Teoria uporządkowanego patcha (OPT)

Oryginalne zadanie T-3: Sieci tensorowe MERA i stożek przyczynowy Problem: OPT proponuje Informacyjny stożek przyczynowy złożony z sekwencyjnej kompresji, lecz opiera się na autorskim opisie geometrycznym, a nie na standardowych formalizmach kwantowych sieci tensorowych. Rezultat: Formalne odwzorowanie Informacyjnego stożka przyczynowego OPT na strukturę sieci tensorowej MERA.

Status domknięcia: WARUNKOWY IZOMORFIZM (potwierdzono homomorfizm strukturalny; ścisły izomorfizm fizyczny warunkowo podniesiono do wyższego statusu za pośrednictwem P-2). Niniejszy aneks przedstawia docelowe odwzorowanie strukturalne wymagane przez T-3. Trzy twierdzenia ustanawiają silną analogię topologiczną: (T-3a) iteracyjne zgrubianie Filtru stabilności OPT jest strukturalnie homomorficzne względem sieci tensorowej MERA; (T-3b) Informacyjny stożek przyczynowy z §3.3 odpowiada co do rzędu wielkości stożkowi przyczynowemu MERA; oraz (T-3c) Predyktywny Zbiór Rozgałęzień odwzorowuje się strukturalnie na niezrenormalizowane brzegowe stopnie swobody. Matematyczne podniesienie tego czysto stochastycznego homomorfizmu strukturalnego do ścisłych izometrii przestrzeni Hilberta, wymaganych dla prawdziwego dyskretnego ograniczenia Ryu-Takayanagiego, pierwotnie pozostawało kwestią otwartą, lecz obecnie zostało warunkowo rozstrzygnięte za pośrednictwem jawnego osadzenia w bazie obliczeniowej oraz postulatów pomostowych Identyfikacji Izometrii, ustanowionych sekwencyjnie w problemie P-2.

§1. Wielowarstwowa struktura kompresji

W §3.3 preprintu obserwator OPT zostaje zdefiniowany przez pojedynczą optymalizację wąskiego gardła (Równ. 4): skompresowany stan Z_t \in \{1, \ldots, 2^B\} jest wybierany z pełnego stanu granicznego X_t tak, aby maksymalizować informację predykcyjną przy minimalnej długości opisu. To, czego §3.3 nie czyni explicite, to fakt, że droga od X_{\partial A} do Z_t naturalnie rozkłada się na kaskadę warstw kompresji — z których każda odrzuca korelacje krótkiego zasięgu nieistotne dla predykcji na kolejnym poziomie skali. Ta hierarchiczna struktura stanowi po stronie OPT odpowiednik korespondencji MERA.

1.1 Kaskada wąskiego gardła o L warstwach

Niech s \geq 2 będzie ustalonym współczynnikiem zgrubiania, a L całkowitą liczbą warstw kompresji. Zdefiniujmy kaskadę:

Z_t^{(0)} := X_{\partial_R A} \qquad \text{(warstwa 0: pełna granica Markowa, } H = B_0 \text{ bitów)}

Na każdej kolejnej warstwie \tau = 0, \ldots, L-1:

Z_t^{(\tau+1)} = \operatorname*{arg\,min}_{q} \left[ I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) - \beta_\tau\, I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \right]

\text{przy warunku: } I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) \leq B_\tau, \qquad B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}

Stan końcowy to Z_t := Z_t^{(L)}, przy czym B_L = B_0 \cdot s^{-L} bitów. Kaskada definiuje łańcuch Markowa:

X_{t+1:\infty} \;-\!\!-\; Z_t^{(0)} \;-\!\!-\; Z_t^{(1)} \;-\!\!-\; \cdots \;-\!\!-\; Z_t^{(L)} = Z_t

Na mocy nierówności przetwarzania danych informacja predykcyjna jest monotonicznie niemalejąca:

I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \geq I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right)

Każda warstwa traci kontrolowaną ilość informacji predykcyjnej — kontrolowaną przez budżet zniekształcenia D_\tau wąskiego gardła tej warstwy.

1.2 Dekompozycja na rozplątanie, a następnie zgrubienie

Każde przejście warstwy Z^{(\tau)} \to Z^{(\tau+1)} rozkłada się na dwa kanoniczne kroki:

• Rozplątanie: Zastosuj lokalne odwracalne przestawienie modelowane jako odwzorowanie permutacyjne U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} działające na Z^{(\tau)}, które sprowadza wzajemnie nieistotne gałęzie Predyktywnego Zbioru Rozgałęzień — gałęzie niewspółdzielące żadnej informacji predykcyjnej o przyszłości — do pozycji sąsiadujących ze sobą. Ten klasyczny krok jest odwracalny; żadna informacja nie zostaje utracona.

• Zgrubienie (odwzorowanie wąskiego gardła): Podziel stany na grupy po s i zastosuj klasyczne stochastyczne odwzorowanie kompresji wąskiego gardła W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}) w każdej grupie. Wymiar wiązania jest ustalony jako \chi = 2^{B_0/N}, gdzie N jest liczbą miejsc brzegowych. Aby formalnie funkcjonować jako dokładny dyskretny wymiar tensora przestrzeni Hilberta, a nie jako efektywna skala ciągła, framework ściśle narzuca diofantyczne ograniczenie 2^{B_0/N} \in \mathbb{Z}^+. Zapewnia to explicite, że dokładny całkowity wymiar \chi daje entropię na miejsce \log \chi = B_0/N, geometrycznie zgodną z harmonogramem pojemności B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}. Uwaga: Kwantowymi strukturami docelowymi używanymi w §2 są izometria MERA w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} (której operator sprzężony w_\tau^\dagger realizuje zgrubienie) oraz disentangler u_\tau. Odwzorowania z §1, W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}) i U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|}, są klasycznymi obiektami OPT. Osadzenie, które je łączy, zostaje ustanowione w Aneksie P-2.

Złożenie W_\tau \circ U_\tau na każdej warstwie, zestawione dla \tau = 0, \ldots, L-1, konstytuuje pełną sieć tensorową. Pokażemy teraz, że jest to dokładnie MERA.

§2. MERA — definicje formalne

Przedstawiamy odpowiednie definicje z pracy Vidala (2008) [43] w postaci dostosowanej do odwzorowania OPT.

2.1 Tensory

MERA dla 1D łańcucha złożonego z N brzegowych miejsc z lokalną przestrzenią Hilberta \mathbb{C}^\chi składa się z L warstw. Każda warstwa \tau zawiera dwie klasy tensorów:

• Rozplątujące tensory u_\tau: unitarne tensory u_\tau: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2} \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2} działające na sąsiednich parach miejsc. Usuwają splątanie krótkiego zasięgu bez zmiany całkowitego wymiaru przestrzeni Hilberta. Unitarność: u^\dagger u = u u^\dagger = I.

• Izometrie w_\tau: tensory w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} spełniające warunek w_\tau^\dagger w_\tau = I_{\mathbb{C}^\chi} (izometryczne: odwzorowanie jest iniekcją z przestrzeni zgrubionej do przestrzeni drobnoziarnistej). Operator sprzężony w_\tau^\dagger: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} \to \mathbb{C}^\chi realizuje zgrubianie, odwzorowując s miejsc drobnoziarnistych na 1 miejsce zgrubione.

Pełna MERA odwzorowuje stan wierzchołkowy |\psi_{\text{top}}\rangle \in \mathbb{C}^\chi (bulk) na stan brzegowy |\psi_{\text{boundary}}\rangle \in (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes N} przez zastosowanie warstw od bulk do brzegu, przy czym każda warstwa rozszerza przestrzeń stanów o czynnik s.

2.2 Stożek przyczynowy MERA

Stożek przyczynowy \mathcal{C}(x) miejsca brzegowego x \in \{1, \ldots, N\} to minimalny zbiór tensorów w sieci, których wartości mogą wpływać na zredukowaną macierz gęstości \rho_x miejsca x. Wyznacza się go oddolnie (z wnętrza ku brzegowi).

Na warstwie wnętrza (głębokość \tau = L liczona od brzegu): \mathcal{C}(x) zawiera pojedynczy tensor szczytowy. Na każdej kolejnej warstwie, idąc ku brzegowi, stożek przyczynowy rozszerza się o czynnik s na każdej warstwie izometrii oraz co najwyżej o 2 na każdej warstwie disentanglerów. Szerokość \mathcal{C}(x) na głębokości brzegowej \tau liczonej od wierzchołka wynosi:

w(\tau) = \mathcal{O}(s^\tau) \qquad \text{[rośnie wykładniczo od wnętrza ku brzegowi]}

Dla krytycznej MERA (s = 2) szerokość stożka przyczynowego rośnie jak 2^\tau na głębokości \tau, a po L warstwach osiąga pełną szerokość brzegu N = s^L.

2.3 Entropia splątania i minimalne cięcie

Dla spójnego obszaru brzegowego A o długości |A| = l, entropia splątania S(A) w stanie MERA jest ograniczona przez liczbę wiązań przecinanych przez powierzchnię minimalną \gamma_A przechodzącą przez objętość sieci tensorowej:

S(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi

gdzie |\gamma_A| oznacza liczbę wiązań w minimalnym cięciu, a \chi jest wymiarem wiązania. Dla MERA niezmienniczej względem skali zachodzi |\gamma_A| \sim \frac{c}{3} \log l, co odtwarza entropię splątania CFT, S(A) \sim \frac{c}{3} \log l, przy c/3 = \log \chi. Jest to dyskretny odpowiednik formuły Ryu-Takayanagiego w AdS/CFT.

§3. Twierdzenie T-3a — Homomorfizm strukturalny

Twierdzenie T-3a (Homomorfizm MERA–OPT). Kaskada Information Bottleneck o L warstwach w OPT, \{Z_t^{(\tau)},\, \tau = 0, \ldots, L\}, ze stanem brzegowym Z_t^{(0)} = X_{\partial_R A}, stanem w objętości Z_t^{(L)} = Z_t, pojemnością warstwy B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau} oraz wymiarem wiązania \chi = 2^{B_0/N}, jest strukturalnie homomorficzna względem topologii warstwowej MERA o L warstwach, współczynniku skali s i wymiarze wiązania \chi, przy następującym formalnym klasycznym odwzorowaniu: - (i) zgrubianie w OPT W_\tau \;\leftrightarrow\; operator sprzężony do izometrii MERA w_\tau^\dagger - (ii) disentangler w OPT U_\tau \;\leftrightarrow\; disentangler MERA u_\tau

3.1 Dowód — identyfikacja izometrii

Tensor gruboziarnienia OPT na warstwie \tau jest wyznaczany przez rozkład warunkowy q^*(z^{(\tau+1)} \mid z^{(\tau)}) otrzymany w wyniku optymalizacji wąskiego gardła. Chociaż całkowity budżet informacyjny narzuca średni makroskopowy stosunek pojemności B_\tau / B_{\tau+1} = s, klasyczne stochastyczne wąskie gardło samo z siebie nie wymusza dokładnie jednorodnej krotności włókien (tj. ściśle dyskretnego przeciwobrazu o rozmiarze równym s dla każdego wyjścia z^{(\tau+1)}). Sformalizowanie tego jawnego kroku ogranicza zatem architekturę do wyidealizowanej granicy ścisłego odwzorowania (D \to 0), przy warunkowym założeniu, że parametry doskonale izolują jednorodne struktury informacyjne.

Jednak q^* jest klasyczną stochastyczną macierzą prawdopodobieństwa, a nie zespoloną kwantową macierzą unitarną. Twierdzenie, że zachodzi właściwy warunek izometrii przestrzeni Hilberta (W_\tau W_\tau^\dagger = I_{\mathbb{C}^\chi}), stanowiłoby błąd kategorialny. Rzeczywista częściowa izometria wymaga jawnego osadzenia tych stanów dyskretnych w bazie obliczeniowej na \mathbb{C}^\chi. Aneks P-2 (Warunkowa korespondencja kwantowa) ustanawia takie osadzenie: Twierdzenie P-2.0 podaje identyfikację bazy obliczeniowej, a Twierdzenie P-2c dowodzi, że optymalne odwzorowanie wąskiego gardła w granicy ścisłej działa jako częściowa izometria w podprzestrzeni chronionej przez QECC. Przy warunkowym założeniu lokalnego modelu szumu z P-2, homomorfizm strukturalny zostaje podniesiony do rangi rzeczywistego izomorfizmu sieci tensorowej w obrębie przestrzeni kodowej. \blacksquare

3.2 Dowód — identyfikacja disentanglera

Czysto klasyczny disentangler U_\tau zostaje ustanowiony jako lokalna bijekcja (permutacja alfabetu stanów z grupy symetrycznej S_{|\mathcal{Z}|}), która przestawia Z^{(\tau)} tak, aby zminimalizować redundancje międzygrupowe (równoważnie: informację wzajemną), zanim zostaną one poddane coarse-grainingowi.

U_\tau = \operatorname*{arg\,min}_{U \in S_{|\mathcal{Z}|}} \sum_{j \neq k} I\!\left( U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, j} \,;\, U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, k} \right)

Odpowiada to strukturalnemu celowi disentanglera MERA: usunięciu splątania krótkiego zasięgu (korelacji między sąsiednimi grupami) przed coarse-grainingiem. Rzeczywista zespolona unitarność (U^\dagger U = I) zostaje ustanowiona przez Twierdzenie P-2.0 (Aneks P-2): przy osadzeniu w bazie obliczeniowej permutacja U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} podnosi się jednoznacznie do macierzy unitarnej w U(\mathbb{C}^\chi) poprzez reprezentację permutacyjną.

Zastrzeżenie (permutacja vs. ogólna unitarność). Twierdzenie P-2.0 podnosi disentanglery OPT do podgrupy permutacyjnej U(\mathbb{C}^\chi), a nie do pełnej grupy unitarnej. Standardowe disentanglery MERA są ogólnymi unitarymi u_\tau \in U(\mathbb{C}^\chi \otimes \mathbb{C}^\chi); podgrupa permutacyjna jest ścisłym podzbiorem (|S_\chi| = \chi! vs. \dim U(\chi) = \chi^2 parametrów ciągłych). Izomorfizm ustanowiony przez P-2.0+P-2c dotyczy zatem permutacyjnej MERA — ograniczonej podklasy. Rozszerzenie do pełnej MERA wymagałoby wskazania mechanizmu natywnego dla OPT, który generuje ogólne unitary, a nie permutacje. Ta luka nie wpływa na ograniczenie entropii RT (P-2d), które zależy wyłącznie od warunku izometrii P-2c, a nie od klasy disentanglera. \blacksquare

Słownik izomorfizmu MERA–OPT

§4. Twierdzenie T-3b — Tożsamość stożka przyczynowego

Twierdzenie T-3b (Odpowiedniość stożków przyczynowych). Przy homomorfizmie z T-3a Informacyjny stożek przyczynowy OPT (preprint §3.3) odpowiada strukturalnie (w skalowaniu rzędu wielkości) stożkowi przyczynowemu MERA. Obecna apertura Z_t odwzorowuje się na górny tensor bulk; ustalony Rejestr Przyczynowy \mathcal{R}_t odpowiada przeszłym stanom bulk; Predyktywny Zbiór Rozgałęzień \mathcal{F}_h(z_t) odpowiada niezrenormalizowanym stopniom swobody na brzegu MERA, oddalonym o h warstw od teraźniejszości.

4.1 Kierunek odpowiedniości

Istnieje subtelna kwestia orientacji, którą trzeba ująć precyzyjnie. W MERA sieć biegnie od brzegu (UV, drobnoziarnistego) do wnętrza (IR, gruboziarnistego). W OPT Informacyjny stożek przyczynowy biegnie od przeszłości (ustalonej, skompresowanej) przez obecną aperturę ku przyszłości (Predyktywny Zbiór Rozgałęzień, nierozstrzygniętej). Odpowiedniość jest następująca:

4.2 Dowód — Szerokość stożka przyczynowego = pojemność Predyktywnego Zbioru Rozgałęzień

W MERA stożek przyczynowy stanu bulkowego Z_t (na głębokości L od granicy) rozszerza się, gdy przemieszcza się ku granicy: na głębokości \tau warstw od wierzchołka stożek ma szerokość s^\tau. Zlicza to liczbę miejsc na granicy, które mogą niezależnie wpływać na Z_t.

W OPT Predyktywny Zbiór Rozgałęzień \mathcal{F}_h(z_t) na głębokości h kroków czasowych od obecnej apertury zawiera co najwyżej 2^{B \cdot h} rozróżnialnych stanów przyszłych (preprint, równ. 5: \log|\mathcal{F}_h| \leq Bh). Głębokość warstw w MERA odpowiada \tau = h. Obserwujemy rozbieżność ograniczeń typu wykładniczego i liniowego (s^\tau \cdot B/L bitów w MERA poprzez ekspansję skali vs B \tau w Predyktywnym Zbiorze Rozgałęzień poprzez akrecję chronologiczną). Szerokość stożka przyczynowego i pojemność Predyktywnego Zbioru Rozgałęzień w OPT są zgodne co do rzędu wielkości w sposób odporny, lecz ścisłą dokładną zgodność uzyskują jedynie w granicy jednowarstwowego kodeka (L=1). Ponadto utożsamienie pasywnej topologii MERA z zależnym od działania Predyktywnym Zbiorem Rozgałęzień implikuje, że działamy wyłącznie w granicy obserwatora pasywnego (a \equiv \text{const}). \blacksquare

4.3 Dowód — Rejestr Przyczynowy = przeszły bulk

Ustalony Rejestr Przyczynowy \mathcal{R}_t = (Z_0, Z_1, \ldots, Z_t) (preprint §3.3) składa się ze wszystkich przeszłych skompresowanych stanów — stanów bulk, które zostały już wyrenderowane do ustalonej przeszłości. W MERA odpowiadają one sekwencji przeszłych stanów bulk połączonych przez dynamikę czasową kodeka K_\theta (preprint, równ. 6). Ustalony, niskoentropijny charakter \mathcal{R}_t odpowiada temu, że stany bulk w MERA mają z definicji niską entropię splątania — są one wynikiem procedury coarse-grainingu i rozplątywania. \blacksquare

§5. Twierdzenie T-3c — Predyktywny Zbiór Rozgałęzień jako brzegowe UV i dyskretna formuła Ryu-Takayanagiego

Twierdzenie T-3c (Predyktywny Zbiór Rozgałęzień = brzegowe UV; dyskretne RT).

1. Predyktywny Zbiór Rozgałęzień \mathcal{F}_h(z_t) odwzorowuje się probabilistycznie na zbiór niezrenormalizowanych stopni swobody na brzegu MERA — brzegową warstwę UV sieci MERA zastosowanej do kodeka w kroku czasowym t + h.

2. Klasyczne ograniczenie przetwarzania danych (ograniczenie cięcia w objętości): entropia cięcia predykcyjnego, poprawnie wyznaczona na warstwie minimalnego cięcia w wewnętrznej objętości, spełnia jawnie: S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \log \chi

3. Dyskretne kwantowe rozszerzenie RT (warunkowe względem osadzenia P-2d):

\boxed{S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi}

gdzie \gamma_A jest powierzchnią minimalnego cięcia w objętości MERA, a \chi = 2^{B_0/N} jest wymiarem wiązania. Ograniczenie to obowiązuje warunkowo względem izometrii P-2d; gdy struktura kwantowa jest niedostępna, redukuje się do klasycznego ograniczenia cięcia w objętości z części (b).

5.1 Dowód — Predyktywny Zbiór Rozgałęzień jako brzegowe UV

Warstwa brzegowego UV MERA w chwili t+h składa się ze wszystkich możliwych stanów wejściowych X_{\partial_R A}^{(t+h)} — drobnoziarnistych, niepoddanych zgrubieniu stanów brzegowych, które będą przetwarzane przez kodek w ciągu kolejnych h kroków czasowych. Ze względu na strukturę kaskadową są to dokładnie te stany, które są osiągalne z obecnej apertury Z_t = Z_t^{(L)} przez uruchomienie MERA w kierunku odwrotnym (od wnętrza ku brzegowi) przez h warstw — tj. przez rozwinięcie stożka przyczynowego Z_t o h kroków.

Predyktywny Zbiór Rozgałęzień \mathcal{F}_h(z_t) jest zdefiniowany w preprincie (§3.3) jako:

\mathcal{F}_h(z_t) := \left\{ z_{t+1:t+h} : p(z_{t+1:t+h} \mid z_t,\, a_{t:t+h-1}) > 0 \right\}

Są to dokładnie sekwencje stanów wnętrza osiągalne z Z_t w obrębie h warstw MERA przez probabilistyczne działanie kaskady w kierunku rozwinięcia. Identyfikacja ta wymaga, by MERA była ewaluowana w obu kierunkach — brzeg \to wnętrze (kompresja przeszłości) oraz wnętrze \to brzeg (ekspansja przyszłości). Predyktywny Zbiór Rozgałęzień odpowiada explicite drugiemu z tych kierunków i stanowi dokładny zbiór nośny rozwinięcia stożka przyczynowego stanu wnętrza ku brzegowemu UV, przy identyfikacji odwrócenia czasu poprawnie odnotowanej w §4.1. \blacksquare

5.2 Dowód — odwzorowane ograniczenie dyskretnego Ryu-Takayanagiego

Niech A oraz \bar{A} = V \setminus A będą bipartycją brzegu. Niech \tau^* będzie minimalną warstwą, na której interfejs A/\bar{A} zostaje dokładnie przecięty w sieci tensorowej (warstwa minimalnego przekroju). Na tej warstwie lokalna pojemność wąskiego gardła informacji wzajemnej jest ściśle ograniczona przez pojemność tych przeciętych wiązań:

S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi \qquad (\text{Ograniczenie bulkowe między grupami})

Choć pozwala to poprawnie ustanowić dyskretne ograniczenie pojemności Ryu-Takayanagiego dokładnie na warstwie minimalnego przekroju w bulk, formalne przeniesienie tego ograniczenia ku górze, tak by ograniczyć entropię predykcyjnego przekroju na zewnętrznym brzegu S_{\text{cut}}(A) = S_{\text{cut}}^{(0)}(A), nie może zostać osiągnięte za pomocą nierówności przetwarzania danych (DPI), ponieważ DPI wymaga, by entropia monotonicznie malała, a nie rosła, gdy kompresujemy w dół: S_{\text{cut}}^{(0)} \geq S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}.

Poprawna droga do pełnego docelowego dyskretnego ograniczenia brzegowego RT (S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi) wymaga ograniczenia rangi Schmidta względem bipartycji — strategii, która wymaga potraktowania sieci jako konstruującej stan brzegowy za pomocą rzeczywistych liniowych izometrii. Zostało to obecnie ustanowione w Aneksie P-2: Twierdzenie P-2d dowodzi dyskretnej kwantowej formuły Ryu-Takayanagiego poprzez dekompozycję Schmidta stanu MERA względem minimalnego przekroju, pod warunkiem spełnienia warunku izometrii z P-2c. \blacksquare (warunkowo względem izometrii z P-2d).

§6. Drabina epistemiczna — od klasycznego do kwantowego RT

Trzy powyższe twierdzenia ustanawiają strukturę MERA na klasycznym, teorioinformacyjnym poziomie. Drabina epistemiczna z §3.4 preprintu opisuje warunki, przy których można wspiąć się na każdy jej szczebel.

Kwantowa formuła RT wymaga zastąpienia klasycznej entropii predykcyjnego cięcia I(X_A;\, X_{V \setminus A}) entropią splątania von Neumanna S_{\text{vN}}(\rho_A) macierzy gęstości \rho_A. Zakłada to strukturę przestrzeni Hilberta dla przestrzeni stanów Z_t. Wyprowadzenie tej struktury — za pośrednictwem argumentu ADH dotyczącego kwantowej korekcji błędów (preprint P-2) — pozostaje kolejnym formalnym krokiem. Gdy tylko P-2 zostanie domknięte, wymiar wiązania \chi = 2^{B_0/N} stanie się kwantowym wymiarem wiązania, a klasyczna informacja wzajemna w dowodzie T-3c zostanie zastąpiona kwantową informacją wzajemną, co pozwoli odzyskać pełną kwantową formułę RT wraz z członem poprawkowym bulk S_{\text{bulk}}.

§7. Emergentna geometria objętościowa z odległości kodowych

Geometria objętościowa MERA nie jest uprzednio istniejącym pojemnikiem. W ramach izomorfizmu T-3a jest ona informacyjną przestrzenią metryczną kodeka: geometrią odległości kompresji.

7.1 Odległość kodowa jako metryka przestrzeni wewnętrznej

Zdefiniujmy dyskretną całkowitoliczbową odległość kodową d(z^{(\tau)}, z'^{(\tau)}) między dwoma stanami na warstwie \tau kaskady jako minimalną liczbę zamian disentanglerów potrzebnych do połączenia ich w obrębie sieci tensorowej.

Przy odpowiedniej granicy termodynamicznej lub granicy continuum (N \to \infty, a \to 0) można przybliżyć metrykę przestrzeni wewnętrznej g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) na ciągłej skali przestrzennej warstwy \tau następująco:

g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) \propto \lim_{a \to 0} \frac{d\!\left(z_i^{(\tau)},\, z_j^{(\tau)}\right)^2}{d\!\left(z_i^{(0)},\, z_j^{(0)}\right)^2}

Jest to oczekiwanie strukturalne, uwarunkowane niezmienniczością skali kaskady oraz założeniem, że Permutation MERA daje się w granicy continuum aproksymować ciągłe przez ogólną MERA — zgodnie ze znanymi wynikami Swingle’a (2012) oraz Nozaki-Ryu-Takayanagiego (2012), lecz bez gwarancji dla dyskretnej kaskady o skończonej liczbie warstw. Zatem, przy tych hipotezach granicy continuum, oczekujemy, że geometria czasoprzestrzeni zakrzywiałaby się dokładnie tam, gdzie odległość kodowa ulega rozbieżności — tj. tam, gdzie Wymagana szybkość predykcyjna R_\text{req} zbliża się do C_\text{max}, co jest strategicznie zgodne z identyfikacją przepełnienia szybkości-zniekształcenia z T-2.

7.2 Związek z T-2

W T-2 wykazano, że krzywizna grawitacyjna G_{\mu\nu} jest metryczną pochodną entropii renderu S_{\text{render}}. Struktura MERA określa teraz mikroskopowe pochodzenie S_{\text{render}}: jest nią entropia minimalnego przekroju |\gamma_A| \log \chi, a tensor Einsteina G_{\mu\nu} stanowi odpowiedź tej entropii przekroju na perturbacje metryki w geometrii objętościowej, indukowane przez odległość kodową. Oba aneksy są zatem spójne: T-2 podaje makroskopowe równania pola; T-3 — mikroskopowe, tensorowo-sieciowe źródło funkcjonału entropii, który równania te ekstremalizują.

§8. Podsumowanie domknięcia i otwarte krawędzie

Rezultaty T-3 — częściowo rozwiązane → warunkowo podniesione (z P-2)

1. T-3a (izomorfizm MERA). Kaskada wąskich gardeł o L warstwach w OPT jest strukturalnie homomorficzna z MERA o współczynniku warstwowym s i głębokości L. Wraz z Aneksem P-2 (Twierdzenia P-2.0 i P-2c) zostaje to podniesione do izomorfizmu sieci tensorowej w obrębie podprzestrzeni chronionej przez QECC, warunkowo względem lokalnego szumu. Uwaga: izomorfizm dotyczy permutacyjnej MERA (disentanglery w podgrupie permutacyjnej U(\mathbb{C}^\chi)), a nie ogólnej MERA z arbitralnymi unitarnymi disentanglerami. Ograniczenie to nie wpływa na ograniczenie RT (P-2d), lecz zawęża odpowiedniość do podklasy sieci MERA.

2. T-3b (odpowiedniość stożka przyczynowego). Informacyjny stożek przyczynowy skaluje się z symetrią rzędu wielkości do struktury stożka przyczynowego MERA w granicy pasywnego obserwatora, choć profile głębokości się różnią. Predyktywny Zbiór Rozgałęzień odpowiada niezrenormalizowanym danym brzegowym. (Wynik izometrii z P-2 ma zastosowanie w granicy pasywnego obserwatora; zależne od działania wyrazy a_{t:t+h-1} w definicji Predyktywnego Zbioru Rozgałęzień wymagają rozszerzenia na układy otwarte, którego P-2 nie obejmuje.)

3. T-3c (dyskretne kwantowe RT). Pierwotny dowód oparty na DPI ograniczał obszar bulk, lecz nie entropię brzegową. Dzięki izometrii z P-2c, Twierdzenie P-2d ustanawia pełne ograniczenie brzegowe S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi poprzez rangę Schmidta stanu MERA.

4. Emergentna geometria bulk. Metryka bulk MERA g_{ij}^{\text{bulk}} jest indukowana z odległości kodowej w kaskadzie. Czasoprzestrzeń zakrzywia się tam, gdzie odległość kodowa dąży do rozbieżności, co jest zgodne z identyfikacją G_{\mu\nu} w T-2 jako pochodnej metrycznej entropii renderu. (Nadal potrzebna jest granica ciągła.)

5. Status Drabiny Epistemicznej. Szczebel 2 (dyskretne kwantowe RT) jest teraz dowiedziony przez P-2d. Szczebel 3 (pełne kwantowe RT z poprawką bulk) wymaga granicy ciągłej, która nie została jeszcze wyprowadzona z prymitywów OPT.

Otwarte krawędzie umożliwione przez to domknięcie

• P-2 (reguła Borna / przestrzeń Hilberta) ma teraz dokładny punkt wejścia: wymiar wiązania \chi musi zostać osadzony jako wymiar kwantowej przestrzeni Hilberta. Gdy korekcja błędów ADH wymusza strukturę logicznego kubitu, klasyczne wiązanie \chi = 2^{B_0/N} zostaje podniesione do wiązania kwantowego z entropią von Neumanna, a dyskretne RT z T-3c staje się pełnym kwantowym RT z poprawką bulk S_{\text{bulk}}.

• P-3 (holografia asymetryczna): rekonstrukcja bulk MERA i nierówność Fano mają teraz wspólny formalny dom. Nierówność Fano (preprint §3.10) ogranicza zdolność obserwatora do rekonstrukcji substratu z wnętrza renderu — dokładnie tę nieodwracalność odwzorowania MERA (brzeg \to bulk to kodek; odwrócenie bulk \to brzeg jest niemożliwe po przekroczeniu głębokości minimalnego przekroju \tau^*).

• T-5 (odzyskiwanie stałych): wymiar wiązania \chi = 2^{B_0/N} oraz współczynnik gruboziarnienia s dostarczają nowych ograniczeń dla stałych bezwymiarowych. W szczególności s = 2 oraz L = \log_s(B_0/B_L) muszą być zgodne z identyfikacją skali Plancka l_{\text{codec}} = l_P z T-2, co ogranicza stosunek B_0/B_L.

• §8.3, punkt 3 preprintu (MERA/zbiór przyczynowy): formalne odwzorowanie warstw brzegowych MERA Predyktywnego Zbioru Rozgałęzień na ramę zbioru przyczynowego w celu wydobycia własności metrycznych postrzeganej czasoprzestrzeni wyłącznie z sekwencjonowania kodeka. Punktem wyjścia jest metryka odległości kodowej g_{ij}^{\text{bulk}} z §7.

Ten aneks jest utrzymywany jako część repozytorium projektu OPT obok theoretical_roadmap.pdf. Odniesienia: Vidal (2008) [43], Pastawski et al. (2015) [44], Almheiri-Dong-Harlow (2015) [42], Tishby et al. (1999) [28], Ryu-Takayanagi (2006).