Sutvarkyto patch teorija

Pradinė užduotis T-3: MERA tenzorių tinklai ir priežastinis kūgis Problema: OPT siūlo Informacinį priežastinį kūgį, sudarytą iš nuoseklaus glaudinimo, tačiau remiasi specialiai sukonstruotu geometriniu aprašymu, o ne standartiniais kvantiniais tenzorių formalizmais. Rezultatas: Formalus OPT Informacinio priežastinio kūgio susiejimas su MERA tenzorių tinklo struktūra.

Užbaigtumo būsena: SĄLYGINIS IZOMORFIZMAS (struktūrinis homomorfizmas patvirtintas; griežto fizinio izomorfizmo statusas sąlygiškai pakeltas per P-2). Šiame priede pateikiamas T-3 reikalautas tikslinis struktūrinis susiejimas. Trys teoremos nustato stiprią topologinę analogiją: (T-3a) OPT Stabilumo filtro iteratyvus stambinimas yra struktūriškai homomorfiškas MERA tenzorių tinklui; (T-3b) §3.3 aprašytas Informacinis priežastinis kūgis pagal didumo eilę atitinka MERA priežastinį kūgį; ir (T-3c) Predikcinė Šakų Aibė struktūriškai susiejama su nerenormalizuotais ribiniais laisvės laipsniais. Matematinis šio grynai stochastinio struktūrinio homomorfizmo pakėlimas į griežtas Hilberto erdvės izometrijas, būtinas tikrai diskrečiajai Ryu–Takayanagi ribai, iš pradžių liko atviras, tačiau dabar yra sąlygiškai išspręstas per aiškų skaičiavimo bazės įterpimą ir Izometrijos identifikavimo tilto postulatus, nuosekliai suformuluotus uždavinyje P-2.

§1. Daugiasluoksnė glaudinimo struktūra

Preprinte §3.3 OPT stebėtojas apibrėžiamas viena butelio kaklelio optimizacija (4 lygtis): suglaudinta būsena Z_t \in \{1, \ldots, 2^B\} parenkama iš pilnos ribinės būsenos X_t taip, kad maksimalizuotų predikcinę informaciją esant minimaliam aprašo ilgiui. Tačiau §3.3 aiškiai neįvardija to, kad kelias nuo X_{\partial A} iki Z_t natūraliai išsišakoja į glaudinimo sluoksnių kaskadą — kiekvienas jų atmeta trumpojo nuotolio koreliacijas, kurios yra nereikšmingos predikcijai kitame mastelyje. Ši hierarchinė struktūra yra OPT pusė MERA atitikties.

1.1 L sluoksnių butelio kaklelio kaskada

Tegu s \geq 2 yra fiksuotas grubinimo koeficientas, o L — bendras glaudinimo sluoksnių skaičius. Apibrėžkime kaskadą:

Z_t^{(0)} := X_{\partial_R A} \qquad \text{(0 sluoksnis: pilna Markovo riba, } H = B_0 \text{ bitų)}

Kiekviename paskesniame sluoksnyje \tau = 0, \ldots, L-1:

Z_t^{(\tau+1)} = \operatorname*{arg\,min}_{q} \left[ I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) - \beta_\tau\, I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \right]

\text{su sąlyga: } I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) \leq B_\tau, \qquad B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}

Galutinė būsena yra Z_t := Z_t^{(L)}, kur B_L = B_0 \cdot s^{-L} bitų. Kaskada apibrėžia Markovo grandinę:

X_{t+1:\infty} \;-\!\!-\; Z_t^{(0)} \;-\!\!-\; Z_t^{(1)} \;-\!\!-\; \cdots \;-\!\!-\; Z_t^{(L)} = Z_t

Pagal duomenų apdorojimo nelygybę predikcinė informacija monotoniškai nemažėja tik neigiama prasme:

I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \geq I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right)

Kiekvienas sluoksnis praranda kontroliuojamą predikcinės informacijos kiekį — kontroliuojamą to sluoksnio butelio kaklelio iškraipymo biudžeto D_\tau.

1.2 Išskaidymas į „išpainiojimą, po to grubinimą“

Kiekvienas sluoksnio perėjimas Z^{(\tau)} \to Z^{(\tau+1)} išskaidomas į du kanoninius žingsnius:

• Išpainiojimas: Pritaikomas lokalus grįžtamasis perrikiavimas, modeliuojamas kaip permutacinis atvaizdis U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|}, veikiantis Z^{(\tau)}, kuris tarpusavyje nereikšmingas Predikcinės Šakų Aibės šakas — šakas, nesidalijančias jokia predikcine informacija apie ateitį — perkelia į gretimas pozicijas. Šis klasikinis žingsnis yra grįžtamasis; jokia informacija neprarandama.

• Grubinimas (butelio kaklelio atvaizdis): Būsenos suskirstomos į s dydžio grupes, ir kiekvienai grupei taikomas klasikinis stochastinis butelio kaklelio glaudinimo atvaizdis W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}). Ryšio dimensija fiksuojama kaip \chi = 2^{B_0/N}, kur N yra ribos vietų skaičius. Kad formaliai ji veiktų kaip tiksli diskrečios Hilberto erdvės tenzoriaus dimensija, o ne kaip efektyvus tolydus mastelis, sistema griežtai reikalauja diofantinio apribojimo 2^{B_0/N} \in \mathbb{Z}^+. Tai aiškiai užtikrina, kad tiksli sveikoji dimensija \chi duoda vienai vietai tenkančią entropiją \log \chi = B_0/N, geometriškai suderintą su talpos tvarkaraščiu B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}. Pastaba: §2 naudojamos kvantinės tikslinės struktūros yra MERA izometrija w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} (kurios adjungtinis operatorius w_\tau^\dagger įgyvendina grubinimą) ir išpainiotojas u_\tau. §1 atvaizdžiai W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}) ir U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} yra klasikiniai OPT objektai. Juos susiejantis įterpimas nustatomas P-2 priede.

Kompozicija W_\tau \circ U_\tau kiekviename sluoksnyje, sudėta visiems \tau = 0, \ldots, L-1, sudaro visą tenzorių tinklą. Dabar parodysime, kad tai tiksliai yra MERA.

§2. MERA — formalūs apibrėžimai

Pateikiame atitinkamus Vidalio (2008) [43] apibrėžimus forma, pritaikyta OPT atitikčiai.

2.1 Tenzoriai

MERA, skirta 1D grandinei iš N ribinių vietų su lokalia Hilberto erdve \mathbb{C}^\chi, susideda iš L sluoksnių. Kiekviename sluoksnyje \tau yra dvi tenzorių klasės:

• Išpainiotojai u_\tau: unitariniai tenzoriai u_\tau: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2} \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2}, veikiantys gretimas vietų poras. Jie pašalina trumpojo nuotolio susietumą nekeisdami bendro Hilberto erdvės matmens. Unitarumas: u^\dagger u = u u^\dagger = I.

• Izometrijos w_\tau: tenzoriai w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s}, tenkinantys w_\tau^\dagger w_\tau = I_{\mathbb{C}^\chi} (izometriniai: atvaizdis yra injekcija iš grubinto mastelio erdvės į smulkinto mastelio erdvę). Adjunguotasis operatorius w_\tau^\dagger: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} \to \mathbb{C}^\chi įgyvendina grubinimą pagal mastelį, atvaizduodamas s smulkinto mastelio vietų į 1 grubinto mastelio vietą.

Visa MERA atvaizduoja viršūninę būseną |\psi_{\text{top}}\rangle \in \mathbb{C}^\chi (tūrį) į ribinę būseną |\psi_{\text{boundary}}\rangle \in (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes N}, taikant sluoksnius iš tūrio į ribą, kiekvienam sluoksniui išplečiant būsenų erdvę koeficientu s.

2.2 MERA priežastinis kūgis

Ribinio taško x \in \{1, \ldots, N\} priežastinis kūgis \mathcal{C}(x) yra minimali tenzorių aibė tinkle, kurios reikšmės gali paveikti taško x redukuoto tankio matricą \rho_x. Jis apskaičiuojamas iš apačios į viršų (iš bulk srities ribos link).

Bulk sluoksnyje (gylyje \tau = L nuo ribos): \mathcal{C}(x) apima vieną viršutinį tenzorių. Kiekviename paskesniame sluoksnyje, judant ribos link, priežastinis kūgis kiekviename izometrijos sluoksnyje išsiplečia koeficientu s, o kiekviename disentanglerio sluoksnyje — daugiausia 2 kartus. \mathcal{C}(x) plotis ribos gylyje \tau, skaičiuojant nuo viršaus, yra:

w(\tau) = \mathcal{O}(s^\tau) \qquad \text{[eksponentiškai auga iš bulk srities ribos link]}

Kritinio MERA atveju (s = 2) priežastinio kūgio plotis gylyje \tau auga kaip 2^\tau, o po L sluoksnių pasiekia visą ribos plotį N = s^L.

2.3 Susietumo entropija ir minimalus pjūvis

Gretimai ribos sričiai A, kurios ilgis |A| = l, susietumo entropija S(A) MERA būsenoje yra apribota ryšių, kuriuos per tensorinio tinklo tūrį kerta minimalus paviršius \gamma_A, skaičiumi:

S(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi

čia |\gamma_A| yra ryšių skaičius minimaliame pjūvyje, o \chi yra ryšio dimensija. Mastelio atžvilgiu invariantinei MERA būsenai |\gamma_A| \sim \frac{c}{3} \log l, taip atkuriant CFT susietumo entropiją S(A) \sim \frac{c}{3} \log l, kai c/3 = \log \chi. Tai yra diskretus Ryu–Takayanagi formulės AdS/CFT atitikmuo.

§3. Teorema T-3a — Struktūrinis homomorfizmas

Teorema T-3a (MERA–OPT homomorfizmas). OPT L sluoksnių Informacijos siaurojo kaklelio kaskada \{Z_t^{(\tau)},\, \tau = 0, \ldots, L\} su ribine būsena Z_t^{(0)} = X_{\partial_R A}, tūrine būsena Z_t^{(L)} = Z_t, sluoksnio talpa B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau} ir jungties matmeniu \chi = 2^{B_0/N} yra struktūriškai homomorfiška MERA, turinčiai L sluoksnių, mastelio koeficientą s ir jungties matmenį \chi, sluoksnių topologijai pagal formalų klasikinį atvaizdavimą: - (i) OPT grubinimas W_\tau \;\leftrightarrow\; MERA izometrijos adjungavimas w_\tau^\dagger - (ii) OPT išpainiotojas U_\tau \;\leftrightarrow\; MERA išpainiotojas u_\tau

3.1 Įrodymas — izometrijos identifikacija

OPT stambinimo tenzorius sluoksnyje \tau apskaičiuojamas per sąlyginį skirstinį q^*(z^{(\tau+1)} \mid z^{(\tau)}), kurį sukuria butelio kaklelio optimizacija. Nors bendras informacijos biudžetas nustato vidutinį makroskopinį talpos santykį B_\tau / B_{\tau+1} = s, klasikinis stochastinis butelio kaklelis savaime neverčia tiksliai vienodo skaidulų kardinalumo (griežto diskrečiojo pirmavaizdžio, kurio dydis ekvivalentiškai sutampa su s kiekvienam išėjimui z^{(\tau+1)}). Todėl šio aiškaus žingsnio formalizavimas apriboja architektūrą idealizuota glaudaus atvaizdavimo riba (D \to 0), su sąlygine prielaida, kad parametrai tobulai izoliuoja vienalytes informacines struktūras.

Tačiau q^* reiškia klasikinę stochastinę tikimybių matricą, o ne kompleksinę kvantinę unitarinę matricą. Teigti tikrąją Hilberto erdvės izometrijos sąlygą (W_\tau W_\tau^\dagger = I_{\mathbb{C}^\chi}) būtų kategorijų klaida. Tikra dalinė izometrija reikalauja aiškaus šių diskrečiųjų būsenų įterpimo į skaičiavimo bazę erdvėje \mathbb{C}^\chi. P-2 priedas (Sąlyginė kvantinė atitiktis) nustato šį įterpimą: teorema P-2.0 pateikia skaičiavimo bazės identifikaciją, o teorema P-2c įrodo, kad optimalus butelio kaklelio atvaizdavimas glaudžiojoje riboje veikia kaip dalinė izometrija QECC apsaugotame poerdvyje. Esant P-2 lokalaus triukšmo modelio sąlygai, struktūrinis homomorfizmas pakeliamas iki tikro tenzorių tinklo izomorfizmo kodo erdvėje. \blacksquare

3.2 Įrodymas — disentanglerio identifikacija

Grynai klasikinis disentangleris U_\tau nustatomas kaip lokali bijekcija (būsenų abėcėlės permutacija iš simetrinės grupės S_{|\mathcal{Z}|}), kuri pertvarko Z^{(\tau)}, kad prieš sugrubinimą būtų minimizuoti tarpgupiniai pertekliškumai (tapatingai: tarpusavio informacija).

U_\tau = \operatorname*{arg\,min}_{U \in S_{|\mathcal{Z}|}} \sum_{j \neq k} I\!\left( U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, j} \,;\, U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, k} \right)

Tai atitinka struktūrinį MERA disentanglerio tikslą: pašalinti trumpojo nuotolio susietumą (koreliacijas tarp gretimų grupių) prieš sugrubinimą. Tikroji kompleksinė unitariškumo savybė (U^\dagger U = I) nustatoma teorema P-2.0 (P-2 priedas): esant įterpčiai į skaičiavimo bazę, permutacija U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} per permutacinę reprezentaciją vienareikšmiškai pakeliama į unitariąją matricą iš U(\mathbb{C}^\chi).

Pastaba (permutacija vs. bendroji unitarioji transformacija). Teorema P-2.0 pakelia OPT disentanglerius į permutacinį pogrupį iš U(\mathbb{C}^\chi), o ne į visą unitariąją grupę. Standartiniai MERA disentangleriai yra bendrosios unitariosios transformacijos u_\tau \in U(\mathbb{C}^\chi \otimes \mathbb{C}^\chi); permutacinis pogrupis yra griežtas poaibis (|S_\chi| = \chi! palyginti su \dim U(\chi) = \chi^2 tolydžių parametrų). Todėl P-2.0+P-2c nustatytas izomorfizmas yra su permutacine MERA — apribotu poklasiu. Išplėtimui į pilną MERA reikėtų identifikuoti OPT vidinį mechanizmą, kuris generuotų bendrąsias unitariąsias transformacijas, o ne permutacijas. Ši spraga nedaro įtakos RT entropijos ribai (P-2d), kuri priklauso tik nuo izometrijos sąlygos P-2c, o ne nuo disentanglerio klasės. \blacksquare

MERA–OPT izomorfizmo žodynas

§4. Teorema T-3b — priežastinio kūgio tapatumas

Teorema T-3b (Priežastinių kūgių atitiktis). Esant T-3a homomorfizmui, OPT Informacinis priežastinis kūgis (preprint §3.3) struktūriškai (didumo eilės masteliu) atitinka MERA priežastinį kūgį. Dabartinė apertūra Z_t atitinka tūrio viršutinį tenzorių; nusistovėjęs Priežastinis registras \mathcal{R}_t atitinka praeities tūrio būsenas; Predikcinė Šakų Aibė \mathcal{F}_h(z_t) atitinka nerenormalizuotus laisvės laipsnius MERA riboje, esančioje per h sluoksnių nuo dabarties.

4.1 Atitikties kryptis

Čia esama orientacijos subtilybės, kurią būtina nusakyti tiksliai. MERA tinkle kryptis eina nuo ribos (UV, smulkiai išskaidytos) į tūrį (IR, stambiai sugrūdintą). OPT atveju Informacinis priežastinis kūgis driekiasi iš praeities (nusistovėjusios, suglaudintos) per dabarties apertūrą į ateitį (Predikcinė Šakų Aibė, neišspręsta). Atitiktis yra tokia:

4.2 Įrodymas — priežastinio kūgio plotis = Predikcinės Šakų Aibės talpa

MERA formalizme tūrinės būsenos Z_t priežastinis kūgis (gylyje L nuo ribos) plečiasi judėdamas ribos link: gylyje, esančiame per \tau sluoksnių nuo viršaus, kūgio plotis yra s^\tau. Tai nusako ribos vietų, galinčių nepriklausomai paveikti Z_t, skaičių.

OPT sistemoje Predikcinė Šakų Aibė \mathcal{F}_h(z_t) gylyje h laiko žingsnių nuo dabartinės apertūros apima daugiausia 2^{B \cdot h} atskiriamų būsimų būsenų (preprinte, 5 lygtis: \log|\mathcal{F}_h| \leq Bh). MERA sluoksnio gylis atitinka \tau = h. Pastebime eksponentinio ir tiesinio apribojimų neatitikimą (s^\tau \cdot B/L bitų MERA atveju per mastelio plėtrą, palyginti su B \tau Predikcinėje Šakų Aibėje per chronologinę akreciją). Priežastinio kūgio plotis ir OPT Predikcinės Šakų Aibės talpa pagal didumo eilę patikimai sutampa, tačiau griežtas tikslus sutapimas pasiekiamas tik vieno sluoksnio kodeko riboje (L=1). Be to, tapatinant pasyviąją MERA topologiją su nuo veiksmų priklausoma Predikcine Šakų Aibe, implikuojama, kad veikiame išimtinai pasyvaus stebėtojo riboje (a \equiv \text{const}). \blacksquare

4.3 Įrodymas — Priežastinis registras = praeities bulkas

Nusistovėjęs Priežastinis registras \mathcal{R}_t = (Z_0, Z_1, \ldots, Z_t) (preprinto §3.3) susideda iš visų praeities suglaudintų būsenų — bulk būsenų, kurios jau buvo atvaizduotos į nusistovėjusią praeitį. MERA struktūroje jos atitinka praeities bulk būsenų seką, susietą kodeko laikinės dinamikos K_\theta (preprinto 6 lygtis). Nusistovėjęs, mažos entropijos \mathcal{R}_t pobūdis atitinka tai, kad MERA bulk būsenos pagal konstrukciją pasižymi maža susietumo entropija — jos yra stambinto mastelio rezultatas, gaunamas išpainiojimo procedūra. \blacksquare

§5. Teorema T-3c — Predikcinė Šakų Aibė kaip ribinis UV ir diskretinė Ryu–Takayanagi formulė

Teorema T-3c (Predikcinė Šakų Aibė = ribinis UV; diskretinė RT).

1. Predikcinė Šakų Aibė \mathcal{F}_h(z_t) tikimybiškai atvaizduojama į nerenormalizuotų laisvės laipsnių aibę MERA riboje — į MERA ribinį UV sluoksnį, pritaikytą kodekui laiko žingsnyje t + h.

2. Klasikinė duomenų apdorojimo riba (tūrio pjūvio riba): predikcinio pjūvio entropija, teisingai įvertinta vidiniame tūrio minimalaus pjūvio sluoksnyje, aiškiai tenkina: S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \log \chi

3. Diskretinis kvantinis RT išplėtimas (su P-2d įterpimo sąlyga):

\boxed{S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi}

čia \gamma_A yra minimalaus pjūvio paviršius MERA tūryje, o \chi = 2^{B_0/N} yra ryšio dimensija. Ši riba galioja su P-2d izometrijos sąlyga; kai kvantinė struktūra neprieinama, ji susiveda į (b) dalies klasikinę tūrio pjūvio ribą.

5.1 Įrodymas — Predikcinė Šakų Aibė kaip ribinis UV

MERA ribinis UV sluoksnis laiko momentu t+h susideda iš visų galimų įvesties būsenų X_{\partial_R A}^{(t+h)} — smulkiai išskaidytų, nesugrubintų ribinių būsenų, kurias kodekas apdoros per artimiausius h laiko žingsnius. Dėl kaskadinės struktūros tai yra tiksliai tos būsenos, kurios pasiekiamos iš dabartinės apertūros Z_t = Z_t^{(L)}, paleidžiant MERA atvirkštine kryptimi (iš tūrio link ribos) per h sluoksnių — t. y. išplečiant Z_t priežastinį kūgį per h žingsnius.

Predikcinė Šakų Aibė \mathcal{F}_h(z_t) preprinte (§3.3) apibrėžiama taip:

\mathcal{F}_h(z_t) := \left\{ z_{t+1:t+h} : p(z_{t+1:t+h} \mid z_t,\, a_{t:t+h-1}) > 0 \right\}

Tai yra būtent tos tūrio būsenų sekos, kurios pasiekiamos iš Z_t per h MERA sluoksnių, vykdant kaskadą tikimybiškai išplėtimo kryptimi. Šiam sutapatinimui reikia, kad MERA būtų vertinama abiem kryptimis — riba \to tūris (praeities glaudinimas) ir tūris \to riba (ateities išplėtimas). Predikcinė Šakų Aibė aiškiai atitinka antrąją kryptį, kuri yra tiksli tūrio būsenos priežastinio kūgio plėtimosi atramos aibė ribinio UV link, esant laiko apgręžimo sutapatinimui, tinkamai pažymėtam §4.1. \blacksquare

5.2 Įrodymas — diskretus susietasis Ryu–Takayanagi aprėžis

Tegu A ir \bar{A} = V \setminus A yra ribos biparticija. Tegu \tau^* yra minimalus sluoksnis, kuriame A/\bar{A} sąsaja tenzorių tinkle yra tiksliai perkerpama (minimalaus pjūvio sluoksnis). Šiame sluoksnyje lokali tarpusavio informacijos butelio kaklelio talpa yra griežtai apribota tų perkirptų ryšių talpa:

S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi \qquad (\text{Tarpgrupinis bulk aprėžis})

Nors tai sėkmingai tiksliai nustato diskretų Ryu–Takayanagi talpos aprėžį būtent bulk minimalaus pjūvio sluoksnyje, formaliai perkelti šį aprėžį aukštyn taip, kad jis ribotų išorinės ribos predikcinio pjūvio entropiją S_{\text{cut}}(A) = S_{\text{cut}}^{(0)}(A), negalima pasitelkiant duomenų apdorojimo nelygybę, nes DPI reikalauja, kad entropija, glaudinant žemyn, monotoniškai mažėtų, o ne didėtų: S_{\text{cut}}^{(0)} \geq S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}.

Teisingas kelias į pilną tikslinį diskretų RT ribos aprėžį (S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi) reikalauja aprėžti Schmidto rangą per biparticiją — strategija, kuri reikalauja tinklą traktuoti kaip konstruojantį ribos būseną per tikras tiesines izometrijas. Tai dabar nustatyta P-2 priede: teorema P-2d įrodo diskrečią kvantinę Ryu–Takayanagi formulę per MERA būsenos Schmidto skaidinį per minimalų pjūvį, su sąlyga, kad tenkinama P-2c izometrijos sąlyga. \blacksquare (su sąlyga dėl P-2d izometrijos).

§6. Episteminės kopėčios — nuo klasikinio iki kvantinio RT

Trys aukščiau pateiktos teoremos nustato MERA struktūrą klasikinės informacijos teorijos lygmeniu. Preprinto §3.4 aprašytos Episteminės kopėčios nusako sąlygas, kuriomis galima pakilti kiekviena pakopa.

Kvantinė RT formulė reikalauja klasikinę predikcinio pjūvio entropiją I(X_A;\, X_{V \setminus A}) pakeisti tankio matricos \rho_A fon Noimano susietumo entropija S_{\text{vN}}(\rho_A). Tai suponuoja Hilberto erdvės struktūrą būsenų erdvei Z_t. Šios struktūros išvedimas — per ADH kvantinės klaidų korekcijos argumentą (preprintas P-2) — išlieka kitu formaliu žingsniu. Kai P-2 bus užbaigtas, ryšio dimensija \chi = 2^{B_0/N} taps kvantine ryšio dimensija, o klasikinė tarpusavio informacija T-3c įrodyme bus pakeista kvantine tarpusavio informacija, taip atkuriant pilną kvantinę RT formulę su bulk korekcijos nariu S_{\text{bulk}}.

§7. Emergentinė tūrinė geometrija iš kodo atstumo

MERA tūrinė geometrija nėra iš anksto egzistuojantis konteineris. Pagal T-3a izomorfizmą ji yra kodeko informacinė metrinė erdvė: glaudinimo atstumų geometrija.

7.1 Kodo atstumas kaip tūrio metrika

Apibrėžkime diskretų sveikąjį kodo atstumą d(z^{(\tau)}, z'^{(\tau)}) tarp dviejų būsenų kaskados sluoksnyje \tau kaip mažiausią disentangler-sukeitimų skaičių, reikalingą joms sujungti tenzorių tinkle.

Esant tinkamai termodinaminei arba kontinuumo ribai (N \to \infty, a \to 0), būtų galima aproksimuoti tūrio metriką g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) tolydžiame erdvinio sluoksnio mastelyje \tau taip:

g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) \propto \lim_{a \to 0} \frac{d\!\left(z_i^{(\tau)},\, z_j^{(\tau)}\right)^2}{d\!\left(z_i^{(0)},\, z_j^{(0)}\right)^2}

Tai yra struktūrinė prielaida, sąlygota kaskados mastelio invariantiškumo ir prielaidos, kad Permutation MERA kontinuumo riboje gali būti tolydžiai aproksimuojama bendrąja MERA — tai dera su žinomais Swingle (2012) ir Nozaki-Ryu-Takayanagi (2012) rezultatais, tačiau nėra garantuota diskrečiai kaskadai su baigtiniu sluoksnių skaičiumi. Taigi, remiantis šiomis kontinuumo ribos konjektūromis, tikimės, kad erdvėlaikio geometrija kreivėtų būtent ten, kur kodo atstumas diverguoja — t. y. kur reikalingas predikcinis dažnis R_\text{req} artėja prie C_\text{max}, strategiškai derėdamas su T-2 pateikiamu greičio–iškraipymo perpildos tapatinimu.

7.2 Ryšys su T-2

T-2 nustatė, kad gravitacinis kreivumas G_{\mu\nu} yra atvaizdavimo entropijos S_{\text{render}} metrinė išvestinė. MERA struktūra dabar nusako mikroskopinę S_{\text{render}} kilmę: tai yra minimalaus pjūvio entropija |\gamma_A| \log \chi, o Einšteino tenzorius G_{\mu\nu} yra šios pjūvio entropijos atsakas į metrikos perturbacijas tūrinėje geometrijoje, kurias sukelia kodo atstumas. Todėl abu priedai yra suderinti: T-2 pateikia makroskopines lauko lygtis; T-3 pateikia mikroskopinę tensorinio tinklo kilmę entropijos funkcionalui, kurį jos ekstremizuoja.

§8. Uždarymo santrauka ir atviri kraštai

T-3 rezultatai — iš dalies išspręsta → sąlygiškai pakelta į aukštesnį lygį (su P-2)

1. T-3a (MERA izomorfizmas). OPT L sluoksnių butelio kaklelio kaskada yra struktūriškai homomorfiška MERA su sluoksnio faktoriumi s ir gyliu L. Įtraukus P-2 priedą (teoremas P-2.0 ir P-2c), tai pakeliama į tenzorių tinklo izomorfizmą QECC apsaugotoje poerdvėje, sąlygiškai nuo lokalaus triukšmo. Pastaba: izomorfizmas taikomas permutacinei MERA (išpainiotojai permutacijų pogrupyje U(\mathbb{C}^\chi)), o ne bendrajai MERA su savavališkais unitariškais išpainiotojais. Šis apribojimas RT rėžio (P-2d) neveikia, tačiau apriboja atitiktį MERA tinklų poklasiui.

2. T-3b (Priežastinio kūgio atitiktis). Informacinis priežastinis kūgis masteliuojasi pagal didumo eilės simetriją su MERA priežastinio kūgio struktūra pasyvaus stebėtojo riboje, nors gylio profiliai skiriasi. Predikcinė Šakų Aibė atitinka nerenormalizuotus ribos duomenis. (P-2 izometrijos rezultatas galioja pasyvaus stebėtojo riboje; nuo veiksmų priklausomi a_{t:t+h-1} nariai Predikcinės Šakų Aibės apibrėžime reikalauja atvirųjų sistemų išplėtimo, kurio P-2 nenagrinėja.)

3. T-3c (Diskretus kvantinis RT). Pradinis DPI pagrįstas įrodymas apribojo tūrį, bet ne ribos entropiją. Pasitelkus P-2c izometriją, teorema P-2d nustato pilną ribos rėžį S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi per MERA būsenos Schmidto rangą.

4. Iškylanti tūrio geometrija. MERA tūrio metrika g_{ij}^{\text{bulk}} indukuojama iš kodo atstumo kaskadoje. Erdvėlaikis išlinksta ten, kur kodo atstumas diverguoja, ir tai dera su T-2 atliekamu G_{\mu\nu} tapatinimu su atvaizdavimo entropijos metriniu išvestiniu. (Vis dar reikalinga kontinuumo riba.)

5. Episteminės kopėčios būsena. 2 pakopa (diskretus kvantinis RT) dabar įrodyta per P-2d. 3 pakopai (pilnam kvantiniam RT su tūrio pataisa) reikia kontinuumo ribos, kuri dar nėra išvesta iš OPT primityvų.

Atviri kraštai, kuriuos įgalina šis uždarymas

• P-2 (Borno taisyklė / Hilberto erdvė) dabar turi tikslų įėjimo tašką: ryšio dimensija \chi turi būti įterpta kaip kvantinės Hilberto erdvės dimensija. Kai ADH klaidų korekcija priverčia loginio kubito struktūrą, klasikinis ryšys \chi = 2^{B_0/N} pakeliamas į kvantinį ryšį su von Neumanno entropija, o diskretus T-3c RT tampa pilnu kvantiniu RT su tūrio pataisa S_{\text{bulk}}.

• P-3 (Asimetrinė holografija): MERA tūrio rekonstrukcija ir Fano nelygybė dabar turi bendrą formalų pagrindą. Fano nelygybė (preprinto §3.10) apriboja stebėtojo gebėjimą rekonstruoti substratą iš atvaizdavimo vidaus — būtent MERA atvaizdžio negrįžtamumą (riba \to tūris yra kodekas; tūrio \to ribos inversija neįmanoma už minimalaus pjūvio gylio \tau^*).

• T-5 (Konstantų atkūrimas): ryšio dimensija \chi = 2^{B_0/N} ir grubinimo faktorius s pateikia naujus bedimensinių konstantų apribojimus. Ypač s = 2 ir L = \log_s(B_0/B_L) turi derėti su Planko mastelio tapatinimu l_{\text{codec}} = l_P iš T-2, taip apribodami santykį B_0/B_L.

• §8.3 preprinto 3 punktas (MERA/priežastinė aibė): formalus Predikcinės Šakų Aibės MERA ribinių sluoksnių susiejimas su priežastinės aibės sistema, siekiant išgauti suvokiamo erdvėlaikio metrines savybes vien iš kodeko sekos. §7 kodo atstumo metrika g_{ij}^{\text{bulk}} yra atspirties taškas.

Šis priedas palaikomas kaip OPT projekto saugyklos dalis greta theoretical_roadmap.pdf. Nuorodos: Vidal (2008) [43], Pastawski et al. (2015) [44], Almheiri-Dong-Harlow (2015) [42], Tishby et al. (1999) [28], Ryu-Takayanagi (2006).