Sakārtotā patch teorija

Sākotnējais uzdevums T-3: MERA tenzoru tīkli un cēloņsakarību konuss Problēma: OPT piedāvā Informacionālo cēloņsakarību konusu, kas sastāv no secīgas saspiešanas, taču balstās uz īpaši izstrādātu ģeometrisku aprakstu, nevis uz standarta kvantu tenzoru formālismiem. Sagaidāmais rezultāts: Formāls OPT Informacionālā cēloņsakarību konusa atbilstības attēlojums MERA tenzoru tīkla struktūrai.

Noslēguma statuss: NOSACĪTS IZOMORFISMS (strukturālais homomorfisms apstiprināts; stingrā fiziskā izomorfisma statuss nosacīti paaugstināts ar P-2 palīdzību). Šis pielikums sniedz T-3 prasīto mērķa strukturālo atbilstību. Trīs teorēmas nosaka spēcīgu topoloģisku analoģiju: (T-3a) OPT Stabilitātes filtra iteratīvā rupjināšana ir strukturāli homomorfa MERA tenzoru tīklam; (T-3b) §3.3 Informacionālais cēloņsakarību konuss pēc lieluma kārtas atbilst MERA cēloņsakarību konusam; un (T-3c) Prediktīvs Zaru Kopums strukturāli atbilst nerenormalizētajām robežas brīvības pakāpēm. Šī tīri stohastiskā strukturālā homomorfisma matemātiska pacelšana līdz stingrajām Hilberta telpas izometrijām, kas nepieciešamas patiesai diskrētai Ryu-Takayanagi robežai, sākotnēji palika atklāta, taču tagad ir nosacīti atrisināta, izmantojot eksplicītu skaitļošanas bāzes iegulumu un Izometrijas identifikācijas tilta postulātus, kas secīgi ieviesti problēmā P-2.

§1. Daudzslāņu saspiešanas struktūra

Preprinta §3.3 definē OPT novērotāju ar vienu šaurās vietas optimizāciju (4. vienādojums): saspiests stāvoklis Z_t \in \{1, \ldots, 2^B\} tiek atlasīts no pilnā robežstāvokļa X_t, lai maksimizētu prediktīvo informāciju pie minimāla apraksta garuma. Tas, ko §3.3 nepasaka tieši, ir tas, ka ceļš no X_{\partial A} uz Z_t dabiski sadalās saspiešanas slāņu kaskādē — katrs no tiem atmet īsa darbības rādiusa korelācijas, kas nav nozīmīgas prognozēšanai nākamajā mērogā. Šī hierarhiskā struktūra ir OPT puse MERA atbilstībā.

1.1 L slāņu šaurās vietas kaskāde

Lai s \geq 2 ir fiksēts rupjināšanas koeficients un L — kopējais saspiešanas slāņu skaits. Definējam kaskādi:

Z_t^{(0)} := X_{\partial_R A} \qquad \text{(0. slānis: pilna Markova robeža, } H = B_0 \text{ biti)}

Katrā nākamajā slānī \tau = 0, \ldots, L-1:

Z_t^{(\tau+1)} = \operatorname*{arg\,min}_{q} \left[ I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) - \beta_\tau\, I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \right]

\text{ar nosacījumu: } I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) \leq B_\tau, \qquad B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}

Gala stāvoklis ir Z_t := Z_t^{(L)}, kur B_L = B_0 \cdot s^{-L} biti. Kaskāde definē Markova ķēdi:

X_{t+1:\infty} \;-\!\!-\; Z_t^{(0)} \;-\!\!-\; Z_t^{(1)} \;-\!\!-\; \cdots \;-\!\!-\; Z_t^{(L)} = Z_t

Saskaņā ar datu apstrādes nevienādību prediktīvā informācija ir monotoni nepieaugoša:

I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \geq I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right)

Katrs slānis zaudē kontrolētu prediktīvās informācijas daudzumu — to nosaka attiecīgā slāņa šaurās vietas kropļojuma budžets D_\tau.

1.2 Sadalījums shēmā Atpinums-vispirms, pēc tam Rupjināšana

Katra slāņa pāreja Z^{(\tau)} \to Z^{(\tau+1)} sadalās divos kanoniskos soļos:

• Atpinums: Pielieto lokālu atgriezenisku pārkārtojumu, kas modelēts kā permutācijas attēlojums U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} uz Z^{(\tau)}, un kas savstarpēji nerelevantus Prediktīva Zaru Kopuma zarus — zarus, kuriem nav kopīgas prediktīvās informācijas par nākotni — novieto blakus pozīcijās. Šis klasiskais solis ir atgriezenisks; informācija netiek zaudēta.

• Rupjināšana (šaurās vietas attēlojums): Sadaliet stāvokļus grupās pa s un katrai grupai pielietojiet klasisko stohastisko šaurās vietas saspiešanas attēlojumu W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}). Saites dimensija ir fiksēta kā \chi = 2^{B_0/N}, kur N ir robežas vietu skaits. Lai tā formāli funkcionētu kā precīza diskrētas Hilberta telpas tenzora dimensija, nevis kā efektīva nepārtraukta skala, ietvars stingri nosaka diofantisko ierobežojumu 2^{B_0/N} \in \mathbb{Z}^+. Tas tieši nodrošina, ka precīzā veselā dimensija \chi dod entropiju uz vienu vietu \log \chi = B_0/N, kas ģeometriski ir saskaņota ar kapacitātes grafiku B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}. Piezīme: Kvantu mērķstruktūras, kas izmantotas §2, ir MERA izometrija w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} (kuras adjungētais operators w_\tau^\dagger īsteno rupjināšanu) un atpinējs u_\tau. §1 attēlojumi W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}) un U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} ir klasiskie OPT objekti. Iegulums, kas tos savieno, ir noteikts pielikumā P-2.

Kompozīcija W_\tau \circ U_\tau katrā slānī, sakrauta visiem \tau = 0, \ldots, L-1, veido pilnu tenzoru tīklu. Tagad parādīsim, ka tas ir tieši MERA.

§2. MERA — formālas definīcijas

Mēs izklāstām attiecīgās definīcijas no Vidal (2008) [43] formā, kas piemērota OPT kartējumam.

2.1 Tenzori

MERA 1D ķēdei ar N robežas vietām un lokālo Hilberta telpu \mathbb{C}^\chi sastāv no L slāņiem. Katrs slānis \tau satur divas tenzoru klases:

• Atpinēji u_\tau: unitāri tenzori u_\tau: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2} \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2}, kas darbojas uz blakus esošiem vietu pāriem. Tie noņem īsa darbības rādiusa sapīšanos, nemainot kopējo Hilberta telpas dimensiju. Unitāritāte: u^\dagger u = u u^\dagger = I.

• Izometrijas w_\tau: tenzori w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s}, kas apmierina w_\tau^\dagger w_\tau = I_{\mathbb{C}^\chi} (izometriski: attēlojums ir injekcija no rupji graudotās telpas smalki graudotajā telpā). Adjungētais operators w_\tau^\dagger: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} \to \mathbb{C}^\chi realizē rupjo graudošanu, attēlojot s smalki graudotas vietas uz 1 rupjo vietu.

Pilnā MERA attēlo augšējo stāvokli |\psi_{\text{top}}\rangle \in \mathbb{C}^\chi (apjomu) robežas stāvoklī |\psi_{\text{boundary}}\rangle \in (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes N}, piemērojot slāņus virzienā no apjoma uz robežu, katram slānim paplašinot stāvokļu telpu ar koeficientu s.

2.2 MERA cēloņsakarību konuss

Robežas vietas x \in \{1, \ldots, N\} cēloņsakarību konuss \mathcal{C}(x) ir minimālā tenzoru kopa tīklā, kuru vērtības var ietekmēt vietas x reducēto blīvuma matricu \rho_x. To aprēķina no apakšas uz augšu (no bulk uz robežu).

Bulk slānī (dziļumā \tau = L no robežas): \mathcal{C}(x) satur vienu vienīgu augšējo tenzoru. Katrā nākamajā slānī, virzoties robežas virzienā, cēloņsakarību konuss izplešas ar koeficientu s katrā izometrijas slānī un ne vairāk kā par 2 katrā disentangler slānī. \mathcal{C}(x) platums robežas dziļumā \tau no augšas ir:

w(\tau) = \mathcal{O}(s^\tau) \qquad \text{[aug eksponenciāli no bulk uz robežu]}

Kritiskajā MERA (s = 2) cēloņsakarību konusa platums dziļumā \tau aug kā 2^\tau, un pēc L slāņiem tas sasniedz pilno robežas platumu N = s^L.

2.3 Sapīšanās entropija un minimālais griezums

Nepārtrauktam robežas apgabalam A ar garumu |A| = l sapīšanās entropiju S(A) MERA stāvoklī ierobežo to saišu skaits, kuras pārgriež minimālā virsma \gamma_A, ejot cauri tenzoru tīkla bulkam:

S(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi

kur |\gamma_A| ir saišu skaits minimālajā griezumā un \chi ir saites dimensija. Mēroga invarianta MERA gadījumā |\gamma_A| \sim \frac{c}{3} \log l, atgūstot CFT sapīšanās entropiju S(A) \sim \frac{c}{3} \log l ar c/3 = \log \chi. Tas ir Ryu-Takayanagi formulas diskrētais analogs AdS/CFT ietvarā.

§3. Teorēma T-3a — Strukturāls homomorfisms

Teorēma T-3a (MERA–OPT homomorfisms). OPT L slāņu Informācijas šaurās vietas kaskāde \{Z_t^{(\tau)},\, \tau = 0, \ldots, L\} ar robežstāvokli Z_t^{(0)} = X_{\partial_R A}, apjoma stāvokli Z_t^{(L)} = Z_t, slāņa kapacitāti B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau} un saites dimensiju \chi = 2^{B_0/N} ir strukturāli homomorfa MERA slāņu topoloģijai ar L slāņiem, mēroga koeficientu s un saites dimensiju \chi, pie formālas klasiskas atbilstības: - (i) OPT rupjināšana W_\tau \;\leftrightarrow\; MERA izometrijas adjunkts w_\tau^\dagger - (ii) OPT atpinējs U_\tau \;\leftrightarrow\; MERA atpinējs u_\tau

3.1 Pierādījums — izometrijas identifikācija

OPT rupjās graudainības tenzors slānī \tau tiek aprēķināts, izmantojot nosacīto sadalījumu q^*(z^{(\tau+1)} \mid z^{(\tau)}), ko rada šaurās vietas optimizācija. Lai gan kopējais informācijas budžets uzspiež vidējo makroskopiskās kapacitātes attiecību B_\tau / B_{\tau+1} = s, klasiskais stohastiskais šaurās vietas modelis pats par sevi nenodrošina precīzi vienmērīgu šķiedru kardinalitāti (stingru diskrētu pirmattēlu, kura izmērs katram izvades z^{(\tau+1)} ekvivalentā veidā atbilst s). Tādēļ šī eksplicītā soļa formalizācija ierobežo arhitektūru ar idealizēto ciešās atbilstības robežu (D \to 0), pie nosacījuma, ka parametri perfekti izolē vienmērīgas informācijas struktūras.

Tomēr q^* ir klasiska stohastiska varbūtību matrica, nevis kompleksa kvantu unitāra matrica. Apgalvot patieso Hilberta telpas izometrijas nosacījumu (W_\tau W_\tau^\dagger = I_{\mathbb{C}^\chi}) būtu kategoriju kļūda. Patiesai daļējai izometrijai nepieciešama šo diskrēto stāvokļu eksplicīta iegulšana skaitļošanas bāzē uz \mathbb{C}^\chi. P-2 pielikums (Nosacītā kvantu atbilstība) nosaka šo iegulšanu: teorēma P-2.0 sniedz skaitļošanas bāzes identifikāciju, un teorēma P-2c pierāda, ka optimālā šaurās vietas karte ciešajā robežā darbojas kā daļēja izometrija QECC aizsargātajā apakštelpā. Pie nosacījuma par P-2 lokālo trokšņa modeli strukturālais homomorfisms tiek paaugstināts līdz īstenam tenzoru tīkla izomorfismam koda telpā. \blacksquare

3.2 Pierādījums — atpinēja identifikācija

Tīri klasiskais atpinējs U_\tau tiek noteikts kā lokāla bijekcija (stāvokļu alfabēta permutācija no simetriskās grupas S_{|\mathcal{Z}|}), kas pārkārto Z^{(\tau)}, lai pirms rupjināšanas minimizētu starpgrupu redundances (ekvivalenti: savstarpējo informāciju).

U_\tau = \operatorname*{arg\,min}_{U \in S_{|\mathcal{Z}|}} \sum_{j \neq k} I\!\left( U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, j} \,;\, U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, k} \right)

Tas atbilst MERA atpinēja strukturālajam mērķim: pirms rupjināšanas novērst īsa darbības rādiusa sapīšanos (korelācijas starp blakus esošām grupām). Patiesa kompleksā unitāritāte (U^\dagger U = I) tiek pamatota ar teorēmu P-2.0 (pielikums P-2): pie iegremdējuma skaitļošanas bāzē permutācija U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} caur permutāciju reprezentāciju viennozīmīgi paceļas līdz unitārai matricai grupā U(\mathbb{C}^\chi).

Atruna (permutācija pret vispārīgu unitāru operatoru). Teorēma P-2.0 paceļ OPT atpinējus uz U(\mathbb{C}^\chi) permutāciju apakšgrupu, nevis uz pilno unitāro grupu. Standarta MERA atpinēji ir vispārīgi unitāri operatori u_\tau \in U(\mathbb{C}^\chi \otimes \mathbb{C}^\chi); permutāciju apakšgrupa ir stingra apakškopa (|S_\chi| = \chi! pretstatā \dim U(\chi) = \chi^2 nepārtrauktiem parametriem). Tādēļ ar P-2.0+P-2c noteiktais izomorfisms attiecas uz permutāciju MERA — ierobežotu apakšklasi. Lai to paplašinātu līdz pilnai MERA, būtu jāidentificē OPT iekšējs mehānisms, kas ģenerē vispārīgus unitārus operatorus, nevis permutācijas. Šī plaisa neietekmē RT entropijas robežu (P-2d), jo tā ir atkarīga tikai no izometrijas nosacījuma P-2c, nevis no atpinēja klases. \blacksquare

MERA–OPT izomorfisma vārdnīca

§4. Teorēma T-3b — Cēloņsakarību konusa identitāte

Teorēma T-3b (Cēloņsakarību konusa atbilstība). Pie T-3a homomorfisma Sakārtotās patch teorijas (OPT) Informacionālais cēloņsakarību konuss (preprinta §3.3) strukturāli atbilst (mēroga kārtas skalējumā) MERA cēloņsakarību konusam. Pašreizējā apertūra Z_t atbilst bulk augšējam tenzoram; nostabilizētais Cēloņsakarību reģistrs \mathcal{R}_t atbilst pagātnes bulk stāvokļiem; Prediktīvs Zaru Kopums \mathcal{F}_h(z_t) atbilst nerenormalizētajām brīvības pakāpēm pie MERA robežas, kas atrodas h slāņus no tagadnes.

4.1 Atbilstības virziens

Šeit pastāv smalka orientācijas nianse, kas jāizsaka precīzi. MERA gadījumā tīkls virzās no robežas (UV, smalkgraudains) uz apjomu (IR, rupjgraudains). OPT gadījumā Informacionālais cēloņsakarību konuss virzās no pagātnes (nostabilizēta, saspiesta) caur tagadnes apertūru uz nākotni (Prediktīvs Zaru Kopums, neatrisināta). Atbilstība ir šāda:

4.2 Pierādījums — cēloņsakarību konusa platums = Prediktīva Zaru Kopuma kapacitāte

MERA ietvarā bulk stāvokļa Z_t cēloņsakarību konuss (dziļumā L no robežas) paplašinās, virzoties uz robežu: dziļumā \tau slāņus no virsotnes konusa platums ir s^\tau. Tas uzskaita to robežas vietu skaitu, kuras var neatkarīgi ietekmēt Z_t.

OPT ietvarā Prediktīvs Zaru Kopums \mathcal{F}_h(z_t) dziļumā h laika soļus no pašreizējās apertūras satur ne vairāk kā 2^{B \cdot h} atšķiramu nākotnes stāvokļu (preprinta vienādojums 5: \log|\mathcal{F}_h| \leq Bh). MERA slāņa dziļums atbilst \tau = h. Mēs novērojam eksponenciālas un lineāras robežošanas neatbilstību (s^\tau \cdot B/L biti MERA gadījumā caur mēroga izplešanos pretstatā B \tau Prediktīvā Zaru Kopumā caur hronoloģisku akumulāciju). Cēloņsakarību konusa platums un OPT Prediktīva Zaru Kopuma kapacitāte pēc lieluma kārtas stabili sakrīt, taču stingra precīza sakritība iegūstama tikai viena slāņa kodeka robežgadījumā (L=1). Turklāt MERA pasīvās topoloģijas identificēšana ar no darbības atkarīgo Prediktīvu Zaru Kopumu nozīmē, ka darbojamies vienīgi pasīvā novērotāja robežgadījumā (a \equiv \text{const}). \blacksquare

4.3 Pierādījums — Cēloņsakarību reģistrs = pagātnes bulks

Nostiprinātais Cēloņsakarību reģistrs \mathcal{R}_t = (Z_0, Z_1, \ldots, Z_t) (preprinta §3.3) sastāv no visiem pagātnes saspiestajiem stāvokļiem — bulka stāvokļiem, kas jau ir renderēti nostiprinātajā pagātnē. MERA ietvarā tie atbilst pagātnes bulka stāvokļu secībai, ko savieno kodeka temporālā dinamika K_\theta (preprinta 6. vienādojums). \mathcal{R}_t nostiprinātais, zemas entropijas raksturs atbilst tam, ka bulka stāvokļiem MERA konstrukcijā pēc definīcijas ir zema sapīšanās entropija — tie ir atsapīšanas procedūras rupjgraudainais rezultāts. \blacksquare

§5. Teorēma T-3c — Prediktīvs Zaru Kopums kā robežas UV un diskrētā Ryu-Takayanagi formula

Teorēma T-3c (Prediktīvs Zaru Kopums = robežas UV; diskrētais RT).

1. Prediktīvs Zaru Kopums \mathcal{F}_h(z_t) varbūtiski atbilst nerenormalizēto brīvības pakāpju kopai MERA robežā — MERA robežas UV slānim, kas piemērots kodekam laika solī t + h.

2. Klasiskais datu apstrādes ierobežojums (bulk cut robeža): prediktīvā griezuma entropija, korekti novērtēta iekšējā bulk minimālā griezuma slānī, tieši apmierina: S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \log \chi

3. Diskrētais kvantu RT paplašinājums (ar nosacījumu par P-2d iegulumu):

\boxed{S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi}

kur \gamma_A ir minimālā griezuma virsma MERA bulkā un \chi = 2^{B_0/N} ir saites dimensija. Šī robeža ir spēkā ar nosacījumu par P-2d izometriju; tā reducējas uz (b) daļas klasisko bulk-cut robežu, ja kvantu struktūra nav pieejama.

5.1 Pierādījums — Prediktīvs Zaru Kopums kā robežas UV

MERA robežas UV slānis laikā t+h sastāv no visiem iespējamajiem ievades stāvokļiem X_{\partial_R A}^{(t+h)} — smalki granulētajiem, neaprupinātajiem robežas stāvokļiem, kurus kodeks apstrādās nākamo h laika soļu laikā. Pēc kaskādes struktūras tie ir tieši tie stāvokļi, kas no pašreizējās apertūras Z_t = Z_t^{(L)} ir sasniedzami, palaižot MERA apgrieztā virzienā (no bulka uz robežu) h slāņus — t. i., izplešot Z_t cēloņsakarību konusu par h soļiem.

Prediktīvs Zaru Kopums \mathcal{F}_h(z_t) ir definēts priekšdrukā (§3.3) šādi:

\mathcal{F}_h(z_t) := \left\{ z_{t+1:t+h} : p(z_{t+1:t+h} \mid z_t,\, a_{t:t+h-1}) > 0 \right\}

Tās ir tieši tās bulka stāvokļu secības, kas no Z_t ir sasniedzamas h MERA slāņu ietvaros, darbinot kaskādi probabilistiski izplešanās virzienā. Šī identifikācija prasa, lai MERA tiktu izvērtēta abos virzienos — robeža \to bulks (pagātnes saspiešana) un bulks \to robeža (nākotnes izplešanās). Prediktīvs Zaru Kopums tieši atbilst otrajam virzienam, kas ir precīzais bulka stāvokļa cēloņsakarību konusa izplešanās balsta kopums virzienā uz robežas UV, ievērojot laika apgriezuma identifikāciju, kā pienācīgi norādīts §4.1. \blacksquare

5.2 Pierādījums — diskrētā Ryu-Takayanagi attēlotā robeža

Lai A un \bar{A} = V \setminus A būtu robežas bipartīcija. Lai \tau^* būtu minimālais slānis, kurā A/\bar{A} saskarne tenzoru tīklā tiek precīzi pārgriezta (minimālā griezuma slānis). Šajā slānī lokālā savstarpējās informācijas šaurās vietas kapacitāte ir stingri ierobežota ar šo pārgriezto saišu kapacitāti:

S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi \qquad (\text{Starpgrupu bulka robeža})

Lai gan tas sekmīgi precīzi nosaka diskrēto Ryu-Takayanagi kapacitātes robežu tieši bulka minimālā griezuma slānī, formāli šo robežu pacelt augšup, lai ierobežotu ārējās robežas prediktīvā griezuma entropiju S_{\text{cut}}(A) = S_{\text{cut}}^{(0)}(A), nevar, izmantojot Datu apstrādes nevienādību, jo DPI nosaka, ka entropijai, kompresējot lejup, ir monotoniski jāsamazinās, nevis jāpalielinās: S_{\text{cut}}^{(0)} \geq S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}.

Pareizais ceļš uz pilno mērķa diskrēto RT robežas ierobežojumu (S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi) prasa ierobežot Šmita rangu pāri bipartīcijai — stratēģiju, kas prasa aplūkot tīklu kā tādu, kas konstruē robežas stāvokli ar patiesām lineārām izometrijām. Tas tagad ir nostiprināts P-2 pielikumā: teorēma P-2d pierāda diskrēto kvantu Ryu-Takayanagi formulu, izmantojot MERA stāvokļa Šmita dekompozīciju pāri minimālajam griezumam, ar nosacījumu par P-2c izometrijas nosacījumu. \blacksquare (ar nosacījumu par P-2d izometriju).

§6. Epistēmiskās kāpnes — no klasiskā uz kvantu RT

Iepriekš minētās trīs teorēmas nosaka MERA struktūru klasiskajā informācijteorētiskajā līmenī. Preprinta §3.4 izklāstītās Epistēmiskās kāpnes apraksta nosacījumus, kādos katru pakāpienu var pārvarēt.

Kvantu RT formulai nepieciešams aizstāt klasisko prediktīvā griezuma entropiju I(X_A;\, X_{V \setminus A}) ar blīvuma matricas \rho_A fon Neimaņa sapīšanās entropiju S_{\text{vN}}(\rho_A). Tas paredz Hilberta telpas struktūru Z_t stāvokļu telpai. Šīs struktūras atvasināšana — izmantojot ADH kvantu kļūdu korekcijas argumentu (preprints P-2) — joprojām ir nākamais formālais solis. Tiklīdz P-2 būs pabeigts, saites dimensija \chi = 2^{B_0/N} kļūs par kvantu saites dimensiju, un klasisko savstarpējo informāciju T-3c pierādījumā aizstās kvantu savstarpējā informācija, atjaunojot pilno kvantu RT formulu ar bulk korekcijas locekli S_{\text{bulk}}.

§7. Emerģentā apjoma ģeometrija no koda attāluma

MERA apjoma ģeometrija nav iepriekš eksistējošs konteiners. Saskaņā ar T-3a izomorfismu tā ir kodeka informacionālā metriskā telpa: saspiešanas attālumu ģeometrija.

7.1 Koda distance kā tilpuma metrika

Definēsim diskrēto veselo skaitļu koda distanci d(z^{(\tau)}, z'^{(\tau)}) starp diviem stāvokļiem kaskādes slānī \tau kā minimālo disentangleru apmaiņu skaitu, kas nepieciešams, lai tos savienotu tenzoru tīklā.

Pie korektas termodinamiskās vai nepārtrauktības robežas (N \to \infty, a \to 0) tilpuma metriku g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) nepārtrauktā telpiskā slāņa mērogā \tau varētu aproksimēt šādi:

g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) \propto \lim_{a \to 0} \frac{d\!\left(z_i^{(\tau)},\, z_j^{(\tau)}\right)^2}{d\!\left(z_i^{(0)},\, z_j^{(0)}\right)^2}

Tā ir strukturāla ekspektācija, kas ir nosacīta ar kaskādes mēroga invarianci un pieņēmumu, ka Permutation MERA nepārtrauktības robežā ir nepārtraukti aproksimējama ar vispārīgu MERA — saskaņā ar zināmajiem Swingle (2012) un Nozaki-Ryu-Takayanagi (2012) rezultātiem, taču ne garantēta diskrētai kaskādei ar galīgu slāņu skaitu. Tādējādi saskaņā ar šīm nepārtrauktības robežas konjektūrām mēs sagaidām, ka telplaika ģeometrija izliektos tieši tur, kur koda distance diverģē — t. i., kur Nepieciešamais prediktīvais ātrums R_\text{req} tuvojas C_\text{max}, stratēģiski saskanot ar T-2 veikto ātruma–kropļojuma pārplūdes identifikāciju.

7.2 Saikne ar T-2

T-2 noteica, ka gravitācijas izliekums G_{\mu\nu} ir renderējuma entropijas S_{\text{render}} metriskā atvasinājuma forma. MERA struktūra tagad precizē S_{\text{render}} mikroskopisko izcelsmi: tā ir minimālā griezuma entropija |\gamma_A| \log \chi, un Einšteina tenzors G_{\mu\nu} ir šīs griezuma entropijas reakcija uz metriskām perturbācijām bulk ģeometrijā, ko inducē kodeka distance. Tādējādi abi pielikumi ir savstarpēji saskanīgi: T-2 sniedz makroskopiskos lauka vienādojumus; T-3 sniedz entropijas funkcionāļa mikroskopisko tenzoru tīkla izcelsmi, kuru tie ekstremizē.

§8. Noslēguma kopsavilkums un atvērtās robežas

T-3 devumi — daļēji atrisināti → nosacīti paaugstināti (kopā ar P-2)

1. T-3a (MERA izomorfisms). OPT L-slāņu šaurās vietas kaskāde ir strukturāli homomorfa MERA ar slāņa koeficientu s un dziļumu L. Ar pielikumu P-2 (teorēmas P-2.0 un P-2c) tas tiek paaugstināts līdz tenzoru tīkla izomorfismam QECC aizsargātajā apakštelpā, pie nosacījuma par lokālu troksni. Piezīme: izomorfisms attiecas uz permutāciju MERA (atpinēji permutāciju apakšgrupā no U(\mathbb{C}^\chi)), nevis uz vispārīgu MERA ar patvaļīgiem unitāriem atpinējiem. Šis ierobežojums neietekmē RT robežu (P-2d), bet ierobežo atbilstību ar MERA tīklu apakšklasi.

2. T-3b (Cēloņsakarību konusa atbilstība). Informacionālais cēloņsakarību konuss mērogojas ar kārtas simetriju attiecībā pret MERA cēloņsakarību konusa struktūru pasīvā novērotāja robežgadījumā, lai gan dziļuma profili atšķiras. Prediktīvs Zaru Kopums atbilst nerenormalizētiem robežas datiem. (P-2 izometrijas rezultāts ir spēkā pasīvā novērotāja robežgadījumā; no darbības atkarīgie a_{t:t+h-1} locekļi Prediktīva Zaru Kopuma definīcijā prasa atvērto sistēmu paplašinājumu, ko P-2 neaplūko.)

3. T-3c (Diskrētais kvantu RT). Sākotnējais uz DPI balstītais pierādījums ierobežoja apjomu, bet ne robežas entropiju. Ar izometriju no P-2c teorēma P-2d nosaka pilno robežas ierobežojumu S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi caur MERA stāvokļa Šmita rangu.

4. Emerģentā apjoma ģeometrija. MERA apjoma metrika g_{ij}^{\text{bulk}} tiek inducēta no koda attāluma kaskādē. Telplaiks izliekas tur, kur koda attālums diverģē, saskanīgi ar T-2 identificējumu, ka G_{\mu\nu} ir renderējuma entropijas metriskais atvasinājums. (Joprojām nepieciešama nepārtrauktības robeža.)

5. Epistēmisko kāpņu statuss. 2. pakāpiens (diskrētais kvantu RT) tagad ir pierādīts ar P-2d. 3. pakāpiens (pilnais kvantu RT ar apjoma korekciju) prasa nepārtrauktības robežu, kas vēl nav atvasināta no OPT primitīviem.

Atvērtās robežas, ko šis noslēgums padara iespējamas

• P-2 (Borna likums / Hilberta telpa) tagad ir precīzs ieejas punkts: saites dimensijai \chi jābūt iegultai kā kvantu Hilberta telpas dimensijai. Tiklīdz ADH kļūdu korekcija uzspiež loģiskā kubita struktūru, klasiskā saite \chi = 2^{B_0/N} tiek paaugstināta par kvantu saiti ar fon Neimaņa entropiju, un T-3c diskrētais RT kļūst par pilno kvantu RT ar apjoma korekciju S_{\text{bulk}}.

• P-3 (Asimetriskā hologrāfija): MERA apjoma rekonstrukcijai un Fano nevienādībai tagad ir kopīga formāla mājvieta. Fano nevienādība (preprinta §3.10) ierobežo novērotāja spēju rekonstruēt substrātu no renderējuma iekšienes — tieši MERA attēlojuma neatgriezeniskumu (robeža \to apjoms ir kodeks; apjoma \to robežas inversija nav iespējama aiz minimālā griezuma dziļuma \tau^*).

• T-5 (Konstanšu atgūšana): saites dimensija \chi = 2^{B_0/N} un rupjināšanas koeficients s sniedz jaunus ierobežojumus bezizmēra konstantēm. Jo īpaši, s = 2 un L = \log_s(B_0/B_L) jābūt saderīgiem ar Planka mēroga identificējumu l_{\text{codec}} = l_P no T-2, tādējādi ierobežojot attiecību B_0/B_L.

• §8.3 preprinta 3. punkts (MERA/cēloņsakarību kopa): formāli kartēt Prediktīva Zaru Kopuma MERA robežslāņus uz cēloņsakarību kopas ietvaru, lai iegūtu uztvertā telplaika metriskās īpašības tīri no kodeka sekvencēšanas. §7 koda attāluma metrika g_{ij}^{\text{bulk}} ir sākumpunkts.

Šis pielikums tiek uzturēts kā daļa no OPT projekta repozitorija līdzās theoretical_roadmap.pdf. Atsauces: Vidal (2008) [43], Pastawski et al. (2015) [44], Almheiri-Dong-Harlow (2015) [42], Tishby et al. (1999) [28], Ryu-Takayanagi (2006).