاتی سببی مخروط، مراتبِ مقدار کے اعتبار سے، MERA causal cone کے مطابق ہے؛ اور (T-3c) پیش گوئی شدہ شاخوں کا مجموعہ ساختی طور پر boundary degrees of freedom کے غیر-renormalized قالب سے مماثل ہے۔ ریاضیاتی طور پر اس خالصتاً احتمالی ساختی ہومومورفزم کو ان سخت Hilbert-space isometries تک بلند کرنا، جو ایک حقیقی discrete Ryu-Takayanagi bound کے لیے درکار ہیں، ابتدا میں ایک کھلا مسئلہ رہا، لیکن اب مسئلہ P-2 میں بالتسلسل قائم کیے گئے explicit computational basis embedding اور Isometry Identification bridge postulates کے ذریعے شرطی طور پر حل ہو چکا ہے۔

§1. کثیر-سطحی کمپریشن کی ساخت

پری پرنٹ کی §3.3 میں OPT مشاہد کو ایک واحد bottleneck optimisation (Eq. 4) کے ذریعے متعین کیا گیا ہے: ایک compressed state Z_t \in \{1, \ldots, 2^B\} کو مکمل boundary state X_t میں سے اس طرح منتخب کیا جاتا ہے کہ کم سے کم description length پر پیش گوئی معلومات زیادہ سے زیادہ ہو۔ لیکن §3.3 میں یہ بات صراحت سے بیان نہیں کی گئی کہ X_{\partial A} سے Z_t تک کا راستہ فطری طور پر کمپریشن کی تہوں کے ایک آبشار نما سلسلے میں تحلیل ہوتا ہے — جہاں ہر تہہ اگلے پیمانے پر پیش گوئی کے لیے غیر متعلق قلیل-مدتی باہمی تعلقات کو حذف کر دیتی ہے۔ یہ درجہ بند ساخت MERA correspondence کا OPT-سمتی پہلو ہے۔

1.1 L-سطحی بوٹل نیک کاسکیڈ

فرض کریں s \geq 2 ایک ثابت coarse-graining عامل ہے اور L کمپریشن کی تہوں کی کل تعداد ہے۔ کاسکیڈ کی تعریف یوں کریں:

Z_t^{(0)} := X_{\partial_R A} \qquad \text{(سطح 0: مکمل مارکوف سرحد، } H = B_0 \text{ بٹس)}

ہر اگلی سطح \tau = 0, \ldots, L-1 پر:

Z_t^{(\tau+1)} = \operatorname*{arg\,min}_{q} \left[ I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) - \beta_\tau\, I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \right]

\text{subject to: } I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) \leq B_\tau, \qquad B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}

آخری حالت Z_t := Z_t^{(L)} ہے، جہاں B_L = B_0 \cdot s^{-L} بٹس ہے۔ یہ کاسکیڈ ایک مارکوف زنجیر متعین کرتی ہے:

X_{t+1:\infty} \;-\!\!-\; Z_t^{(0)} \;-\!\!-\; Z_t^{(1)} \;-\!\!-\; \cdots \;-\!\!-\; Z_t^{(L)} = Z_t

data processing inequality کے مطابق، پیش گوئی معلومات monotone non-increasing رہتی ہے:

I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \geq I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right)

ہر سطح پیش گوئی معلومات کی ایک قابو میں رکھی گئی مقدار کھو دیتی ہے — جسے اس سطح کے بوٹل نیک کے distortion budget D_\tau کے ذریعے قابو میں رکھا جاتا ہے۔

1.2 الجھاؤ-زائل-پھر-موٹا-بنانا میں تجزیہ

ہر تہہ کی منتقلی Z^{(\tau)} \to Z^{(\tau+1)} دو معیاری مراحل میں تجزیہ ہوتی ہے:

• الجھاؤ زائل کرنا: ایک مقامی قابلِ واپسی ازسرِ ترتیب کاری نافذ کی جاتی ہے جسے permutation mapping U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} کے طور پر ماڈل کیا جاتا ہے، اور اسے Z^{(\tau)} پر اس طرح لاگو کیا جاتا ہے کہ پیش گوئی شدہ شاخوں کا مجموعہ کی وہ شاخیں جو باہمی طور پر غیر متعلق ہوں — یعنی وہ شاخیں جو مستقبل کے بارے میں کوئی مشترک پیش گوئی معلومات نہ رکھتی ہوں — ایک دوسرے کے متصل مقامات میں آ جائیں۔ یہ کلاسیکی مرحلہ قابلِ واپسی ہے؛ کوئی معلومات ضائع نہیں ہوتی۔

• موٹا-بنانا (بوتل-نیک نقشہ بندی): حالتوں کو s کے گروہوں میں تقسیم کیا جاتا ہے اور ہر گروہ پر کلاسیکی stochastic bottleneck compression map W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}) نافذ کیا جاتا ہے۔ bond dimension کو \chi = 2^{B_0/N} کے طور پر مقرر کیا جاتا ہے، جہاں N سرحدی مقامات کی تعداد ہے۔ اس لیے کہ یہ رسمی طور پر ایک مؤثر مسلسل پیمانے کے بجائے ایک عین منفصل Hilbert-space tensor dimension کے طور پر کام کرے، یہ فریم ورک سختی سے diophantine constraint 2^{B_0/N} \in \mathbb{Z}^+ لازم قرار دیتا ہے۔ یہ صراحتاً یقینی بناتا ہے کہ عین صحیح عددی dimension \chi فی-مقام entropy \log \chi = B_0/N پیدا کرے جو جیومیائی طور پر capacity schedule B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau} کے ساتھ ہم آہنگ ہو۔ نوٹ: §2 میں استعمال ہونے والی quantum target structures MERA isometry w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} ہیں (جس کا adjoint w_\tau^\dagger coarse-graining نافذ کرتا ہے) اور disentangler u_\tau۔ §1 کی maps W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}) اور U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} کلاسیکی OPT objects ہیں۔ وہ embedding جو ان کے درمیان ربط قائم کرتی ہے، Appendix P-2 میں ثابت کی گئی ہے۔

ہر تہہ پر ترکیب W_\tau \circ U_\tau، جب \tau = 0, \ldots, L-1 کے لیے تہہ در تہہ رکھی جائے، مکمل tensor network تشکیل دیتی ہے۔ اب ہم دکھاتے ہیں کہ یہ بعینہٖ MERA ہے۔

§2. MERA — رسمی تعریفیں

ہم Vidal (2008) [43] کی متعلقہ تعریفیں OPT mapping کے لیے موزوں صورت میں پیش کرتے ہیں۔

2.1 ٹینسرز

مقامی ہلبرٹ فضا \mathbb{C}^\chi کے ساتھ N سرحدی مقامات کی ایک 1D زنجیر کے لیے ایک MERA، L تہوں پر مشتمل ہوتا ہے۔ ہر تہہ \tau میں ٹینسر کی دو اقسام شامل ہوتی ہیں:

• ڈس اینٹینگلرز u_\tau: یکانی ٹینسرز u_\tau: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2} \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2} جو مقامات کے متجاور جوڑوں پر عمل کرتے ہیں۔ یہ کل ہلبرٹ فضا کی بُعدیت کو بدلے بغیر قلیل-فاصلاتی اینٹینگلمنٹ کو دور کرتے ہیں۔ یکانیت: u^\dagger u = u u^\dagger = I۔

• آئیسومیٹریز w_\tau: ٹینسرز w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} جو w_\tau^\dagger w_\tau = I_{\mathbb{C}^\chi} کو پورا کرتے ہیں (آئیسومیٹرک: یہ نقشہ موٹے-دانہ بند فضا سے باریک-دانہ بند فضا میں ایک انجیکشن ہے)۔ الحاقی نقشہ w_\tau^\dagger: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} \to \mathbb{C}^\chi موٹا-دانہ بندی کو نافذ کرتا ہے، اور s باریک-دانہ بند مقامات کو 1 موٹے مقام پر نقش کرتا ہے۔

مکمل MERA بالائی حالت |\psi_{\text{top}}\rangle \in \mathbb{C}^\chi (بلک) کو سرحدی حالت |\psi_{\text{boundary}}\rangle \in (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes N} میں نقش کرتا ہے، اس طور پر کہ تہیں بلک سے سرحد کی سمت لاگو کی جاتی ہیں، اور ہر تہہ حالت فضا کو عامل s سے پھیلاتی ہے۔

2.2 MERA کا سببی مخروط

حدی مقام x \in \{1, \ldots, N\} کا سببی مخروط \mathcal{C}(x) نیٹ ورک میں ٹینسروں کے اس کم سے کم مجموعے کو کہتے ہیں جن کی قدریں مقام x کی مخفف کثافتی میٹرکس \rho_x پر اثر انداز ہو سکتی ہیں۔ اس کا حساب نچلی سے بالائی سمت میں کیا جاتا ہے (بلک سے حد کی طرف)۔

بلک پرت پر (حد سے گہرائی \tau = L پر): \mathcal{C}(x) میں واحد بالائی ٹینسر شامل ہوتا ہے۔ اس کے بعد حد کی طرف بڑھتی ہر اگلی پرت میں، سببی مخروط ہر آئسومیٹری پرت پر عامل s کے مطابق پھیلتا ہے اور ہر disentangler پرت پر زیادہ سے زیادہ 2 کے عامل سے بڑھتا ہے۔ اوپر سے حدی گہرائی \tau پر \mathcal{C}(x) کی چوڑائی یہ ہے:

w(\tau) = \mathcal{O}(s^\tau) \qquad \text{[بلک سے حد کی طرف اس میں اسّی اضافہ ہوتا ہے]}

اہم MERA (s = 2) کے لیے، سببی مخروط کی چوڑائی گہرائی \tau پر 2^\tau کے مطابق بڑھتی ہے، اور L پرتوں کے بعد مکمل حدی چوڑائی N = s^L تک پہنچ جاتی ہے۔

2.3 الجھاؤ اینٹروپی اور کم از کم قطع

لمبائی |A| = l رکھنے والے ایک متصل سرحدی خطے A کے لیے، MERA حالت میں الجھاؤ اینٹروپی S(A) اس تعداد سے محدود ہوتی ہے جتنے بند bulk میں ٹینسر نیٹ ورک کے اندر سے گزرنے والی کم از کم سطح \gamma_A کاٹتی ہے:

S(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi

جہاں |\gamma_A| کم از کم قطع میں بندوں کی تعداد ہے اور \chi بند کی بُعدیت ہے۔ ایک scale-invariant MERA کے لیے، |\gamma_A| \sim \frac{c}{3} \log l، جس سے CFT کی الجھاؤ اینٹروپی S(A) \sim \frac{c}{3} \log l دوبارہ حاصل ہوتی ہے، جہاں c/3 = \log \chi۔ یہ AdS/CFT میں Ryu-Takayanagi فارمولے کا منفصل مماثل ہے۔

§3. قضیہ T-3a — ساختی ہومومارفزم

قضیہ T-3a (MERA–OPT ہومومارفزم). OPT کی L-سطحی Information Bottleneck کاسکیڈ \{Z_t^{(\tau)},\, \tau = 0, \ldots, L\}، جس میں boundary state Z_t^{(0)} = X_{\partial_R A}، bulk state Z_t^{(L)} = Z_t، layer capacity B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}، اور bond dimension \chi = 2^{B_0/N} ہو، رسمی کلاسیکی نقشہ بندی کے تحت L سطحوں، scale factor s، اور bond dimension \chi رکھنے والی ایک MERA کی سطحی ٹوپولوجی کے ساتھ ساختی طور پر ہومومارفک ہے: - (i) OPT coarse-graining W_\tau \;\leftrightarrow\; MERA isometry adjoint w_\tau^\dagger - (ii) OPT disentangler U_\tau \;\leftrightarrow\; MERA disentangler u_\tau

3.1 ثبوت — آئسومیٹری کی شناخت

پرت \tau پر OPT کا coarse-graining ٹینسر bottleneck optimization سے پیدا ہونے والی شرطی تقسیم q^*(z^{(\tau+1)} \mid z^{(\tau)}) کے ذریعے حساب کیا جاتا ہے۔ اگرچہ مجموعی اطلاعاتی بجٹ اوسط میکروسکوپک گنجائش کے تناسب B_\tau / B_{\tau+1} = s کو نافذ کرتا ہے، کلاسیکی stochastic bottleneck اپنی اصل صورت میں fiber cardinality کی عین یکسانیت کو لازم نہیں بناتا (یعنی ہر z^{(\tau+1)} آؤٹ پٹ کے لیے سخت discrete preimage کا ایسا عین مطابق حجم جو s کے برابر ہو)۔ لہٰذا اس صریح مرحلے کی رسمی تشکیل معماریت کو idealized tight mapping limit (D \to 0) تک محدود کرتی ہے، اس شرط کے ساتھ کہ parameters کامل طور پر یکساں اطلاعاتی ساختوں کو الگ تھلگ کر دیتے ہیں۔

تاہم، q^* ایک کلاسیکی stochastic احتمالی matrix کی نمائندگی کرتا ہے، نہ کہ ایک complex quantum unitary matrix کی۔ حقیقی Hilbert space آئسومیٹری شرط (W_\tau W_\tau^\dagger = I_{\mathbb{C}^\chi}) کا دعویٰ کرنا ایک category error ہوگا۔ ایک حقیقی partial isometry کے لیے ان discrete states کو \mathbb{C}^\chi پر computational basis میں صریح embedding درکار ہوتی ہے۔ ضمیمہ P-2 (شرطی کوانٹمی مطابقت) اس embedding کو قائم کرتا ہے: قضیہ P-2.0 computational basis کی شناخت فراہم کرتا ہے، اور قضیہ P-2c یہ ثابت کرتا ہے کہ tight limit میں optimal bottleneck map، QECC سے محفوظ کردہ ذیلی فضا کے اندر، ایک partial isometry کے طور پر عمل کرتا ہے۔ P-2 کے local noise model کی شرط پر، یہ ساختی homomorphism code space کے اندر ایک حقیقی tensor-network isomorphism میں ارتقا پا جاتا ہے۔ \blacksquare

3.2 ثبوت — ڈس اینٹینگلر کی شناخت

خالصتاً کلاسیکی ڈس اینٹینگلر U_\tau کو ایک مقامی بایجیکشن کے طور پر قائم کیا جاتا ہے (یعنی متقارن گروہ S_{|\mathcal{Z}|} سے حالت-حروفِ تہجی کی ایک پرمیوٹیشن) جو Z^{(\tau)} کو اس طرح از سرِ نو مرتب کرتی ہے کہ گروہوں کے مابین زائد التکرار کو — یا بعینہٖ باہمی معلومات کو — ان کے coarse-grained کیے جانے سے پہلے کم سے کم کر دیا جائے۔

U_\tau = \operatorname*{arg\,min}_{U \in S_{|\mathcal{Z}|}} \sum_{j \neq k} I\!\left( U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, j} \,;\, U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, k} \right)

یہ MERA ڈس اینٹینگلر کے ساختی ہدف سے مطابقت رکھتا ہے: coarse-graining سے پہلے قلیل-فاصلاتی اینٹینگلمنٹ (متجاور گروہوں کے درمیان باہمی تعلقات) کو ہٹانا۔ حقیقی پیچیدہ یونٹریت (U^\dagger U = I) قضیہ P-2.0 (ضمیمہ P-2) کے ذریعے قائم کی جاتی ہے: computational basis embedding کے تحت، پرمیوٹیشن U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} پرمیوٹیشن نمائندگی کے ذریعے منفرد طور پر U(\mathbb{C}^\chi) میں ایک یونٹری میٹرکس تک بلند ہو جاتی ہے۔

تنبیہ (پرمیوٹیشن بمقابلہ عمومی یونٹری). قضیہ P-2.0، OPT کے ڈس اینٹینگلرز کو U(\mathbb{C}^\chi) کے پرمیوٹیشن ذیلی گروہ میں بلند کرتا ہے، نہ کہ مکمل یونٹری گروہ میں۔ معیاری MERA ڈس اینٹینگلرز عمومی یونٹریز ہوتے ہیں u_\tau \in U(\mathbb{C}^\chi \otimes \mathbb{C}^\chi)؛ پرمیوٹیشن ذیلی گروہ ایک حقیقی معنوں میں محدود ذیلی مجموعہ ہے (|S_\chi| = \chi! بمقابلہ \dim U(\chi) = \chi^2 مسلسل پیرامیٹرز)۔ لہٰذا P-2.0+P-2c کے ذریعے قائم کردہ ہم ساختی نسبت پرمیوٹیشن MERA تک ہے — یعنی ایک محدود ذیلی صنف تک۔ مکمل MERA تک توسیع کے لیے ایک ایسے OPT-مقامی میکانزم کی شناخت درکار ہوگی جو پرمیوٹیشنز کے بجائے عمومی یونٹریز پیدا کرے۔ یہ خلا RT اینٹروپی حد (P-2d) کو متاثر نہیں کرتا، کیونکہ اس کا انحصار صرف isometry condition P-2c پر ہے، ڈس اینٹینگلر کی صنف پر نہیں۔ \blacksquare

MERA–OPT مماثلت کی لغت

§4. قضیہ T-3b — سببی مخروطی شناخت

قضیہ T-3b (سببی مخروطی مطابقت). T-3a کے ہومومارفزم کے تحت، OPT کا اطلاعاتی سببی مخروط (پری پرنٹ §3.3) ساختی طور پر (مرتبتی پیمانے کی اسکیلنگ میں) MERA کے سببی مخروط کے مطابق ہے۔ موجودہ اپرچر Z_t بَلک کے بالائی ٹینسر سے متناظر ہوتا ہے؛ متعین شدہ سببی ریکارڈ \mathcal{R}_t ماضی کی بَلک حالتوں سے مطابقت رکھتا ہے؛ پیش گوئی شدہ شاخوں کا مجموعہ \mathcal{F}_h(z_t)، موجودہ لمحے سے h تہوں کے فاصلے پر MERA سرحد پر غیر-رینارملائز شدہ درجاتِ آزادی سے متناظر ہے۔

4.1 مطابقت کی سمت

سمتی رُخ کی ایک باریک نکتہ ہے جسے نہایت دقت کے ساتھ بیان کرنا ضروری ہے۔ MERA میں نیٹ ورک سرحد (UV، باریک-درجہ بند) سے بلک (IR، موٹے-درجہ بند) کی طرف چلتا ہے۔ OPT میں اطلاعاتی سببی مخروط ماضی (متعین، کمپریس شدہ) سے حالیہ اپرچر کے ذریعے مستقبل (پیش گوئی شدہ شاخوں کا مجموعہ، غیر حل شدہ) کی طرف بڑھتا ہے۔ یہ مطابقت یوں ہے:

4.2 ثبوت — سببی مخروط کی چوڑائی = پیش گوئی شدہ شاخوں کے مجموعے کی گنجائش

MERA میں، bulk حالت Z_t کا سببی مخروط (جو سرحد سے گہرائی L پر ہے) سرحد کی طرف بڑھتے ہوئے پھیلتا ہے: اوپر سے \tau تہوں کی گہرائی پر، مخروط کی چوڑائی s^\tau ہوتی ہے۔ یہ اُن boundary sites کی تعداد کو شمار کرتا ہے جو Z_t پر آزادانہ طور پر اثر انداز ہو سکتے ہیں۔

OPT میں، موجودہ aperture سے h زمانی قدموں کی گہرائی پر پیش گوئی شدہ شاخوں کا مجموعہ \mathcal{F}_h(z_t) زیادہ سے زیادہ 2^{B \cdot h} قابلِ امتیاز مستقبلی حالتیں رکھتا ہے (پری پرنٹ مساوات 5: \log|\mathcal{F}_h| \leq Bh)۔ MERA کی تہہ جاتی گہرائی \tau = h کے مطابق ہے۔ ہم اس میں ایک اسّی بمقابلہ خطی حدبندی کی عدم مطابقت دیکھتے ہیں (MERA میں scale expansion کے ذریعے s^\tau \cdot B/L بٹس بمقابلہ پیش گوئی شدہ شاخوں کے مجموعے میں chronological accretion کے ذریعے B \tau)۔ سببی مخروط کی چوڑائی اور OPT کے پیش گوئی شدہ شاخوں کے مجموعے کی گنجائش مرتبتِ مقدار کے اعتبار سے مضبوط طور پر ہم آہنگ ہیں، لیکن سخت و عین مطابقت صرف ایک واحد-تہہ کوڈیک (L=1) کی حد میں ملتی ہے۔ مزید برآں، MERA کی passive topology کو عمل-تابع پیش گوئی شدہ شاخوں کے مجموعے کے ساتھ یکساں قرار دینا اس امر کو لازم کرتا ہے کہ ہم صرف passive observer limit (a \equiv \text{const}) کے اندر کام کر رہے ہیں۔ \blacksquare

4.3 ثبوت — سببی ریکارڈ = ماضی کا بلک

متعین سببی ریکارڈ \mathcal{R}_t = (Z_0, Z_1, \ldots, Z_t) (پری پرنٹ §3.3) تمام ماضی کی کمپریس شدہ حالتوں پر مشتمل ہے — یعنی وہ بلک حالتیں جو پہلے ہی متعین ماضی میں رینڈر ہو چکی ہیں۔ MERA میں یہ ان سابقہ بلک حالتوں کے سلسلے کے مطابق ہیں جو کوڈیک کی زمانی حرکیات K_\theta (پری پرنٹ مساوات 6) کے ذریعے باہم مربوط ہیں۔ \mathcal{R}_t کی متعین، کم-اینٹروپی نوعیت اس حقیقت کے مطابق ہے کہ MERA میں بلک حالتیں ساختی طور پر کم الجھاؤ اینٹروپی رکھتی ہیں — کیونکہ وہ disentangling کے عمل کے coarse-grained نتیجے کے طور پر حاصل ہوتی ہیں۔ \blacksquare

§5. قضیہ T-3c — پیش گوئی شدہ شاخوں کا مجموعہ بطور حدّی UV اور منفصل Ryu-Takayanagi فارمولا

قضیہ T-3c (پیش گوئی شدہ شاخوں کا مجموعہ = حدّی UV؛ منفصل RT).

1. پیش گوئی شدہ شاخوں کا مجموعہ \mathcal{F}_h(z_t) احتمالی طور پر MERA حد پر غیر-رینارملائز شدہ درجاتِ آزادی کے مجموعے سے نقش ہوتا ہے — یعنی وہ MERA کی حدّی UV تہہ جو زمانی قدم t + h پر کوڈیک پر لاگو ہوتی ہے۔

2. کلاسیکی حدِ معالجۂ داده (بلک کٹ باؤنڈ): داخلی بلک کی کم از کم کٹ تہہ پر درست طور پر جانچی گئی پیش گوئی کٹ اینٹروپی صراحتاً یہ شرط پوری کرتی ہے: S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \log \chi

3. منفصل کوانٹمی RT توسیع (P-2d امبیڈنگ کی شرط پر):

\boxed{S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi}

جہاں \gamma_A، MERA بلک میں کم از کم کٹ سطح ہے اور \chi = 2^{B_0/N} بند بُعد ہے۔ یہ حد P-2d آئسومیٹری کی شرط پر برقرار رہتی ہے؛ اور جب کوانٹمی ساخت دستیاب نہ ہو تو یہ حصہ (b) کی کلاسیکی بلک-کٹ حد تک سمٹ آتی ہے۔

5.1 ثبوت — پیش گوئی شدہ شاخوں کا مجموعہ بطور Boundary UV

وقت t+h پر MERA کی boundary UV تہہ ان تمام ممکنہ input حالتوں X_{\partial_R A}^{(t+h)} پر مشتمل ہوتی ہے — یعنی باریک سطح پر متعیّن، غیر-coarse-grained سرحدی حالتیں، جنہیں کوڈیک اگلے h زمانی مراحل کے دوران پراسیس کرے گا۔ cascade ساخت کے مطابق، یہ بعینہٖ وہی حالتیں ہیں جن تک موجودہ aperture Z_t = Z_t^{(L)} سے MERA کو معکوس سمت میں (bulk سے boundary کی طرف) h تہوں تک چلانے کے ذریعے رسائی حاصل ہوتی ہے — یعنی Z_t کے سببی مخروط کو h مراحل تک پھیلا کر۔

پیش گوئی شدہ شاخوں کا مجموعہ \mathcal{F}_h(z_t) کی تعریف preprint (§3.3) میں یوں کی گئی ہے:

\mathcal{F}_h(z_t) := \left\{ z_{t+1:t+h} : p(z_{t+1:t+h} \mid z_t,\, a_{t:t+h-1}) > 0 \right\}

یہ بعینہٖ bulk حالتوں کے وہ سلسلے ہیں جن تک Z_t سے h MERA تہوں کے اندر cascade کو توسیعی سمت میں احتمالی طور پر چلا کر رسائی حاصل کی جا سکتی ہے۔ اس تطبیق کے لیے لازم ہے کہ MERA کو دونوں سمتوں میں جانچا جائے — boundary \to bulk (ماضی کی compression) اور bulk \to boundary (مستقبل کی توسیع)۔ پیش گوئی شدہ شاخوں کا مجموعہ صراحتاً دوسری سمت کے مطابق ہے، جو bulk حالت کے boundary UV کی طرف سببی مخروطی توسیع کے عین support set کے مساوی ہے، بشرطیکہ §4.1 میں مذکور زمانی-معکوس شناخت کو درست طور پر ملحوظ رکھا جائے۔ \blacksquare

5.2 ثبوت — مجزا Ryu-Takayanagi کی نقش شدہ حد

فرض کریں A اور \bar{A} = V \setminus A سرحد کی ایک دو-تقسیمی تقسیم ہوں۔ فرض کریں \tau^* وہ کم سے کم تہہ ہو جس پر ٹینسر نیٹ ورک میں A/\bar{A} انٹرفیس بالکل منقطع ہو جاتا ہے (یعنی کم سے کم کٹ کی تہہ)۔ اس تہہ پر، مقامی باہمی معلوماتی bottleneck کی گنجائش ان منقطع شدہ بندھنوں کی گنجائش کے ذریعے سختی سے محدود ہوتی ہے:

S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi \qquad (\text{بین-گروہی bulk حد})

اگرچہ یہ bulk کی کم سے کم کٹ تہہ پر مجزا Ryu-Takayanagi گنجائش کی حد کو بالکل قائم کر دیتا ہے، لیکن اس حد کو رسمی طور پر اوپر لے جا کر خارجی سرحد کی پیش گوئی کٹ اینٹروپی S_{\text{cut}}(A) = S_{\text{cut}}^{(0)}(A) کو محدود کرنا Data Processing Inequality کے ذریعے ممکن نہیں، کیونکہ DPI کا تقاضا ہے کہ جب ہم نیچے کی طرف کمپریس کریں تو اینٹروپی یک سمتی طور پر کم ہو، نہ کہ بڑھے: S_{\text{cut}}^{(0)} \geq S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}۔

مکمل مطلوبہ مجزا RT سرحدی حد (S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi) تک پہنچنے کا درست راستہ دو-تقسیمی تقسیم کے پار Schmidt rank کو محدود کرنا ہے — ایک ایسی حکمتِ عملی جس کے لیے نیٹ ورک کو اس طور پر برتنا لازم ہے کہ وہ حقیقی خطی isometries کے ذریعے سرحدی حالت تعمیر کر رہا ہو۔ یہ اب ضمیمہ P-2 میں قائم کیا جا چکا ہے: قضیہ P-2d، P-2c کی isometry شرط کے تحت، کم سے کم کٹ کے پار MERA حالت کی Schmidt decomposition کے ذریعے مجزا کوانٹمی Ryu-Takayanagi فارمولے کو ثابت کرتا ہے۔ \blacksquare (P-2d isometry کی شرط پر)۔

§6. علمِ معرفت کی سیڑھی — کلاسیکی سے کوانٹم RT تک

اوپر کے تین قضیے کلاسیکی اطلاعاتی-نظری سطح پر MERA ساخت کو قائم کرتے ہیں۔ پری پرنٹ کے §3.4 میں دی گئی علمِ معرفت کی سیڑھی ان شرائط کو بیان کرتی ہے جن کے تحت اس کی ہر پائیدان پر چڑھا جا سکتا ہے۔

کوانٹم RT کلیہ اس بات کا تقاضا کرتا ہے کہ کلاسیکی پیش گوئی شدہ کٹ اینٹروپی I(X_A;\, X_{V \setminus A}) کو کثافتی میٹرکس \rho_A کی وان نیومن الجھاؤ اینٹروپی S_{\text{vN}}(\rho_A) سے بدل دیا جائے۔ یہ Z_t کی حالت-فضا کے لیے ایک ہلبرٹ فضا کی ساخت کو پیش فرض کرتا ہے۔ اس ساخت کا اشتقاق — ADH کوانٹم ایرر کریکشن استدلال (پری پرنٹ P-2) کے ذریعے — اب بھی اگلا رسمی قدم ہے۔ جب P-2 مکمل ہو جائے گا، تو بند ڈائمینشن \chi = 2^{B_0/N} ایک کوانٹم بند ڈائمینشن بن جائے گی، اور T-3c کے ثبوت میں کلاسیکی باہمی اطلاعات کی جگہ کوانٹم باہمی اطلاعات لے لے گی، جس سے بلک تصحیحی جز S_{\text{bulk}} کے ساتھ مکمل کوانٹم RT کلیہ حاصل ہو جائے گا۔

§7. کوڈ فاصلے سے ابھرتی ہوئی bulk ہندسہ

MERA کی bulk ہندسہ کوئی پیش از موجود ظرف نہیں۔ T-3a کی isomorphism کے تحت، یہ کوڈیک کی اطلاعاتی metric space ہے: کمپریشن فاصلوں کی ہندسہ۔

7.1 کوڈ فاصلے بطور بَلک میٹرک

کاسکیڈ کی تہہ \tau پر دو حالتوں کے درمیان مجزا صحیح عددی کوڈ فاصلہ d(z^{(\tau)}, z'^{(\tau)}) کو یوں متعین کریں کہ یہ disentangler-swaps کی کم از کم تعداد ہو جو انہیں ٹینسر نیٹ ورک کے اندر باہم مربوط کرنے کے لیے درکار ہو۔

ایک مناسب حراریاتی یا تسلسلی حد (N \to \infty, a \to 0) کے تحت، ممکن ہے کہ مسلسل مکانی تہہ-پیمانے \tau پر بَلک میٹرک g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) کو یوں تقریباً ظاہر کیا جائے:

g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) \propto \lim_{a \to 0} \frac{d\!\left(z_i^{(\tau)},\, z_j^{(\tau)}\right)^2}{d\!\left(z_i^{(0)},\, z_j^{(0)}\right)^2}

یہ ایک ساختی توقع ہے، جو کاسکیڈ کی scale invariance اور اس مفروضے پر مشروط ہے کہ Permutation MERA کو تسلسلی حد میں ایک عمومی MERA کے ذریعے مسلسل طور پر تقریباً ظاہر کیا جا سکتا ہے — جو Swingle (2012) اور Nozaki-Ryu-Takayanagi (2012) کے معروف نتائج سے ہم آہنگ ہے، مگر محدود تعداد کی تہوں پر مشتمل ایک مجزا کاسکیڈ کے لیے اس کی ضمانت نہیں دی جا سکتی۔ لہٰذا، ان continuum-limit قیاسیات کے تحت، ہماری توقع ہے کہ زمان-مکان کی جیومیٹری عین وہاں خم کھائے گی جہاں کوڈ فاصلہ واگرا ہو — یعنی جہاں مطلوبہ پیش گوئی شرح R_\text{req}، C_\text{max} کے قریب پہنچے — اور یہ حکمتِ عملی کے اعتبار سے T-2 کی rate-distortion overflow شناخت کے ساتھ سازگار ہے۔

7.2 T-2 سے ربط

T-2 نے یہ قائم کیا تھا کہ ثقلی انحنا G_{\mu\nu} رینڈرنگ اینٹروپی S_{\text{render}} کا متریکی مشتق ہے۔ اب MERA ساخت S_{\text{render}} کی خردبینی اصل کو متعین کرتی ہے: یہ کم از کم-کٹ اینٹروپی |\gamma_A| \log \chi ہے، اور آئن اسٹائن ٹینسر G_{\mu\nu} کوڈ فاصلے سے القا شدہ bulk جیومیٹری میں متریکی اغتشاشات کے مقابل اس کٹ اینٹروپی کا جوابی تفاعل ہے۔ لہٰذا دونوں ضمیمے باہم ہم آہنگ ہیں: T-2 بڑے پیمانے کی میدانی مساوات فراہم کرتا ہے؛ T-3 اس اینٹروپی فعالی کی خردبینی ٹینسر-نیٹ ورک اصل فراہم کرتا ہے جسے وہ انتہائی بناتی ہیں۔

§8. اختتامی خلاصہ اور کھلے کنارے

T-3 کی فراہمیات — جزوی طور پر حل شدہ → مشروط طور پر ارتقا یافتہ (P-2 کے ساتھ)

1. T-3a (MERA مماثلت). OPT کی L-سطحی bottleneck cascade ساختی طور پر ایک ایسے MERA کے ساتھ ہومومورفک ہے جس میں layer factor s اور depth L ہو۔ ضمیمہ P-2 (قضایا P-2.0 اور P-2c) کے ساتھ، یہ مقامی noise کی شرط پر QECC-محفوظ ذیلی فضا کے اندر ایک tensor-network مماثلت تک ارتقا پاتا ہے۔ نوٹ: یہ مماثلت permutation MERA سے ہے (یعنی disentanglers، U(\mathbb{C}^\chi) کے permutation subgroup میں)، نہ کہ ایسے عمومی MERA سے جس میں arbitrary unitary disentanglers ہوں۔ یہ تحدید RT bound (P-2d) کو متاثر نہیں کرتی، لیکن correspondence کو MERA نیٹ ورکس کی ایک ذیلی جماعت تک محدود کرتی ہے۔

2. T-3b (سببی مخروطی مطابقت). غیر فعال مشاہد کی حد کے اندر اطلاعاتی سببی مخروط order-of-magnitude symmetry کے ساتھ MERA causal cone structure کے مطابق scale کرتا ہے، اگرچہ depth profiles مختلف رہتے ہیں۔ پیش گوئی شدہ شاخوں کا مجموعہ un-renormalized boundary data کے مطابق ہے۔ (P-2 کا isometry نتیجہ passive observer limit کے اندر لاگو ہوتا ہے؛ Forward Fan کی تعریف میں action-dependent a_{t:t+h-1} terms کے لیے open-systems extension درکار ہے جسے P-2 میں زیرِ بحث نہیں لایا گیا۔)

3. T-3c (منفصل کوانٹمی RT). اصل DPI-based proof نے bulk کو bound کیا تھا مگر boundary entropy کو نہیں۔ P-2c سے حاصل شدہ isometry کے ساتھ، قضیہ P-2d MERA state کے Schmidt rank کے ذریعے مکمل boundary bound S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi قائم کرتا ہے۔

4. ابھرتی ہوئی bulk geometry. MERA bulk metric g_{ij}^{\text{bulk}} cascade میں code distance سے مستنبط ہوتا ہے۔ spacetime وہاں خم کھاتا ہے جہاں code distance diverge کرتی ہے، جو rendering entropy کے metric derivative کے طور پر G_{\mu\nu} کی T-2 والی شناخت سے ہم آہنگ ہے۔ (continuum limit ابھی بھی درکار ہے۔)

5. Epistemic Ladder کی حیثیت. درجہ 2 (منفصل کوانٹمی RT) اب P-2d کے ذریعے ثابت ہو چکا ہے۔ درجہ 3 (bulk correction کے ساتھ مکمل کوانٹمی RT) کے لیے ایک continuum limit درکار ہے جو ابھی OPT primitives سے اخذ نہیں کی گئی۔

اس اختتام سے ممکن ہونے والے کھلے کنارے

• P-2 (Born Rule / Hilbert Space) کے لیے اب اس کا درست entry point موجود ہے: bond dimension \chi کو ایک quantum Hilbert space dimension کے طور پر embed کیا جانا چاہیے۔ جیسے ہی ADH error correction منطقی qubit structure کو لازم کرتی ہے، classical bond \chi = 2^{B_0/N}، von Neumann entropy کے ساتھ ایک quantum bond میں ارتقا پاتا ہے، اور T-3c کا discrete RT bulk correction S_{\text{bulk}} کے ساتھ مکمل quantum RT بن جاتا ہے۔

• P-3 (Asymmetric Holography): MERA bulk reconstruction اور Fano’s inequality کے لیے اب ایک مشترک formal home موجود ہے۔ Fano’s inequality (preprint §3.10) render کے اندر سے بنیادی تہہ کی reconstruction کرنے کی مشاہد کی صلاحیت کو bound کرتی ہے — بعینہٖ MERA map کی irreversibility (boundary \to bulk کوڈیک ہے؛ bulk \to boundary inversion minimal cut depth \tau^* کے بعد ناممکن ہو جاتی ہے)۔

• T-5 (Constants Recovery): bond dimension \chi = 2^{B_0/N} اور coarse-graining factor s اب dimensionless constants پر نئی constraints فراہم کرتے ہیں۔ بالخصوص، s = 2 اور L = \log_s(B_0/B_L) کو T-2 سے حاصل شدہ Planck-scale identification l_{\text{codec}} = l_P کے ساتھ ہم آہنگ ہونا چاہیے، جو نسبت B_0/B_L کو constrain کرتا ہے۔

• §8.3 preprint item 3 (MERA/causal set): Forward Fan کی MERA boundary layers کو causal set framework کے ساتھ رسمی طور پر map کرنا، تاکہ ادراک شدہ spacetime کی metric properties کو محض کوڈیک sequencing سے اخذ کیا جا سکے۔ §7 کا code-distance metric g_{ij}^{\text{bulk}} اس کا نقطۂ آغاز ہے۔

یہ ضمیمہ theoretical_roadmap.pdf کے ساتھ OPT project repository کے حصے کے طور پر برقرار رکھا جاتا ہے۔ حوالہ جات: Vidal (2008) [43], Pastawski et al. (2015) [44], Almheiri-Dong-Harlow (2015) [42], Tishby et al. (1999) [28], Ryu-Takayanagi (2006).