秩序パッチ理論 (OPT)

原課題 T-3: MERAテンソルネットワークと因果円錐 問題: OPTは、逐次的圧縮から成る情報因果円錐を提案しているが、標準的な量子テンソル形式ではなく、独自の幾何学的記述に依拠している。 成果物: OPTの情報因果円錐をMERAテンソルネットワーク構造へ形式的に写像すること。

完了状況: 条件付き同型（構造的ホモモルフィズムは確認済みであり、厳密な物理的同型はP-2を通じて条件付きで格上げされた）。 本付録は、T-3で要求された目標となる構造写像を提示する。三つの定理が強いトポロジカルな類比を確立する。(T-3a) OPTの安定性フィルタの反復的粗視化は、MERAテンソルネットワークと構造的にホモモルフィックである。(T-3b) §3.3の情報因果円錐は、オーダーの大きさにおいてMERA因果円錐に対応する。(T-3c) 予測分岐集合は、くりこみされていない境界自由度へと構造的に写像される。数学的には、この純粋に確率論的な構造ホモモルフィズムを、真の離散的Ryu-Takayanagi境界に必要な厳密なヒルベルト空間の等長写像へと引き上げることは、当初は未解決のままであったが、現在では、問題P-2において順次確立された明示的な計算基底埋め込みおよびIsometry Identificationブリッジ公準を通じて、条件付きで解決されている。

§1. 多層圧縮構造

プレプリントの§3.3では、OPTの観測者は単一のボトルネック最適化（式4）によって定義されている。すなわち、圧縮状態 Z_t \in \{1, \ldots, 2^B\} が、完全な境界状態 X_t から選択され、最小記述長のもとで予測情報を最大化する。だが、§3.3で明示されていないのは、X_{\partial A} から Z_t への経路が、自然に圧縮層のカスケードへと分解されるという点である——各層はそれぞれ、次のスケールでの予測に無関係な短距離相関を捨象する。この階層構造こそが、MERA対応におけるOPT側にあたる。

1.1 L層ボトルネック・カスケード

s \geq 2 を固定された粗視化因子、L を圧縮層の総数とする。カスケードを次のように定義する：

Z_t^{(0)} := X_{\partial_R A} \qquad \text{（層 0：完全なマルコフ境界， } H = B_0 \text{ ビット）}

各後続層 \tau = 0, \ldots, L-1 において：

Z_t^{(\tau+1)} = \operatorname*{arg\,min}_{q} \left[ I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) - \beta_\tau\, I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \right]

\text{制約条件： } I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) \leq B_\tau, \qquad B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}

最終状態は Z_t := Z_t^{(L)} であり、B_L = B_0 \cdot s^{-L} ビットである。このカスケードは次のマルコフ連鎖を定義する：

X_{t+1:\infty} \;-\!\!-\; Z_t^{(0)} \;-\!\!-\; Z_t^{(1)} \;-\!\!-\; \cdots \;-\!\!-\; Z_t^{(L)} = Z_t

データ処理不等式により、予測情報は単調非増加である：

I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \geq I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right)

各層は、当該層のボトルネックの歪み予算 D_\tau によって制御される、一定量の予測情報を失う。

1.2 もつれ解消してから粗視化する分解

各層遷移 Z^{(\tau)} \to Z^{(\tau+1)} は、二つの正準的ステップに分解される。

• もつれ解消: 置換写像 U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} としてモデル化される局所的な可逆再配置を Z^{(\tau)} に適用し、予測分岐集合のうち、未来について予測情報をまったく共有しない、相互に無関係な分岐どうしが隣接位置に来るようにする。この古典的ステップは可逆であり、情報は失われない。

• 粗視化（ボトルネック写像）: 状態を s 個ずつの群に分割し、各群において古典的確率的ボトルネック圧縮写像 W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}) を適用する。結合次元は \chi = 2^{B_0/N} と固定され、ここで N は境界サイト数である。有効な連続スケールではなく、厳密な離散ヒルベルト空間のテンソル次元として形式的に機能させるために、この枠組みはディオファントス条件 2^{B_0/N} \in \mathbb{Z}^+ を厳密に要請する。これにより、厳密な整数次元 \chi が、容量スケジュール B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau} と幾何学的に整合する、サイトごとのエントロピー \log \chi = B_0/N を与えることが明示的に保証される。注: §2 で用いられる量子的な対象構造は、MERA のアイソメトリー w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s}（その随伴 w_\tau^\dagger が粗視化を実装する）ともつれ解消子 u_\tau である。これに対して、§1 の写像 W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}) および U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} は古典的な OPT の対象である。両者を接続する埋め込みは Appendix P-2 で確立される。

各層における合成 W_\tau \circ U_\tau を、\tau = 0, \ldots, L-1 にわたって積み重ねたものが、完全なテンソルネットワークを構成する。以下では、これがまさに MERA であることを示す。

§2. MERA — 形式的定義

Vidal (2008) [43] の関連定義を、OPT への写像に適した形で提示する。

2.1 テンソル

局所ヒルベルト空間 \mathbb{C}^\chi をもつ N 個の境界サイトからなる1次元鎖に対する MERA は、L 層から構成される。各層 \tau には、2種類のテンソルが含まれる。

• Disentanglers u_\tau: 隣接するサイト対に作用するユニタリ・テンソル u_\tau: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2} \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2}。これらは、ヒルベルト空間の全次元を変えることなく、短距離のエンタングルメントを除去する。ユニタリ性: u^\dagger u = u u^\dagger = I。

• Isometries w_\tau: w_\tau^\dagger w_\tau = I_{\mathbb{C}^\chi} を満たすテンソル w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s}（等長写像: この写像は、粗視化された空間から微視的空間への単射である）。随伴写像 w_\tau^\dagger: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} \to \mathbb{C}^\chi は粗視化を実装し、s 個の微視的サイトを1つの粗視的サイトへ写像する。

完全な MERA は、最上層の状態 |\psi_{\text{top}}\rangle \in \mathbb{C}^\chi（バルク）を、各層をバルクから境界へ向かって適用することにより、境界状態 |\psi_{\text{boundary}}\rangle \in (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes N} へ写像する。各層は、そのたびに状態空間を s 倍に拡張する。

2.2 MERAの因果円錐

境界サイト x \in \{1, \ldots, N\} の因果円錐 \mathcal{C}(x) とは、サイト x の縮約密度行列 \rho_x に影響を与えうるネットワーク内テンソルの最小集合である。これはボトムアップ（バルクから境界へ向かう方向）で計算される。

バルク層（境界からの深さ \tau = L）では、\mathcal{C}(x) は単一の最上位テンソルを含む。そこから境界へ向かう各後続層において、因果円錐は各アイソメトリ層で係数 s だけ拡大し、各ディスエンタングラー層では高々 2 倍まで拡大する。上端から測った境界深さ \tau における \mathcal{C}(x) の幅は、次のように与えられる：

w(\tau) = \mathcal{O}(s^\tau) \qquad \text{[バルクから境界へ向かって指数関数的に増大する]}

臨界 MERA（s = 2）では、因果円錐の幅は深さ \tau において 2^\tau として増大し、L 層の後には境界全体の幅 N = s^L に到達する。

2.3 エンタングルメント・エントロピーと最小カット

長さ |A| = l をもつ連結した境界領域 A に対して、MERA 状態におけるエンタングルメント・エントロピー S(A) は、テンソルネットワークのバルクを貫く最小曲面 \gamma_A によって切断されるボンド数によって上から抑えられる：

S(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi

ここで、|\gamma_A| は最小カットに含まれるボンド数であり、\chi はボンド次元である。スケール不変な MERA では、|\gamma_A| \sim \frac{c}{3} \log l となり、c/3 = \log \chi のもとで CFT のエンタングルメント・エントロピー S(A) \sim \frac{c}{3} \log l が再現される。これは、AdS/CFT における Ryu-Takayanagi 公式の離散的アナロジーである。

§3. 定理 T-3a — 構造的ホモモルフィズム

定理 T-3a（MERA–OPT ホモモルフィズム）。境界状態 Z_t^{(0)} = X_{\partial_R A}、バルク状態 Z_t^{(L)} = Z_t、層容量 B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}、およびボンド次元 \chi = 2^{B_0/N} をもつ、OPT の L 層情報ボトルネック・カスケード \{Z_t^{(\tau)},\, \tau = 0, \ldots, L\} は、形式的な古典的写像のもとで、L 層・スケール因子 s・ボンド次元 \chi をもつ MERA の層トポロジーと構造的にホモモルフィックである： - (i) OPT の coarse-graining W_\tau \;\leftrightarrow\; MERA の isometry adjoint w_\tau^\dagger - (ii) OPT の disentangler U_\tau \;\leftrightarrow\; MERA の disentangler u_\tau

3.1 証明 — 等長写像の同定

層 \tau における OPT の粗視化テンソルは、ボトルネック最適化によって生成される条件付き分布 q^*(z^{(\tau+1)} \mid z^{(\tau)}) を通じて計算される。全体の情報予算は平均的な巨視的容量比 B_\tau / B_{\tau+1} = s を課すが、古典的な確率的ボトルネックは、それ自体では厳密に一様なファイバー濃度（すなわち、各 z^{(\tau+1)} 出力に対して、サイズ s に厳密に一致する離散的逆像）をネイティブには強制しない。したがって、この明示的な段階を形式化するには、アーキテクチャを理想化されたタイト写像極限（D \to 0）へと制限し、パラメータが一様な情報構造を完全に分離していることを条件的に仮定する必要がある。

しかし、q^* は古典的な確率的確率行列であって、複素量子ユニタリ行列ではない。真のヒルベルト空間における等長写像条件（W_\tau W_\tau^\dagger = I_{\mathbb{C}^\chi}）を主張することは、カテゴリー錯誤を構成する。真の部分等長写像には、これらの離散状態を \mathbb{C}^\chi 上の計算基底へ明示的に埋め込むことが必要である。Appendix P-2（条件付き量子的対応）は、この埋め込みを確立する。定理 P-2.0 は計算基底の同定を与え、定理 P-2c は、タイト極限における最適ボトルネック写像が、QECC によって保護された部分空間内で部分等長写像として作用することを証明する。P-2 の局所ノイズモデルを条件とするなら、この構造的準同型は、コード空間内において真正のテンソルネットワーク同型へと格上げされる。\blacksquare

3.2 証明 — ディスエンタングラーの同定

純粋に古典的なディスエンタングラー U_\tau は、粗視化の前に群間の冗長性（同値的には相互情報量）を最小化するように Z^{(\tau)} を並べ替える局所的全単射（対称群 S_{|\mathcal{Z}|} に属する状態アルファベットの置換）として確立される。

U_\tau = \operatorname*{arg\,min}_{U \in S_{|\mathcal{Z}|}} \sum_{j \neq k} I\!\left( U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, j} \,;\, U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, k} \right)

これは、粗視化の前に短距離エンタングルメント（隣接群間の相関）を除去するという MERA のディスエンタングラーの構造的目的と一致する。真の複素ユニタリ性 (U^\dagger U = I) は定理 P-2.0（付録 P-2）によって確立される。すなわち、計算基底への埋め込みの下で、置換 U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} は置換表現を通じて U(\mathbb{C}^\chi) におけるユニタリ行列へと一意に持ち上げられる。

留意点（置換 vs. 一般ユニタリ）。定理 P-2.0 は OPT のディスエンタングラーを U(\mathbb{C}^\chi) の置換部分群へと持ち上げるのであって、ユニタリ群全体へ持ち上げるのではない。標準的な MERA のディスエンタングラーは一般ユニタリ u_\tau \in U(\mathbb{C}^\chi \otimes \mathbb{C}^\chi) であるのに対し、置換部分群はその真部分集合である（|S_\chi| = \chi! であるのに対し、\dim U(\chi) = \chi^2 は連続パラメータである）。したがって、P-2.0+P-2c によって確立される同型は permutation MERA へのものであり、制限された部分クラスにとどまる。完全な MERA へ拡張するには、置換ではなく一般ユニタリを生成する OPT ネイティブな機構を同定する必要がある。このギャップは RT エントロピー境界（P-2d）には影響しない。というのも、それはディスエンタングラーのクラスではなく、等長写像条件 P-2c のみに依存するからである。\blacksquare

MERA–OPT同型対応辞書

§4. 定理 T-3b — 因果円錐の同一性

定理 T-3b（因果円錐対応）。T-3a の準同型の下で、OPT の情報因果円錐（プレプリント §3.3）は、MERA の因果円錐に構造的に（オーダーのスケーリングにおいて）対応する。現在のアパーチャ Z_t はバルクの最上位テンソルに写像され、確定した因果記録 \mathcal{R}_t は過去のバルク状態に対応し、予測分岐集合 \mathcal{F}_h(z_t) は、現在から h 層だけ離れた MERA 境界における未くりこみの自由度に対応する。

4.1 対応の向き

向きに関する微妙な点があり、これは正確に述べておかなければならない。MERAでは、ネットワークは境界（UV、微細粒度）からバルク（IR、粗視化）へと走る。OPTでは、情報因果円錐は過去（確定済み・圧縮済み）から現在のアパーチャを通り、未来（予測分岐集合、未解決）へと走る。対応関係は次のとおりである。

4.2 証明 — 因果円錐の幅 = 予測分岐集合の容量

MERA において、バルク状態 Z_t の因果円錐（境界から深さ L にある）は、境界へ向かって移動するにつれて拡大する。頂点から \tau 層の深さでは、この円錐の幅は s^\tau となる。これは、Z_t に独立に影響を与えうる境界サイトの数を数えている。

OPT においては、現在のアパーチャから深さ h 時間ステップにある予測分岐集合 \mathcal{F}_h(z_t) は、最大でも 2^{B \cdot h} 個の識別可能な未来状態を含む（プレプリント式 5: \log|\mathcal{F}_h| \leq Bh）。MERA の層深さは \tau = h に対応する。ここで、指数的な境界と線形な境界との不一致（MERA ではスケール拡張により s^\tau \cdot B/L ビット、予測分岐集合では時間的累積により B \tau）が観察される。因果円錐の幅と OPT の予測分岐集合容量は、オーダーの大きさにおいては頑健に一致するが、厳密な完全一致が得られるのは単一層コーデック（L=1）の極限においてのみである。さらに、MERA の受動的トポロジーを行為依存的な予測分岐集合と同一視することは、われわれがもっぱら受動的観測者極限（a \equiv \text{const}）の内部でのみ操作していることを含意する。\blacksquare

4.3 証明 — 因果記録 = 過去バルク

確定した因果記録 \mathcal{R}_t = (Z_0, Z_1, \ldots, Z_t)（プレプリント §3.3）は、すべての過去の圧縮状態、すなわち、すでに確定した過去としてレンダリングされたバルク状態から成る。MERA において、これらはコーデックの時間ダイナミクス K_\theta（プレプリント式 6）によって結ばれた過去のバルク状態の系列に対応する。\mathcal{R}_t の確定的で低エントロピーな性格は、MERA におけるバルク状態が構成上、低いエンタングルメント・エントロピーをもつという事実に対応している。すなわち、それらはもつれ解消手続きの粗視化された結果である。\blacksquare

§5. 定理 T-3c — 境界UVとしての予測分岐集合と離散Ryu-Takayanagi公式

定理 T-3c（予測分岐集合 = 境界UV；離散RT）

1. 予測分岐集合 \mathcal{F}_h(z_t) は、MERA境界における未繰り込み自由度の集合、すなわち時刻ステップ t + h においてコーデックに適用されたMERAの境界UV層へ、確率論的に写像される。

2. 古典的データ処理限界（バルク・カット境界）：内部バルク最小カット層で正しく評価された予測カット・エントロピーは、明示的に次を満たす： S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \log \chi

3. 離散量子RT拡張（P-2d埋め込みを条件とする）：

\boxed{S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi}

ここで、\gamma_A はMERAバルクにおける最小カット面であり、\chi = 2^{B_0/N} はボンド次元である。この境界はP-2d等長写像を条件として成り立ち、量子的構造が利用できない場合には、(b) の古典的バルク・カット境界へと還元される。

5.1 証明 — 境界UVとしての予測分岐集合

時刻 t+h における MERA の境界UV層は、可能なすべての入力状態 X_{\partial_R A}^{(t+h)} から成る。すなわち、次の h 時間ステップにわたってコーデックによって処理される、粗視化されていない微細な境界状態の全体である。カスケード構造により、これらは現在のアパーチャ Z_t = Z_t^{(L)} から MERA を逆向き（バルクから境界へ）に h 層だけ走らせることで到達可能な状態とちょうど一致する。言い換えれば、Z_t の因果円錐を h ステップにわたって展開することによって得られる状態である。

予測分岐集合 \mathcal{F}_h(z_t) は、プレプリント（§3.3）において次のように定義されている：

\mathcal{F}_h(z_t) := \left\{ z_{t+1:t+h} : p(z_{t+1:t+h} \mid z_t,\, a_{t:t+h-1}) > 0 \right\}

これらはまさに、カスケードを展開方向に確率的に作用させることによって、Z_t から h 個の MERA 層の範囲内で到達可能なバルク状態列である。この同一視には、MERA が両方向で評価されること、すなわち境界 \to バルク（過去の圧縮）およびバルク \to 境界（未来の展開）が必要である。予測分岐集合は明示的に後者の方向に対応しており、§4.1 で適切に述べられている時間反転の同一視のもとで、バルク状態を境界UVへ向けて因果円錐展開した際の厳密な台集合そのものである。 \blacksquare

5.2 証明 — 離散Ryu-Takayanagi対応境界

A と \bar{A} = V \setminus A を境界の二分割とする。\tau^* を、テンソルネットワークにおいて A/\bar{A} 界面がちょうど切断される最小の層（最小カット層）とする。この層では、局所的な相互情報ボトルネック容量は、それらの切断された結合の容量によって厳密にクランプされる：

S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi \qquad (\text{群間バルク境界})

これは、離散Ryu-Takayanagi容量境界をバルク最小カット層において正確に確立するものではあるが、この境界を形式的に上方へ押し上げて外部境界の予測カットエントロピー S_{\text{cut}}(A) = S_{\text{cut}}^{(0)}(A) を制限することは、データ処理不等式（Data Processing Inequality, DPI）を用いては達成できない（DPI は、下方へ圧縮するにつれてエントロピーが単調に減少しなければならず、増加してはならないことを要請するため：S_{\text{cut}}^{(0)} \geq S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}）。

完全な目標である離散RT境界境界（S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi）へ至る正しい道筋は、二分割をまたぐ Schmidt rank を境界づけることを要する——これは、ネットワークが真の線形等長写像によって境界状態を構成しているものとして扱うことを必要とする戦略である。これは現在、Appendix P-2 において確立されている：定理 P-2d は、P-2c の等長写像条件を前提として、最小カットをまたぐ MERA 状態の Schmidt 分解を通じて、離散量子Ryu-Takayanagi公式を証明する。\blacksquare（P-2d の等長写像を条件とする）。

§6. 認識論的梯子 — 古典的RTから量子的RTへ

上記の三つの定理は、古典情報理論レベルにおけるMERA構造を確立する。プレプリント§3.4の認識論的梯子は、各段を上ることができる条件を記述している。

量子RT公式では、古典的な予測カット・エントロピー I(X_A;\, X_{V \setminus A}) を、密度行列 \rho_A のフォン・ノイマン絡み合いエントロピー S_{\text{vN}}(\rho_A) に置き換える必要がある。これは、Z_t の状態空間に対してヒルベルト空間構造を前提とする。この構造の導出――ADH量子誤り訂正の議論（プレプリントP-2）を通じて――は、なお次の形式的段階として残されている。P-2が閉じられれば、ボンド次元 \chi = 2^{B_0/N} は量子的ボンド次元となり、T-3cの証明における古典的相互情報量は量子相互情報量に置き換えられ、バルク補正項 S_{\text{bulk}} を伴う完全な量子RT公式が回復される。

§7. コード距離から創発するバルク幾何

MERAのバルク幾何は、あらかじめ存在する容器ではない。T-3aの同型の下では、それはコーデックの情報計量空間、すなわち圧縮距離の幾何である。

7.1 バルク計量としてのコード距離

カスケードの層 \tau における二つの状態のあいだの離散的整数値のコード距離 d(z^{(\tau)}, z'^{(\tau)}) を、テンソルネットワーク内部でそれらを接続するのに必要な disentangler-swap の最小回数として定義する。

適切な熱力学極限または連続体極限（N \to \infty, a \to 0）のもとでは、連続的な空間層スケール \tau におけるバルク計量 g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) は、次のように近似できる可能性がある。

g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) \propto \lim_{a \to 0} \frac{d\!\left(z_i^{(\tau)},\, z_j^{(\tau)}\right)^2}{d\!\left(z_i^{(0)},\, z_j^{(0)}\right)^2}

これは構造的な予期であり、カスケードのスケール不変性と、Permutation MERA が連続体極限において一般の MERA によって連続的に近似可能であるという仮定を条件としている。これは Swingle (2012) および Nozaki-Ryu-Takayanagi (2012) の既知の結果とは整合的であるが、有限個の層しかもたない離散的カスケードについて保証されるものではない。したがって、これらの連続体極限に関する予想のもとでは、時空幾何はコード距離が発散するまさにその場所で曲率をもつと予想される。すなわち、予測率 R_\text{req} が C_\text{max} に近づく場所であり、これは T-2 におけるレート歪みオーバーフローの同定と戦略的に整合している。

7.2 T-2との接続

T-2では、重力曲率 G_{\mu\nu} がレンダリング・エントロピー S_{\text{render}} の計量微分であることを確立した。ここでMERA構造は、S_{\text{render}} の微視的起源をさらに特定する。すなわち、それは最小カット・エントロピー |\gamma_A| \log \chi であり、アインシュタイン・テンソル G_{\mu\nu} は、コード距離によって誘起されるバルク幾何の計量摂動に対する、このカット・エントロピーの応答である。したがって、この二つの付録は整合的である。T-2は巨視的な場の方程式を与え、T-3はそれらが極値化するエントロピー汎関数の微視的なテンソルネットワーク起源を与える。

§8. 閉鎖要約と未解決の論点

T-3 の成果物 — 部分的解決 → 条件付きで格上げ（P-2 を伴う）

1. T-3a（MERA 同型）。OPT の L 層ボトルネック・カスケードは、層係数 s、深さ L をもつ MERA と構造的に準同型である。付録 P-2（定理 P-2.0 および P-2c）により、これは局所ノイズを条件として、QECC によって保護された部分空間内でのテンソルネットワーク同型へと格上げされる。注： この同型は 置換 MERA（ディスエンタングラーが U(\mathbb{C}^\chi) の置換部分群に属するもの）に対するものであり、任意のユニタリ・ディスエンタングラーをもつ一般の MERA に対するものではない。この制約は RT 境界（P-2d）には影響しないが、対応関係を MERA ネットワークの一部分類に限定する。

2. T-3b（因果円錐対応）。情報因果円錐は、受動的観測者極限の内部で、MERA の因果円錐構造に対してオーダー・オブ・マグニチュードの対称性をもってスケールするが、深さプロファイルは異なる。予測分岐集合は、くりこみされていない境界データに対応する。（P-2 の等長写像結果は受動的観測者極限の内部で適用されるが、予測分岐集合の定義に含まれる行為依存の a_{t:t+h-1} 項は、P-2 では扱われていない開放系拡張を必要とする。）

3. T-3c（離散量子 RT）。元の DPI ベースの証明はバルクを境界づけたが、境界エントロピーは境界づけていなかった。P-2c の等長写像により、定理 P-2d は MERA 状態のシュミット階数を通じて、完全な境界境界 S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi を確立する。

4. 創発するバルク幾何。MERA バルク計量 g_{ij}^{\text{bulk}} は、カスケードにおけるコード距離から誘導される。コード距離が発散するところで時空は曲がり、これは T-2 における G_{\mu\nu} をレンダリング・エントロピーの計量微分として同定する議論と整合的である。（連続体極限はなお必要である。）

5. 認識論的ラダーの状況。段階 2（離散量子 RT）は、P-2d によっていまや証明された。段階 3（バルク補正を伴う完全量子 RT）には、OPT の基本要素からはいまだ導出されていない連続体極限が必要である。

この閉鎖によって可能になった未解決の論点

• P-2（ボルン則 / ヒルベルト空間） は、いまやその正確な導入点を得た。すなわち、結合次元 \chi は量子ヒルベルト空間の次元として埋め込まれなければならない。ADH 誤り訂正が論理量子ビット構造を強制すると、古典的結合 \chi = 2^{B_0/N} はフォン・ノイマン・エントロピーを備えた量子的結合へと格上げされ、T-3c の離散 RT はバルク補正 S_{\text{bulk}} を伴う完全量子 RT となる。

• P-3（非対称ホログラフィー）: MERA バルク再構成とファノの不等式は、いまや共通の形式的な居場所をもつ。ファノの不等式（プレプリント §3.10）は、観測者がレンダリングの内部から基層を再構成する能力を境界づける——これはまさに MERA 写像の不可逆性である（境界 \to バルクはコーデックであり、バルク \to 境界の反転は最小カット深さ \tau^* を超えると不可能である）。

• T-5（定数の回復）: 結合次元 \chi = 2^{B_0/N} と粗視化係数 s は、無次元定数に対する新たな制約を与える。とりわけ、s = 2 および L = \log_s(B_0/B_L) は、T-2 におけるプランク・スケール同定 l_{\text{codec}} = l_P と整合的でなければならず、これによって比 B_0/B_L が制約される。

• プレプリント §8.3 項目 3（MERA/因果集合）: 予測分岐集合の MERA 境界層を因果集合フレームワークへ形式的に写像し、知覚された時空の計量的性質をコーデックの系列化だけから抽出すること。§7 のコード距離計量 g_{ij}^{\text{bulk}} がその出発点である。

本付録は theoretical_roadmap.pdf と並んで OPT プロジェクト・リポジトリの一部として維持されている。参考文献：Vidal (2008) [43], Pastawski et al. (2015) [44], Almheiri-Dong-Harlow (2015) [42], Tishby et al. (1999) [28], Ryu-Takayanagi (2006).