Теорія впорядкованого патча (OPT)

Початкове завдання T-3: тензорні мережі MERA та причинний конус Проблема: OPT пропонує Інформаційний причинний конус, складений із послідовного стиснення, але спирається на спеціально сконструйований геометричний опис, а не на стандартні квантові тензорні формалізми. Результат: Формальне відображення Інформаційного причинного конуса OPT на структуру тензорної мережі MERA.

Статус закриття: УМОВНИЙ ІЗОМОРФІЗМ (структурний гомоморфізм підтверджено; строгу фізичну ізоморфність умовно підвищено через P-2). Цей додаток надає цільове структурне відображення, якого вимагало T-3. Три теореми встановлюють сильну топологічну аналогію: (T-3a) ітеративне огрублення Фільтра стабільності OPT є структурно гомоморфним тензорній мережі MERA; (T-3b) Інформаційний причинний конус із §3.3 відповідає причинному конусу MERA за порядком величини; і (T-3c) Прогностична множина гілок структурно відображається на неренормалізовані граничні ступені вільності. Математичне піднесення цього суто стохастичного структурного гомоморфізму до строгих ізометрій гільбертового простору, необхідних для справжньої дискретної межі Рю—Такаянаґі, спочатку залишалося відкритим, але тепер умовно розв’язане через явне вкладення в обчислювальний базис і мостові постулати Ідентифікації ізометрії, послідовно встановлені в задачі P-2.

§1. Багатошарова структура стиснення

У §3.3 препринту спостерігач OPT визначається через єдину оптимізацію вузького місця (рівн. 4): зі стану повної межі X_t вибирається стиснений стан Z_t \in \{1, \ldots, 2^B\}, щоб максимізувати предиктивну інформацію за мінімальної довжини опису. Те, що у §3.3 не сформульовано явно, полягає в тому, що шлях від X_{\partial A} до Z_t природно розкладається на каскад шарів стиснення — кожен із них відкидає короткодіапазонні кореляції, неістотні для передбачення на наступному масштабі. Ця ієрархічна структура є боком відповідності MERA з боку OPT.

1.1 Каскад вузького місця з L шарів

Нехай s \geq 2 — фіксований коефіцієнт огрублення, а L — загальна кількість шарів стиснення. Визначимо каскад:

Z_t^{(0)} := X_{\partial_R A} \qquad \text{(шар 0: повна марковська межа, } H = B_0 \text{ біт)}

На кожному наступному шарі \tau = 0, \ldots, L-1:

Z_t^{(\tau+1)} = \operatorname*{arg\,min}_{q} \left[ I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) - \beta_\tau\, I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \right]

\text{за умови: } I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) \leq B_\tau, \qquad B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}

Кінцевим станом є Z_t := Z_t^{(L)}, де B_L = B_0 \cdot s^{-L} біт. Каскад задає марковський ланцюг:

X_{t+1:\infty} \;-\!\!-\; Z_t^{(0)} \;-\!\!-\; Z_t^{(1)} \;-\!\!-\; \cdots \;-\!\!-\; Z_t^{(L)} = Z_t

Згідно з нерівністю обробки даних, предиктивна інформація монотонно не зростає:

I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \geq I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right)

Кожен шар втрачає контрольовану кількість предиктивної інформації — контрольовану бюджетом спотворення D_\tau для вузького місця цього шару.

1.2 Розклад на «розплутування, а потім огрублення»

Кожен перехід між шарами Z^{(\tau)} \to Z^{(\tau+1)} розкладається на два канонічні кроки:

• Розплутування: Застосувати локальне оборотне переставлення, змодельоване як пермутаційне відображення U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} на Z^{(\tau)}, яке переводить взаємно нерелевантні гілки Прогностичної множини гілок — гілки, що не поділяють жодної предиктивної інформації про майбутнє, — у суміжні позиції. Цей класичний крок є оборотним; жодна інформація не втрачається.

• Огрублення (відображення «вузького місця»): Розбити стани на групи по s і застосувати до кожної групи класичне стохастичне відображення компресії вузького місця W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}). Розмірність зв’язку фіксується як \chi = 2^{B_0/N}, де N — кількість граничних вузлів. Щоб формально функціонувати як точна дискретна тензорна розмірність гільбертового простору, а не як ефективний неперервний масштаб, цей фреймворк суворо вимагає діофантового обмеження 2^{B_0/N} \in \mathbb{Z}^+. Це явно гарантує, що точна цілочисельна розмірність \chi задає ентропію на вузол \log \chi = B_0/N, геометрично узгоджену з графіком місткості B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}. Примітка: Квантовими цільовими структурами, що використовуються в §2, є ізометрія MERA w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} (чий спряжений оператор w_\tau^\dagger реалізує огрублення) та розплутувач u_\tau. Відображення §1 W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}) і U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} є класичними об’єктами OPT. Вкладення, що їх пов’язує, встановлено в Додатку P-2.

Композиція W_\tau \circ U_\tau на кожному шарі, складена для \tau = 0, \ldots, L-1, утворює повну тензорну мережу. Тепер ми покажемо, що це в точності MERA.

§2. MERA — формальні визначення

Ми подаємо релевантні визначення з Vidal (2008) [43] у формі, придатній для відображення OPT.

2.1 Тензори

MERA для 1D-ланцюга з N граничних сайтів із локальним гільбертовим простором \mathbb{C}^\chi складається з L шарів. Кожен шар \tau містить два класи тензорів:

• Дизентанглери u_\tau: унітарні тензори u_\tau: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2} \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2}, що діють на сусідні пари сайтів. Вони усувають короткодіапазонну заплутаність, не змінюючи загальної розмірності гільбертового простору. Унітарність: u^\dagger u = u u^\dagger = I.

• Ізометрії w_\tau: тензори w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s}, що задовольняють умову w_\tau^\dagger w_\tau = I_{\mathbb{C}^\chi} (ізометричність: це відображення є ін’єкцією з грубозернистого простору у дрібнозернистий простір). Спряжений оператор w_\tau^\dagger: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} \to \mathbb{C}^\chi реалізує грубозернисте усереднення, відображаючи s дрібнозернистих сайтів в 1 грубозернистий сайт.

Повна MERA відображає верхній стан |\psi_{\text{top}}\rangle \in \mathbb{C}^\chi (bulk) у граничний стан |\psi_{\text{boundary}}\rangle \in (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes N} шляхом застосування шарів від bulk до межі, причому кожен шар розширює простір станів у s разів.

2.2 Причинний конус MERA

Причинний конус \mathcal{C}(x) граничного вузла x \in \{1, \ldots, N\} — це мінімальна множина тензорів у мережі, значення яких можуть впливати на редуковану матрицю густини \rho_x вузла x. Він обчислюється знизу вгору (з об’єму до межі).

На об’ємному шарі (глибина \tau = L від межі): \mathcal{C}(x) містить єдиний верхній тензор. На кожному наступному шарі в напрямку до межі причинний конус розширюється з коефіцієнтом s на кожному шарі ізометрій і щонайбільше в 2 рази на кожному шарі disentangler-ів. Ширина \mathcal{C}(x) на граничній глибині \tau від вершини дорівнює:

w(\tau) = \mathcal{O}(s^\tau) \qquad \text{[експоненційно зростає від об’єму до межі]}

Для критичної MERA (s = 2) ширина причинного конуса зростає як 2^\tau на глибині \tau, а після L шарів досягає повної граничної ширини N = s^L.

2.3 Ентропія заплутаності та мінімальний розріз

Для зв’язної граничної області A довжини |A| = l ентропія заплутаності S(A) у стані MERA обмежена числом зв’язків, перетнутих мінімальною поверхнею \gamma_A, що проходить через об’єм тензорної мережі:

S(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi

де |\gamma_A| — це кількість зв’язків у мінімальному розрізі, а \chi — розмірність зв’язку. Для масштабно-інваріантної MERA маємо |\gamma_A| \sim \frac{c}{3} \log l, що відтворює ентропію заплутаності CFT, S(A) \sim \frac{c}{3} \log l, за умови c/3 = \log \chi. Це дискретний аналог формули Рю—Такаянаґі в AdS/CFT.

§3. Теорема T-3a — Структурний гомоморфізм

Теорема T-3a (MERA–OPT-гомоморфізм). OPT-каскад Інформаційного вузького місця з L шарами \{Z_t^{(\tau)},\, \tau = 0, \ldots, L\} із граничним станом Z_t^{(0)} = X_{\partial_R A}, об’ємним станом Z_t^{(L)} = Z_t, ємністю шару B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau} та розмірністю зв’язку \chi = 2^{B_0/N} є структурно гомоморфним топології шарів MERA з L шарами, масштабним множником s та розмірністю зв’язку \chi за формального класичного відображення: - (i) OPT-огрублення W_\tau \;\leftrightarrow\; спряжений до ізометрії MERA оператор w_\tau^\dagger - (ii) OPT-розплутувач U_\tau \;\leftrightarrow\; MERA-розплутувач u_\tau

3.1 Доведення — Ідентифікація ізометрії

Тензор грубого зернування Теорії впорядкованого патча (OPT) на шарі \tau обчислюється через умовний розподіл q^*(z^{(\tau+1)} \mid z^{(\tau)}), породжений оптимізацією вузького місця. Хоча загальний інформаційний бюджет накладає середнє макроскопічне співвідношення місткості B_\tau / B_{\tau+1} = s, класичне стохастичне вузьке місце саме по собі не примушує до точної рівномірної кардинальності волокон (тобто строгої дискретної прообразної множини розміру s для кожного виходу z^{(\tau+1)}). Тому формалізація цього явного кроку обмежує архітектуру ідеалізованою межею щільного відображення (D \to 0), за умовного припущення, що параметри досконало ізолюють однорідні інформаційні структури.

Однак q^* є класичною стохастичною матрицею ймовірностей, а не комплексною квантовою унітарною матрицею. Твердження про справжню умову ізометрії гільбертового простору (W_\tau W_\tau^\dagger = I_{\mathbb{C}^\chi}) було б помилкою категорії. Справжня часткова ізометрія вимагає явного вкладення цих дискретних станів у обчислювальний базис на \mathbb{C}^\chi. Додаток P-2 (Умовна квантова відповідність) встановлює це вкладення: Теорема P-2.0 задає ототожнення з обчислювальним базисом, а Теорема P-2c доводить, що оптимальне відображення вузького місця в щільній межі діє як часткова ізометрія в межах підпростору, захищеного QECC. За умови локальної моделі шуму з P-2, структурний гомоморфізм підвищується до справжнього ізоморфізму тензорної мережі в межах кодового простору. \blacksquare

3.2 Доведення — Ідентифікація disentangler-а

Суто класичний disentangler U_\tau встановлюється як локальна бієкція (перестановка алфавіту станів із симетричної групи S_{|\mathcal{Z}|}), що переставляє Z^{(\tau)} так, аби мінімізувати міжгрупові надлишковості (еквівалентно: взаємну інформацію) перед їхнім огрубленням.

U_\tau = \operatorname*{arg\,min}_{U \in S_{|\mathcal{Z}|}} \sum_{j \neq k} I\!\left( U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, j} \,;\, U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, k} \right)

Це відповідає структурній цілі MERA disentangler-а: усуненню короткодіапазонної заплутаності (кореляцій між сусідніми групами) перед огрубленням. Справжня комплексна унітарність (U^\dagger U = I) встановлюється Теоремою P-2.0 (Додаток P-2): за вкладення в обчислювальний базис перестановка U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} однозначно піднімається до унітарної матриці в U(\mathbb{C}^\chi) через переставне представлення.

Застереження (перестановка vs. загальна унітарність). Теорема P-2.0 піднімає disentangler-и OPT до підгрупи перестановок у U(\mathbb{C}^\chi), а не до повної унітарної групи. Стандартні MERA disentangler-и є загальними унітарними операторами u_\tau \in U(\mathbb{C}^\chi \otimes \mathbb{C}^\chi); підгрупа перестановок є строгою підмножиною (|S_\chi| = \chi! vs. \dim U(\chi) = \chi^2 неперервних параметрів). Тому ізоморфізм, установлений P-2.0+P-2c, є ізоморфізмом до перестановкової MERA — обмеженого підкласу. Розширення до повної MERA вимагало б виявлення внутрішньо притаманного OPT механізму, що породжує загальні унітарні оператори, а не перестановки. Цей розрив не впливає на ентропійну межу RT (P-2d), яка залежить лише від умови ізометрії P-2c, а не від класу disentangler-ів. \blacksquare

Словник ізоморфізму MERA–OPT

§4. Теорема T-3b — Ідентичність причинного конуса

Теорема T-3b (Відповідність причинних конусів). За гомоморфізму з T-3a Інформаційний причинний конус OPT (препринт §3.3) структурно відповідає (у масштабуванні за порядком величини) причинному конусу MERA. Поточна апертура Z_t відображається на верхній тензор bulk; усталений Каузальний запис \mathcal{R}_t відповідає минулим станам bulk; Прогностична множина гілок \mathcal{F}_h(z_t) відповідає неренормалізованим ступеням свободи на межі MERA на відстані h шарів від теперішнього.

4.1 Напрям відповідності

Тут є тонкість орієнтації, яку слід сформулювати точно. У MERA мережа прямує від межі (UV, дрібнозернистої) до об’єму (IR, грубозернистого). У OPT Інформаційний причинний конус простягається від минулого (усталеного, стисненого) через теперішню апертуру до майбутнього (Прогностична множина гілок, невизначеного). Відповідність така:

4.2 Доведення — Ширина причинного конуса = ємності Прогностичної множини гілок

У MERA причинний конус об’ємного стану Z_t (на глибині L від межі) розширюється в міру руху до межі: на глибині \tau шарів від вершини конус має ширину s^\tau. Це підраховує кількість граничних вузлів, які можуть незалежно впливати на Z_t.

В OPT Прогностична множина гілок \mathcal{F}_h(z_t) на глибині h часових кроків від теперішньої апертури містить щонайбільше 2^{B \cdot h} розрізнюваних майбутніх станів (препринт, рівн. 5: \log|\mathcal{F}_h| \leq Bh). Глибина шару MERA відповідає \tau = h. Ми спостерігаємо невідповідність між експоненційною та лінійною межами (s^\tau \cdot B/L бітів у MERA через масштабне розширення проти B \tau у Прогностичній множині гілок через хронологічну акрецію). Ширина причинного конуса та ємність Прогностичної множини гілок в OPT надійно узгоджуються за порядком величини, але строго точного збігу досягають лише в границі одношарового кодека (L=1). Крім того, ототожнення пасивної топології MERA з залежною від дії Прогностичною множиною гілок означає, що ми працюємо винятково в межі пасивного спостерігача (a \equiv \text{const}). \blacksquare

4.3 Доведення — Каузальний запис = минулий bulk

Усталений Каузальний запис \mathcal{R}_t = (Z_0, Z_1, \ldots, Z_t) (препринт §3.3) складається з усіх минулих стиснених станів — bulk-станів, які вже були зрендерені в усталене минуле. У MERA їм відповідає послідовність минулих bulk-станів, пов’язаних часовою динамікою кодека K_\theta (препринт, рівн. 6). Усталений, низькоентропійний характер \mathcal{R}_t відповідає тому факту, що bulk-стани в MERA за побудовою мають низьку ентропію заплутаності — вони є результатом процедури грубого зернування після розплутування. \blacksquare

§5. Теорема T-3c — Прогностична множина гілок як граничний UV і дискретна формула Рю—Такаянаґі

Теорема T-3c (Прогностична множина гілок = граничний UV; дискретна RT).

1. Прогностична множина гілок \mathcal{F}_h(z_t) імовірнісно відображається на множину неренормалізованих ступенів свободи на межі MERA — граничному UV-шарі MERA, застосованої до кодека на часовому кроці t + h.

2. Класична межа обробки даних (межа розрізу в об’ємі): предиктивна ентропія розрізу, коректно обчислена на внутрішньому шарі мінімального розрізу в об’ємі, явно задовольняє: S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \log \chi

3. Дискретне квантове RT-розширення (за умови вкладення P-2d):

\boxed{S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi}

де \gamma_A — це поверхня мінімального розрізу в об’ємі MERA, а \chi = 2^{B_0/N} — розмірність зв’язку. Ця межа виконується за умови ізометрії P-2d; за відсутності квантової структури вона зводиться до класичної межі розрізу в об’ємі з пункту (b).

5.1 Доведення — Прогностична множина гілок як граничний UV

Граничний UV-шар MERA в момент часу t+h складається з усіх можливих вхідних станів X_{\partial_R A}^{(t+h)} — тонкозернистих, неогрублених граничних станів, які кодек оброблятиме протягом наступних h часових кроків. Завдяки каскадній структурі це саме ті стани, яких можна досягти з поточної апертури Z_t = Z_t^{(L)}, якщо запустити MERA у зворотному напрямку (від об’єму до границі) на h шарів — тобто розгортаючи причинний конус Z_t на h кроків.

Прогностична множина гілок \mathcal{F}_h(z_t) визначається в препринті (§3.3) так:

\mathcal{F}_h(z_t) := \left\{ z_{t+1:t+h} : p(z_{t+1:t+h} \mid z_t,\, a_{t:t+h-1}) > 0 \right\}

Це саме ті послідовності об’ємних станів, яких можна досягти з Z_t в межах h шарів MERA, якщо застосовувати каскад імовірнісно в напрямку розгортання. Це ототожнення вимагає, щоб MERA обчислювалася в обох напрямках — границя \to об’єм (минуле стиснення) та об’єм \to границя (майбутнє розгортання). Прогностична множина гілок явно відповідає другому напрямку, який є точною множиною носія розгортання причинного конуса об’ємного стану до граничного UV за умови ототожнення з оберненням часу, належно зазначеного в §4.1. \blacksquare

5.2 Доведення — відображена межа дискретного Рю—Такаянаґі

Нехай A і \bar{A} = V \setminus A є біподілом межі. Нехай \tau^* — мінімальний шар, на якому межу розділу A/\bar{A} у тензорній мережі точно перерізано (шар мінімального розрізу). На цьому шарі локальна пропускна здатність вузького місця взаємної інформації строго обмежується пропускною здатністю тих зв’язків, які було перерізано:

S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi \qquad (\text{Міжгрупова межа балку})

Хоча це успішно встановлює межу пропускної здатності дискретного Рю—Такаянаґі точно на рівні шару мінімального розрізу в балку, формально перенести цю межу вгору, щоб обмежити ентропію предиктивного розрізу зовнішньої межі S_{\text{cut}}(A) = S_{\text{cut}}^{(0)}(A), неможливо за допомогою нерівності обробки даних (DPI), оскільки DPI вимагає, щоб ентропія монотонно спадала, а не зростала, у міру стискання вниз: S_{\text{cut}}^{(0)} \geq S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}.

Коректний шлях до повної цільової дискретної RT-межі на межі (S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi) вимагає обмеження рангу Шмідта через біподіл — стратегії, що потребує розглядати мережу як таку, що конструює граничний стан за допомогою справжніх лінійних ізометрій. Це тепер встановлено в Додатку P-2: Теорема P-2d доводить дискретну квантову формулу Рю—Такаянаґі через розклад Шмідта стану MERA через мінімальний розріз за умови виконання умови ізометрії з P-2c. \blacksquare (за умови ізометрії P-2d).

§6. Епістемічна драбина — від класичного до квантового RT

Три наведені вище теореми встановлюють структуру MERA на класичному інформаційно-теоретичному рівні. Епістемічна драбина з §3.4 препринту описує умови, за яких можна піднятися на кожну її сходинку.

Квантова формула RT вимагає заміни класичної ентропії предиктивного розрізу I(X_A;\, X_{V \setminus A}) на ентропію заплутаності фон Неймана S_{\text{vN}}(\rho_A) матриці густини \rho_A. Це передбачає гільбертів простір як структуру простору станів для Z_t. Виведення цієї структури — через аргумент квантової корекції помилок ADH (препринт P-2) — залишається наступним формальним кроком. Щойно P-2 буде завершено, розмірність зв’язку \chi = 2^{B_0/N} стане квантовою розмірністю зв’язку, а класична взаємна інформація в доведенні T-3c буде замінена на квантову взаємну інформацію, що відновить повну квантову формулу RT з поправковим bulk-членом S_{\text{bulk}}.

§7. Емерджентна об’ємна геометрія з кодової відстані

Об’ємна геометрія MERA не є наперед заданим контейнером. За ізоморфізмом T-3a це інформаційний метричний простір кодека: геометрія відстаней стиснення.

7.1 Кодова відстань як метрика балку

Визначимо дискретну цілочисельну кодову відстань d(z^{(\tau)}, z'^{(\tau)}) між двома станами на шарі \tau каскаду як мінімальну кількість перестановок disentangler-swaps, потрібних для їх з’єднання в межах тензорної мережі.

За належної термодинамічної або континуальної границі (N \to \infty, a \to 0) можна наближено подати метрику балку g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) на неперервному просторовому масштабі шару \tau так:

g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) \propto \lim_{a \to 0} \frac{d\!\left(z_i^{(\tau)},\, z_j^{(\tau)}\right)^2}{d\!\left(z_i^{(0)},\, z_j^{(0)}\right)^2}

Це є структурним очікуванням, зумовленим масштабною інваріантністю каскаду та припущенням, що Permutation MERA можна неперервно апроксимувати загальною MERA у континуальній границі — у спосіб, узгоджений із відомими результатами Свінгла (2012) та Нодзакі–Рю–Такаянаґі (2012), але не гарантований для дискретного каскаду зі скінченною кількістю шарів. Отже, за цих гіпотез щодо континуальної границі ми очікуємо, що геометрія простору-часу викривлятиметься саме там, де кодова відстань розбігається, — тобто там, де предиктивна швидкість R_\text{req} наближається до C_\text{max}, що стратегічно узгоджується з ототожненням переповнення швидкість-спотворення в T-2.

7.2 Зв’язок із T-2

У T-2 було встановлено, що гравітаційна кривина G_{\mu\nu} є метричною похідною ентропії рендера S_{\text{render}}. Структура MERA тепер уточнює мікроскопічне походження S_{\text{render}}: це ентропія мінімального перерізу |\gamma_A| \log \chi, а тензор Ейнштейна G_{\mu\nu} є відгуком цієї ентропії перерізу на метричні збурення в об’ємній геометрії, індуковані кодовою відстанню. Отже, два додатки є узгодженими: T-2 задає макроскопічні польові рівняння; T-3 задає мікроскопічне тензорно-мережеве походження ентропійного функціонала, який вони екстремізують.

§8. Підсумок замикання та відкриті межі

Результати T-3 — частково розв’язані → умовно підвищені (разом із P-2)

1. T-3a (ізоморфізм MERA). Каскад вузького місця OPT з L шарами є структурно гомоморфним до MERA з шаровим множником s і глибиною L. Разом із Додатком P-2 (теореми P-2.0 і P-2c) це підвищується до ізоморфізму тензорних мереж у межах підпростору, захищеного QECC, за умови локального шуму. Примітка: ізоморфізм стосується перестановкової MERA (дизентанглери в підгрупі перестановок U(\mathbb{C}^\chi)), а не загальної MERA з довільними унітарними дизентанглерами. Це обмеження не впливає на межу RT (P-2d), але звужує відповідність до підкласу мереж MERA.

2. T-3b (відповідність причинного конуса). Інформаційний причинний конус масштабується з симетрією за порядком величини до структури причинного конуса MERA в межі пасивного спостерігача, хоча профілі глибини відрізняються. Прогностична множина гілок відповідає неренормалізованим граничним даним. (Результат ізометрії з P-2 застосовується в межі пасивного спостерігача; залежні від дії члени a_{t:t+h-1} у визначенні Прогностичної множини гілок потребують розширення на відкриті системи, якого P-2 не розглядає.)

3. T-3c (дискретний квантовий RT). Початкове доведення на основі DPI обмежувало об’єм, але не ентропію межі. Завдяки ізометрії з P-2c, теорема P-2d встановлює повну граничну межу S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi через ранг Шмідта стану MERA.

4. Емерджентна геометрія об’єму. Метрика об’єму MERA g_{ij}^{\text{bulk}} індукується з кодової відстані в каскаді. Простір-час викривляється там, де кодова відстань розбігається, що узгоджується з ототожненням G_{\mu\nu} у T-2 як метричної похідної ентропії рендеру. (Усе ще потрібна границя континууму.)

5. Статус Епістемічної драбини. Щабель 2 (дискретний квантовий RT) тепер доведено через P-2d. Щабель 3 (повний квантовий RT з поправкою об’єму) потребує границі континууму, яку ще не виведено з примітивів OPT.

Відкриті межі, які уможливлює це замикання

• P-2 (правило Борна / гільбертів простір) тепер має точну точку входу: розмірність зв’язку \chi має бути вкладена як розмірність квантового гільбертового простору. Щойно корекція помилок ADH нав’язує структуру логічного кубіта, класичний зв’язок \chi = 2^{B_0/N} підвищується до квантового зв’язку з ентропією фон Неймана, а дискретний RT з T-3c стає повним квантовим RT з поправкою об’єму S_{\text{bulk}}.

• P-3 (асиметрична голографія): реконструкція об’єму MERA та нерівність Фано тепер мають спільний формальний дім. Нерівність Фано (препринт §3.10) обмежує здатність спостерігача реконструювати субстрат зсередини рендеру — тобто саме незворотність відображення MERA (межа \to об’єм є кодеком; інверсія об’єм \to межа неможлива після глибини мінімального розрізу \tau^*).

• T-5 (відновлення констант): розмірність зв’язку \chi = 2^{B_0/N} і коефіцієнт огрублення s задають нові обмеження на безрозмірні константи. Зокрема, s = 2 і L = \log_s(B_0/B_L) мають узгоджуватися з планківськомасштабним ототожненням l_{\text{codec}} = l_P з T-2, обмежуючи відношення B_0/B_L.

• §8.3, пункт 3 препринту (MERA/причинний набір): формальне відображення граничних шарів MERA Прогностичної множини гілок на фреймворк причинного набору, щоб вивести метричні властивості сприйманого простору-часу суто з послідовності кодека. Метрика кодової відстані g_{ij}^{\text{bulk}} з §7 є відправною точкою.

Цей додаток підтримується як частина репозиторію проєкту OPT поряд із theoretical_roadmap.pdf. Посилання: Vidal (2008) [43], Pastawski et al. (2015) [44], Almheiri-Dong-Harlow (2015) [42], Tishby et al. (1999) [28], Ryu-Takayanagi (2006).