Teoria do Patch Ordenado

Tarefa Original T-3: Redes Tensoriais MERA e o Cone Causal Problema: A OPT propõe um Cone Causal Informacional composto por compressão sequencial, mas apoia-se numa descrição geométrica própria em vez de recorrer aos formalismos tensoriais quânticos padrão. Entregável: Mapeamento formal do Cone Causal Informacional da OPT para a estrutura de rede tensorial MERA.

Estado de encerramento: ISOMORFISMO CONDICIONAL (homomorfismo estrutural confirmado; condição de isomorfismo físico estrito elevada condicionalmente via P-2). Este apêndice fornece o mapeamento estrutural-alvo exigido por T-3. Três teoremas estabelecem uma forte analogia topológica: (T-3a) o refinamento iterativo em grão grosso do Filtro de Estabilidade da OPT é estruturalmente homomórfico a uma rede tensorial MERA; (T-3b) o Cone Causal Informacional da §3.3 corresponde, em ordem de grandeza, ao cone causal MERA; e (T-3c) o Leque Preditivo mapeia-se estruturalmente para os graus de liberdade de fronteira não renormalizados. A elevação matemática deste homomorfismo estrutural puramente estocástico às isometrias estritas de espaço de Hilbert requeridas para um verdadeiro limite discreto de Ryu-Takayanagi permaneceu inicialmente em aberto, mas encontra-se agora resolvida condicionalmente através da incorporação explícita na base computacional e dos postulados-ponte de Identificação de Isometria estabelecidos sequencialmente no problema P-2.

§1. A Estrutura de Compressão em Múltiplas Camadas

A §3.3 do preprint define o observador da Teoria do Patch Ordenado (OPT) por uma única otimização de gargalo (Eq. 4): um estado comprimido Z_t \in \{1, \ldots, 2^B\} é selecionado a partir do estado completo da fronteira X_t para maximizar a informação preditiva com comprimento mínimo de descrição. O que a §3.3 não torna explícito é que o percurso de X_{\partial A} até Z_t se decompõe naturalmente numa cascata de camadas de compressão — cada uma descartando correlações de curto alcance irrelevantes para a predição na escala seguinte. Esta estrutura hierárquica é o lado da OPT na correspondência MERA.

1.1 A Cascata de Gargalos em L Camadas

Seja s \geq 2 um fator de coarse-graining fixo e L o número total de camadas de compressão. Defina-se a cascata:

Z_t^{(0)} := X_{\partial_R A} \qquad \text{(camada 0: fronteira de Markov completa, } H = B_0 \text{ bits)}

Em cada camada subsequente \tau = 0, \ldots, L-1:

Z_t^{(\tau+1)} = \operatorname*{arg\,min}_{q} \left[ I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) - \beta_\tau\, I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \right]

\text{subject to: } I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) \leq B_\tau, \qquad B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}

O estado final é Z_t := Z_t^{(L)}, com B_L = B_0 \cdot s^{-L} bits. A cascata define uma cadeia de Markov:

X_{t+1:\infty} \;-\!\!-\; Z_t^{(0)} \;-\!\!-\; Z_t^{(1)} \;-\!\!-\; \cdots \;-\!\!-\; Z_t^{(L)} = Z_t

Pela desigualdade de processamento de dados, a informação preditiva é monotonicamente não crescente:

I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \geq I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right)

Cada camada perde uma quantidade controlada de informação preditiva — controlada pelo orçamento de distorção D_\tau do gargalo dessa camada.

1.2 Decomposição em Desentrelaçar-depois-Grosseirar

Cada transição de camada Z^{(\tau)} \to Z^{(\tau+1)} decompõe-se em dois passos canónicos:

• Desentrelaçamento: Aplicar uma reorganização reversível local modelada como um mapeamento por permutação U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} a Z^{(\tau)} que traz para posições adjacentes ramos mutuamente irrelevantes do Leque Preditivo — ramos que não partilham qualquer informação preditiva sobre o futuro. Este passo clássico é reversível; nenhuma informação se perde.

• Grosseiramento (mapeamento de gargalo): Particionar os estados em grupos de s e aplicar o mapa clássico estocástico de compressão por gargalo W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}) em cada grupo. A dimensão de ligação é fixada como \chi = 2^{B_0/N}, onde N é o número de sítios de fronteira. Para funcionar formalmente como uma dimensão tensorial exata de espaço de Hilbert discreto, em vez de uma escala contínua efetiva, o enquadramento impõe estritamente a restrição diofantina 2^{B_0/N} \in \mathbb{Z}^+. Isto garante explicitamente que a dimensão inteira exata \chi produz uma entropia por sítio \log \chi = B_0/N geometricamente consistente com o calendário de capacidade B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}. Nota: As estruturas-alvo quânticas usadas na §2 são a isometria MERA w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} (cujo adjunto w_\tau^\dagger implementa o grosseiramento) e o desentrelaçador u_\tau. Os mapas da §1 W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}) e U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} são os objetos clássicos da OPT. A imersão que os liga é estabelecida no Apêndice P-2.

A composição W_\tau \circ U_\tau em cada camada, empilhada para \tau = 0, \ldots, L-1, constitui a rede tensorial completa. Mostramos agora que esta é precisamente a MERA.

§2. MERA — Definições Formais

Apresentamos as definições relevantes de Vidal (2008) [43] numa forma adequada ao mapeamento da OPT.

2.1 Tensores

Uma MERA para uma cadeia 1D de N sítios de fronteira com espaço de Hilbert local \mathbb{C}^\chi consiste em L camadas. Cada camada \tau contém duas classes de tensor:

• Desemaranhadores u_\tau: tensores unitários u_\tau: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2} \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2} que atuam sobre pares adjacentes de sítios. Removem o emaranhamento de curto alcance sem alterar a dimensão total do espaço de Hilbert. Unitariedade: u^\dagger u = u u^\dagger = I.

• Isometrias w_\tau: tensores w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} que satisfazem w_\tau^\dagger w_\tau = I_{\mathbb{C}^\chi} (isométrico: a aplicação é uma injeção do espaço de grão grosso no espaço de grão fino). O adjunto w_\tau^\dagger: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} \to \mathbb{C}^\chi implementa o grão grosso, mapeando s sítios de grão fino para 1 sítio grosso.

A MERA completa mapeia o estado do topo |\psi_{\text{top}}\rangle \in \mathbb{C}^\chi (o bulk) para o estado de fronteira |\psi_{\text{boundary}}\rangle \in (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes N} aplicando as camadas do bulk para a fronteira, expandindo cada camada o espaço de estados por um fator s.

2.2 O Cone Causal da MERA

O cone causal \mathcal{C}(x) de um sítio de fronteira x \in \{1, \ldots, N\} é o conjunto mínimo de tensores na rede cujos valores podem afetar a matriz de densidade reduzida \rho_x do sítio x. É calculado de baixo para cima (do bulk em direção à fronteira).

Na camada do bulk (profundidade \tau = L a partir da fronteira): \mathcal{C}(x) contém o único tensor do topo. Em cada camada subsequente, avançando em direção à fronteira, o cone causal expande-se por um fator s em cada camada de isometrias e por, no máximo, 2 em cada camada de disentanglers. A largura de \mathcal{C}(x) à profundidade de fronteira \tau a partir do topo é:

w(\tau) = \mathcal{O}(s^\tau) \qquad \text{[cresce exponencialmente do bulk em direção à fronteira]}

Para a MERA crítica (s = 2), a largura do cone causal cresce como 2^\tau à profundidade \tau e, após L camadas, atinge a largura total da fronteira N = s^L.

2.3 Entropia de Emaranhamento e o Corte Mínimo

Para uma região de fronteira contígua A de comprimento |A| = l, a entropia de emaranhamento S(A) num estado MERA é limitada pelo número de ligações cortadas pela superfície mínima \gamma_A através do bulk da rede tensorial:

S(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi

onde |\gamma_A| é o número de ligações no corte mínimo e \chi é a dimensão da ligação. Para uma MERA invariante à escala, |\gamma_A| \sim \frac{c}{3} \log l, recuperando a entropia de emaranhamento da CFT S(A) \sim \frac{c}{3} \log l com c/3 = \log \chi. Este é o análogo discreto da fórmula de Ryu-Takayanagi em AdS/CFT.

§3. Teorema T-3a — Homomorfismo Estrutural

Teorema T-3a (Homomorfismo MERA–OPT). A cascata de Gargalo de Informação com L camadas da OPT \{Z_t^{(\tau)},\, \tau = 0, \ldots, L\}, com estado de fronteira Z_t^{(0)} = X_{\partial_R A}, estado de bulk Z_t^{(L)} = Z_t, capacidade da camada B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau} e dimensão de ligação \chi = 2^{B_0/N}, é estruturalmente homomórfica à topologia em camadas de uma MERA com L camadas, fator de escala s e dimensão de ligação \chi, sob o mapeamento clássico formal: - (i) coarse-graining da OPT W_\tau \;\leftrightarrow\; adjunto da isometria MERA w_\tau^\dagger - (ii) disentangler da OPT U_\tau \;\leftrightarrow\; disentangler MERA u_\tau

3.1 Prova — Identificação de Isometria

O tensor de coarse-graining da OPT na camada \tau é calculado através da distribuição condicional q^*(z^{(\tau+1)} \mid z^{(\tau)}) produzida pela otimização do bottleneck. Embora o orçamento informacional global imponha uma razão média de capacidade macroscópica de B_\tau / B_{\tau+1} = s, o bottleneck estocástico clássico não impõe, de forma nativa, uma cardinalidade de fibra exatamente uniforme (uma pré-imagem discreta estrita com tamanho equivalentemente igual a s para cada saída z^{(\tau+1)}). Formalizar este passo explícito restringe, portanto, a arquitetura ao limite idealizado de mapeamento apertado (D \to 0), assumindo condicionalmente que os parâmetros isolam perfeitamente estruturas informacionais uniformes.

No entanto, q^* representa uma matriz clássica estocástica de probabilidades, não uma matriz unitária quântica complexa. Afirmar a verdadeira condição de isometria no espaço de Hilbert (W_\tau W_\tau^\dagger = I_{\mathbb{C}^\chi}) constituiria um erro de categoria. Uma verdadeira isometria parcial requer uma incorporação explícita destes estados discretos numa base computacional em \mathbb{C}^\chi. Apêndice P-2 (Correspondência Quântica Condicional) estabelece essa incorporação: o Teorema P-2.0 fornece a identificação da base computacional, e o Teorema P-2c demonstra que o mapa ótimo de bottleneck, no limite apertado, atua como uma isometria parcial no interior do subespaço protegido por QECC. Condicionalmente ao modelo local de ruído de P-2, o homomorfismo estrutural eleva-se a um isomorfismo genuíno de rede tensorial no interior do espaço de código. \blacksquare

3.2 Prova — Identificação do Disentangler

O disentangler puramente clássico U_\tau é estabelecido como uma bijeção local (uma permutação do alfabeto de estados do grupo simétrico S_{|\mathcal{Z}|}) que reorganiza Z^{(\tau)} para minimizar redundâncias entre grupos (isto é, informação mútua) antes de estes serem sujeitos a coarse-graining.

U_\tau = \operatorname*{arg\,min}_{U \in S_{|\mathcal{Z}|}} \sum_{j \neq k} I\!\left( U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, j} \,;\, U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, k} \right)

Isto corresponde ao objetivo estrutural do disentangler MERA: remover emaranhamento de curto alcance (correlações entre grupos adjacentes) antes do coarse-graining. A unitariedade complexa verdadeira (U^\dagger U = I) é estabelecida pelo Teorema P-2.0 (Apêndice P-2): sob a imersão na base computacional, a permutação U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} eleva-se de modo único a uma matriz unitária em U(\mathbb{C}^\chi) por meio da representação por permutação.

Ressalva (Permutação vs. Unitário Geral). O Teorema P-2.0 eleva os disentanglers da OPT ao subgrupo de permutação de U(\mathbb{C}^\chi), e não ao grupo unitário completo. Os disentanglers MERA padrão são unitários gerais u_\tau \in U(\mathbb{C}^\chi \otimes \mathbb{C}^\chi); o subgrupo de permutação é um subconjunto estrito (|S_\chi| = \chi! vs. \dim U(\chi) = \chi^2 parâmetros contínuos). O isomorfismo estabelecido por P-2.0+P-2c é, portanto, com a MERA por permutação — uma subclasse restrita. Estender isto à MERA completa exigiria identificar um mecanismo nativo da OPT que gere unitários gerais em vez de permutações. Esta lacuna não afeta o limite entrópico RT (P-2d), que depende apenas da condição de isometria P-2c, e não da classe de disentangler. \blacksquare

Dicionário de Isomorfismo MERA–OPT

§4. Teorema T-3b — Identidade do Cone Causal

Teorema T-3b (Correspondência do Cone Causal). Sob o homomorfismo de T-3a, o Cone Causal Informacional da OPT (preprint §3.3) corresponde estruturalmente (em escalonamento por ordem de grandeza) ao cone causal da MERA. A abertura presente Z_t mapeia-se no tensor topológico do bulk; o Registro Causal estabelecido \mathcal{R}_t corresponde aos estados passados do bulk; o Leque Preditivo \mathcal{F}_h(z_t) corresponde aos graus de liberdade não renormalizados na fronteira da MERA a h camadas do presente.

4.1 Direção da Correspondência

Há uma subtileza de orientação que deve ser enunciada com precisão. Em MERA, a rede vai da fronteira (UV, grão fino) para o bulk (IR, grão grosso). Na OPT, o Cone Causal Informacional vai do passado (assentado, comprimido), através da abertura presente, para o futuro (Leque Preditivo, não resolvido). A correspondência é:

4.2 Prova — Largura do Cone Causal = Capacidade do Leque Preditivo

Na MERA, o cone causal do estado de bulk Z_t (à profundidade L a partir da fronteira) expande-se à medida que se move em direção à fronteira: à profundidade de \tau camadas a partir do topo, o cone tem largura s^\tau. Isto conta o número de sítios de fronteira que podem influenciar independentemente Z_t.

Na OPT, o Leque Preditivo \mathcal{F}_h(z_t) à profundidade de h passos temporais a partir da abertura presente contém no máximo 2^{B \cdot h} estados futuros distinguíveis (preprint Eq. 5: \log|\mathcal{F}_h| \leq Bh). A profundidade em camadas da MERA corresponde a \tau = h. Observamos um desfasamento entre limites exponencial vs. linear (s^\tau \cdot B/L bits na MERA via expansão de escala vs. B \tau no Leque Preditivo via acreção cronológica). A largura do cone causal e a capacidade do Leque Preditivo da OPT concordam de forma robusta na ordem de grandeza, mas só encontram concordância estrita e exata no limite de um codec de camada única (L=1). Além disso, identificar a topologia passiva da MERA com o Leque Preditivo dependente da ação implica que estamos a operar exclusivamente no limite do observador passivo (a \equiv \text{const}). \blacksquare

4.3 Prova — Registro Causal = Bulk Passado

O Registro Causal estabelecido \mathcal{R}_t = (Z_0, Z_1, \ldots, Z_t) (preprint §3.3) consiste em todos os estados comprimidos passados — os estados de bulk que já foram renderizados no passado estabelecido. Na MERA, estes correspondem à sequência de estados de bulk passados ligados pela dinâmica temporal do codec K_\theta (preprint Eq. 6). O caráter estabelecido e de baixa entropia de \mathcal{R}_t corresponde ao facto de os estados de bulk na MERA terem, por construção, baixa entropia de emaranhamento — são o resultado de granularidade grosseira do procedimento de desentrelaçamento. \blacksquare

§5. Teorema T-3c — O Leque Preditivo como UV de Fronteira e a Fórmula Discreta de Ryu-Takayanagi

Teorema T-3c (Leque Preditivo = UV de Fronteira; RT Discreta).

1. O Leque Preditivo \mathcal{F}_h(z_t) mapeia probabilisticamente para o conjunto de graus de liberdade não renormalizados na fronteira MERA — a camada UV de fronteira da MERA aplicada ao codec no passo temporal t + h.

2. Limite Clássico de Processamento de Dados (Limite de Corte no Bulk): a entropia de corte preditiva, corretamente avaliada na camada interna de corte mínimo no bulk, satisfaz explicitamente: S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \log \chi

3. Extensão RT Quântica Discreta (Condicional ao embedding P-2d):

\boxed{S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi}

onde \gamma_A é a superfície de corte mínimo no bulk da MERA e \chi = 2^{B_0/N} é a dimensão de ligação. Este limite vale condicionalmente à isometria P-2d; reduz-se ao limite clássico de corte no bulk da Parte (b) quando a estrutura quântica não está disponível.

5.1 Prova — Leque Preditivo como UV de Fronteira

A camada UV de fronteira da MERA no tempo t+h consiste em todos os estados de entrada possíveis X_{\partial_R A}^{(t+h)} — os estados de fronteira de grão fino, não submetidos a coarse-graining, que serão processados pelo codec ao longo dos próximos h passos temporais. Pela estrutura em cascata, estes são exatamente os estados alcançáveis a partir da abertura presente Z_t = Z_t^{(L)} ao executar a MERA em sentido inverso (do bulk em direção à fronteira) durante h camadas — isto é, ao expandir o cone causal de Z_t por h passos.

O Leque Preditivo \mathcal{F}_h(z_t) é definido no preprint (§3.3) como:

\mathcal{F}_h(z_t) := \left\{ z_{t+1:t+h} : p(z_{t+1:t+h} \mid z_t,\, a_{t:t+h-1}) > 0 \right\}

Estas são precisamente as sequências de estados do bulk alcançáveis a partir de Z_t no interior de h camadas da MERA, ao operar a cascata probabilisticamente na direção expandida. A identificação requer que a MERA seja avaliada em ambas as direções — fronteira \to bulk (compressão passada) e bulk \to fronteira (expansão futura). O Leque Preditivo corresponde explicitamente à segunda direção, que é o conjunto de suporte exato da expansão do cone causal do estado do bulk em direção ao UV de fronteira, sob a identificação por reversão temporal devidamente assinalada em §4.1. \blacksquare

5.2 Prova — Limite Mapeado Discreto de Ryu-Takayanagi

Sejam A e \bar{A} = V \setminus A uma bipartição da fronteira. Seja \tau^* a camada mínima na qual a interface A/\bar{A} é exatamente seccionada na rede tensorial (a camada de corte mínimo). Nesta camada, a capacidade local do gargalo de informação mútua é estritamente limitada pela capacidade dessas ligações seccionadas:

S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi \qquad (\text{Limite bulk intergrupal})

Embora isto estabeleça com sucesso o limite discreto de capacidade de Ryu-Takayanagi exatamente na camada bulk de corte mínimo, levar formalmente este limite para cima, de modo a limitar a entropia de corte preditivo da fronteira exterior S_{\text{cut}}(A) = S_{\text{cut}}^{(0)}(A), não pode ser realizado usando a Desigualdade de Processamento de Dados, pois a DPI impõe que a entropia deve decrescer monotonicamente, e não aumentar, à medida que comprimimos para baixo: S_{\text{cut}}^{(0)} \geq S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}.

O caminho correto para o limite discreto RT completo na fronteira visado (S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi) requer limitar o posto de Schmidt através da bipartição — uma estratégia que exige tratar a rede como construindo o estado de fronteira por meio de isometrias lineares genuínas. Isto é agora estabelecido no Apêndice P-2: o Teorema P-2d demonstra a fórmula quântica discreta de Ryu-Takayanagi por meio da decomposição de Schmidt do estado MERA através do corte mínimo, sob a condição de isometria de P-2c. \blacksquare (condicional à isometria de P-2d).

§6. A Escada Epistémica — Do RT Clássico ao Quântico

Os três teoremas acima estabelecem a estrutura MERA ao nível clássico da teoria da informação. A Escada Epistémica da §3.4 do preprint descreve as condições sob as quais cada degrau pode ser subido.

A fórmula quântica de RT exige substituir a entropia clássica do corte preditivo I(X_A;\, X_{V \setminus A}) pela entropia de emaranhamento de von Neumann S_{\text{vN}}(\rho_A) de uma matriz de densidade \rho_A. Isto pressupõe uma estrutura de espaço de Hilbert para o espaço de estados de Z_t. A derivação desta estrutura — através do argumento ADH de correção quântica de erros (preprint P-2) — continua a ser o próximo passo formal. Uma vez fechado o P-2, a dimensão de ligação \chi = 2^{B_0/N} torna-se uma dimensão de ligação quântica, e a informação mútua clássica na demonstração de T-3c é substituída por informação mútua quântica, recuperando a fórmula quântica completa de RT com o termo de correção de bulk S_{\text{bulk}}.

§7. Geometria Bulk Emergente a partir da Distância de Código

A geometria bulk da MERA não é um contentor pré-existente. Sob o isomorfismo de T-3a, ela é o espaço métrico informacional do codec: a geometria das distâncias de compressão.

7.1 Distância de Código como Métrica do Bulk

Defina a distância de código inteira discreta d(z^{(\tau)}, z'^{(\tau)}) entre dois estados na camada \tau da cascata como o número mínimo de trocas de disentanglers necessário para os conectar no interior da rede tensorial.

Sob um limite termodinâmico ou contínuo apropriado (N \to \infty, a \to 0), pode-se aproximar a métrica do bulk g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) à escala contínua da camada espacial \tau como:

g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) \propto \lim_{a \to 0} \frac{d\!\left(z_i^{(\tau)},\, z_j^{(\tau)}\right)^2}{d\!\left(z_i^{(0)},\, z_j^{(0)}\right)^2}

Trata-se de uma expectativa estrutural, condicionada pela invariância de escala da cascata e pela suposição de que a MERA por Permutação é continuamente aproximável por uma MERA geral no limite contínuo — em consonância com os resultados conhecidos de Swingle (2012) e Nozaki-Ryu-Takayanagi (2012), mas não garantida para uma cascata discreta com um número finito de camadas. Assim, sob estas conjecturas de limite contínuo, esperamos que a geometria do espaço-tempo se curve precisamente onde a distância de código diverge — isto é, onde a taxa preditiva R_\text{req} se aproxima de C_\text{max}, em consistência estratégica com a identificação, em T-2, do overflow de taxa-distorção.

7.2 Ligação a T-2

T-2 estabeleceu que a curvatura gravitacional G_{\mu\nu} é a derivada métrica da entropia de renderização S_{\text{render}}. A estrutura MERA especifica agora a origem microscópica de S_{\text{render}}: trata-se da entropia de corte mínimo |\gamma_A| \log \chi, e o tensor de Einstein G_{\mu\nu} é a resposta desta entropia de corte a perturbações métricas na geometria do bulk induzidas pela distância de código. Os dois apêndices são, portanto, consistentes: T-2 fornece as equações de campo macroscópicas; T-3 fornece a origem microscópica, em rede tensorial, do funcional entrópico que elas extremizam.

§8. Resumo de Encerramento e Frentes em Aberto

Entregáveis T-3 — Parcialmente Resolvidos → Condicionalmente Elevados (com P-2)

1. T-3a (isomorfismo MERA). A cascata de gargalo em L camadas da OPT é estruturalmente homomórfica a uma MERA com fator de camada s e profundidade L. Com o Apêndice P-2 (Teoremas P-2.0 e P-2c), isto é elevado a um isomorfismo de rede tensorial dentro do subespaço protegido por QECC, condicionado a ruído local. Nota: o isomorfismo é com a MERA de permutação (disentanglers no subgrupo de permutação de U(\mathbb{C}^\chi)), e não com a MERA geral com disentanglers unitários arbitrários. Esta restrição não afeta o limite RT (P-2d), mas limita a correspondência a uma subclasse de redes MERA.

2. T-3b (correspondência de cone causal). O Cone Causal Informacional escala com simetria de ordem de grandeza para a estrutura de cone causal da MERA dentro do limite do observador passivo, embora os perfis de profundidade difiram. O Leque Preditivo corresponde a dados de fronteira não renormalizados. (O resultado de isometria de P-2 aplica-se dentro do limite do observador passivo; os termos dependentes da ação a_{t:t+h-1} na definição do Leque Preditivo requerem uma extensão a sistemas abertos não tratada por P-2.)

3. T-3c (RT quântico discreto). A prova original baseada em DPI limitava o bulk, mas não a entropia de fronteira. Com a isometria de P-2c, o Teorema P-2d estabelece o limite completo de fronteira S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi via o posto de Schmidt do estado MERA.

4. Geometria emergente do bulk. A métrica de bulk MERA g_{ij}^{\text{bulk}} é induzida a partir da distância de código na cascata. O espaço-tempo curva-se onde a distância de código diverge, em consonância com a identificação, em T-2, de G_{\mu\nu} como a derivada métrica da entropia de renderização. (Ainda é necessário o limite contínuo.)

5. Estado da Escada Epistémica. O degrau 2 (RT quântico discreto) está agora provado via P-2d. O degrau 3 (RT quântico completo com correção de bulk) requer um limite contínuo ainda não derivado dos primitivos da OPT.

Frentes em aberto possibilitadas por este encerramento

• P-2 (Regra de Born / Espaço de Hilbert) tem agora o seu ponto de entrada exato: a dimensão de ligação \chi deve ser embutida como dimensão de um espaço de Hilbert quântico. Uma vez que a correção de erros ADH imponha a estrutura lógica de qubit, a ligação clássica \chi = 2^{B_0/N} é elevada a uma ligação quântica com entropia de von Neumann, e o RT discreto de T-3c torna-se o RT quântico completo com correção de bulk S_{\text{bulk}}.

• P-3 (Holografia Assimétrica): a reconstrução do bulk MERA e a desigualdade de Fano passam agora a ter uma mesma sede formal. A desigualdade de Fano (preprint §3.10) limita a capacidade do observador de reconstruir o substrato a partir do interior da renderização — precisamente a irreversibilidade do mapa MERA (fronteira \to bulk é o codec; a inversão bulk \to fronteira é impossível para além da profundidade de corte mínimo \tau^*).

• T-5 (Recuperação das Constantes): a dimensão de ligação \chi = 2^{B_0/N} e o fator de coarse-graining s fornecem novas restrições sobre as constantes adimensionais. Em particular, s = 2 e L = \log_s(B_0/B_L) devem ser consistentes com a identificação à escala de Planck l_{\text{codec}} = l_P de T-2, restringindo a razão B_0/B_L.

• §8.3 item 3 do preprint (MERA/conjunto causal): mapear formalmente as camadas de fronteira MERA do Leque Preditivo para o quadro de conjuntos causais, a fim de extrair propriedades métricas do espaço-tempo percebido puramente a partir do sequenciamento do codec. A métrica de distância de código g_{ij}^{\text{bulk}} da §7 é o ponto de partida.

Este apêndice é mantido como parte do repositório do projeto OPT, juntamente com theoretical_roadmap.pdf. Referências: Vidal (2008) [43], Pastawski et al. (2015) [44], Almheiri-Dong-Harlow (2015) [42], Tishby et al. (1999) [28], Ryu-Takayanagi (2006).