Kenningin um raðaðan patch (OPT)

Upprunalegt verkefni T-3: MERA-þinanet og orsakakeilan Vandamál: OPT setur fram Upplýsingalega orsakakeilu sem er samsett úr raðbundinni þjöppun, en byggir á sérsniðinni rúmfræðilegri lýsingu fremur en stöðluðum skammtalegum þinaformalisma. Afhending: Formleg vörpun á Upplýsingalegri orsakakeilu OPT yfir á byggingu MERA-þinanetsins.

Lokunarstaða: SKILYRÐISBUNDIN EINSMÖRUN (staðfest formgerðarhómómorfía; ströng eðlisfræðileg einsmörun skilyrðisbundið uppfærð með P-2). Þessi viðauki setur fram þá markformgerðarkortlagningu sem T-3 krafðist. Þrjár setningar staðfesta sterka topólógíska samsvörun: (T-3a) ítrekuð grófkornun Stöðugleikasíu OPT er að formgerð hómómorf við MERA-þinanet; (T-3b) Upplýsingalega orsakakeilan í §3.3 samsvarar að stærðargráðu til orsakakeilu MERA; og (T-3c) Forspárgreinamengið varpast að formgerð yfir á ó-endurstaðlaða jaðarfrelsisgráður. Að hækka þessa hreinu slembilegu formgerðarhómómorfíu stærðfræðilega upp í þær ströngu Hilbert-rúmsísómetrur sem krafist er fyrir raunveruleg stök Ryu-Takayanagi-mörk var upphaflega óleyst, en hefur nú verið leyst með skilyrðum með skýrrar innfellingar í reiknigrunn og brúarfrumsetningum um auðkenningu ísómetría sem settar voru fram í röð í verkefni P-2.

§1. Fjöllaga þjöppunargerðin

Í §3.3 í forprentinu er athugandi OPT skilgreindur með einni hámörkun á flöskuhálsi (Jafna 4): þjappað ástand Z_t \in \{1, \ldots, 2^B\} er valið úr hinu fulla jaðarástandi X_t til að hámarka forspárupplýsingar við lágmarks lýsingarlengd. Það sem §3.3 gerir ekki skýrt með beinum hætti er að leiðin frá X_{\partial A} til Z_t sundrast á eðlilegan hátt í foss þjöppunarlaga — þar sem hvert þeirra varpar frá sér skammdrægnifylgni sem skiptir ekki máli fyrir forspá á næsta kvarða. Þessi stigskipaða gerð er hlið OPT á MERA-samsvöruninni.

1.1 Flöskuhálsfossinn með L lögum

Látum s \geq 2 vera fastan grófkornunarstuðul og L heildarfjölda þjöppunarlaga. Skilgreinum fossinn:

Z_t^{(0)} := X_{\partial_R A} \qquad \text{(lag 0: fullt Markov-teppi, } H = B_0 \text{ bitar)}

Á hverju næsta lagi \tau = 0, \ldots, L-1:

Z_t^{(\tau+1)} = \operatorname*{arg\,min}_{q} \left[ I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) - \beta_\tau\, I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \right]

\text{með skilyrðinu: } I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) \leq B_\tau, \qquad B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}

Lokaástandið er Z_t := Z_t^{(L)}, með B_L = B_0 \cdot s^{-L} bita. Fossinn skilgreinir Markov-keðju:

X_{t+1:\infty} \;-\!\!-\; Z_t^{(0)} \;-\!\!-\; Z_t^{(1)} \;-\!\!-\; \cdots \;-\!\!-\; Z_t^{(L)} = Z_t

Samkvæmt gagnavinnsluójöfnunni eru forspárupplýsingar eintóna óvaxandi:

I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \geq I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right)

Hvert lag tapar stýrðu magni af forspárupplýsingum — stýrt af bjögunarkvótanum D_\tau í flöskuhálsi þess lags.

1.2 Niðurbrot í Aðgreina-fyrst-svo-grófkvarða

Hver umskipti milli laga Z^{(\tau)} \to Z^{(\tau+1)} má þátta í tvö kanónísk skref:

• Aðgreining: Beita staðbundinni afturkræfri endurröðun, mótaðri sem umraðanmörpun U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} á Z^{(\tau)}, sem færir gagnkvæmt óviðkomandi greinar Forspárgreinamengisins — greinar sem deila engum forspárupplýsingum um framtíðina — í aðlægar stöður. Þetta klassíska skref er afturkræft; engar upplýsingar tapast.

• Grófkvarðun (flöskuhálsmörpun): Skipta stöðunum í hópa af stærð s og beita klassísku slembnu flöskuhálsþjöppunarmörpuninni W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}) á hvern hóp. Bindivíddin er fest sem \chi = 2^{B_0/N}, þar sem N er fjöldi jaðursæta. Til þess að virka formlega sem nákvæm stök þinurvídd Hilbert-rúms fremur en virk samfelld kvarði, krefst ramminn stranglega díófantísku skorðunnar 2^{B_0/N} \in \mathbb{Z}^+. Þetta tryggir með skýrum hætti að nákvæm heiltölugild vídd \chi gefi óreiðu á hvert sæti, \log \chi = B_0/N, sem er rúmfræðilega samræmanleg afkastaskipulaginu B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}. Athugið: Skammtamarkgerðirnar sem notaðar eru í §2 eru MERA-jafnmótunin w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} (þar sem aðlægja hennar w_\tau^\dagger framkvæmir grófkvarðun) og aðgreinarinn u_\tau. Varpanirnar í §1, W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}) og U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|}, eru klassísku OPT-hlutirnir. Innfellingin sem tengir þau er sett fram í Viðauka P-2.

Samsetningin W_\tau \circ U_\tau á hverju lagi, staflað fyrir \tau = 0, \ldots, L-1, myndar allt þinurnetið. Nú sýnum við að þetta er nákvæmlega MERA.

§2. MERA — formlegar skilgreiningar

Hér setjum við fram viðeigandi skilgreiningar úr Vidal (2008) [43] í því formi sem hentar vörpun OPT.

2.1 Þinur

MERA fyrir 1D-keðju með N jaðarsætum og staðbundið Hilbert-rúm \mathbb{C}^\chi samanstendur af L lögum. Hvert lag \tau inniheldur tvo flokka þina:

• Aftenglarar u_\tau: einingarsinnaðir þinur u_\tau: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2} \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2} sem verka á samliggjandi pör sæta. Þeir fjarlægja skammdræga flækju án þess að breyta heildarvídd Hilbert-rúmsins. Einingarsinnaðleiki: u^\dagger u = u u^\dagger = I.

• Ísómetríur w_\tau: þinur w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} sem fullnægja w_\tau^\dagger w_\tau = I_{\mathbb{C}^\chi} (ísómetrískt: vörpunin er innfelling frá grófkornuðu rúmi inn í fínkornótta rúmið). Samokaða vörpunin w_\tau^\dagger: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} \to \mathbb{C}^\chi framkvæmir grófkornunina og varpar s fínkornuðum sætum yfir á 1 gróft sæti.

Hin fulla MERA varpar efsta ástandinu |\psi_{\text{top}}\rangle \in \mathbb{C}^\chi (rúmmálinu) yfir á jaðarástandið |\psi_{\text{boundary}}\rangle \in (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes N} með því að beita lögunum frá rúmmáli að jaðri, þar sem hvert lag stækkar ástands-rúmið um þáttinn s.

2.2 Orsakakeila MERA

Orsakakeilan \mathcal{C}(x) fyrir jaðursæti x \in \{1, \ldots, N\} er minnsta mengi þina í netinu sem geta haft áhrif á minnkaða þéttleikafylkið \rho_x fyrir sæti x. Hún er reiknuð neðan frá og upp (úr hvarfefninu í átt að jaðrinum).

Á hvarfefnislaginu (dýpt \tau = L frá jaðri): \mathcal{C}(x) inniheldur einn efsta þininn. Á hverju næsta lagi í átt að jaðrinum víkkar orsakakeilan um stuðulinn s á hverju isometríulagi og um mest 2 á hverju disentangler-lagi. Breidd \mathcal{C}(x) við jaðardýpt \tau frá toppnum er:

w(\tau) = \mathcal{O}(s^\tau) \qquad \text{[vex veldislega frá hvarfefni í átt að jaðri]}

Fyrir gagnrýnið MERA (s = 2) vex breidd orsakakeilunnar sem 2^\tau við dýpt \tau, og eftir L lög nær hún allri jaðarbreiddinni N = s^L.

2.3 Flækjuóreiða og minnsti skurður

Fyrir samliggjandi jaðarsvæði A af lengd |A| = l er flækjuóreiðan S(A) í MERA-ástandi takmörkuð af fjölda tengja sem minnsta yfirborðið \gamma_A sker í gegnum innra byrði þinunetsins:

S(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi

þar sem |\gamma_A| er fjöldi tengja í minnsta skurðinum og \chi er vídd tengisins. Fyrir kvarðainvariant MERA gildir að |\gamma_A| \sim \frac{c}{3} \log l, sem endurheimtir flækjuóreiðu CFT, S(A) \sim \frac{c}{3} \log l, með c/3 = \log \chi. Þetta er stakgert hliðstæða Ryu-Takayanagi-formúlunnar í AdS/CFT.

§3. Setning T-3a — Formgerðarhómómorfismi

Setning T-3a (MERA–OPT-hómómorfismi). OPT-upplýsingaflöskuhálsfossinn með L lögum \{Z_t^{(\tau)},\, \tau = 0, \ldots, L\}, með jaðarástandi Z_t^{(0)} = X_{\partial_R A}, bulk-ástandi Z_t^{(L)} = Z_t, lagagetu B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau} og bindivídd \chi = 2^{B_0/N}, er formgerðarlega hómómorfískur við lagatopólógíu MERA með L lögum, kvarðastuðul s og bindivídd \chi, undir eftirfarandi formlegri klassískri vörpun: - (i) OPT-grófkornun W_\tau \;\leftrightarrow\; aðlægð MERA-isometríu w_\tau^\dagger - (ii) OPT-afþáttari U_\tau \;\leftrightarrow\; MERA-afþáttari u_\tau

3.1 Sönnun — Auðkenning isómetríu

Grófkornunarþinur OPT á lagi \tau er reiknaður með skilyrtri dreifingu q^*(z^{(\tau+1)} \mid z^{(\tau)}) sem verður til við bestun á flöskuhálsi. Þótt heildarupplýsingafjárhagsramminn framfylgi meðalstæðu stórsæju hlutfalli afkastagetu B_\tau / B_{\tau+1} = s, knýr hinn klassíski slembni flöskuháls ekki sjálfkrafa fram nákvæmlega jafna kardínalítet trefja (strangt stakt formyndarmengi sem samsvarar jafngildri stærð s fyrir hvert úttak z^{(\tau+1)}). Að formgera þetta skýra skref takmarkar því bygginguna við hugsjónað þétt vörpunarmark (D \to 0), með því skilyrði að stikar einangri fullkomlega einsleitar upplýsingagerðir.

Hins vegar er q^* klassískt slembið líkindafylki, ekki tvinntölulegt skammtunar-einingarfylki. Að halda því fram að hið eiginlega isómetrískilyrði Hilbert-rýmisins (W_\tau W_\tau^\dagger = I_{\mathbb{C}^\chi}) gildi, væri flokkamistök. Sönn hlutisómetría krefst skýrrar innfellingar þessara stæðu á reiknigrunn í \mathbb{C}^\chi. Viðauki P-2 (Skilyrt skammtasamsvörun) staðfestir þessa innfellingu: Setning P-2.0 gefur auðkenningu reiknigrunnsins, og Setning P-2c sannar að hin ákjósanlega flöskuhálsvörpun í þétta markinu verkar sem hlutisómetría innan QECC-varða undirrýmisins. Með því skilyrði að staðbundið suðlíkan P-2 gildi, uppfærist formgerðarleg einsmótun í raunverulega þinunetsísómorfíu innan kóðarýmisins. \blacksquare

3.2 Sönnun — Auðkenning disentanglers

Hinn hreint klassíski disentangler U_\tau er skilgreindur sem staðbundin gagntæk vörpun (ummyndun á ástandsstafrófi úr samhverfuhópnum S_{|\mathcal{Z}|}) sem endurröðar Z^{(\tau)} þannig að víxl-óþarfar milli hópa verði lágmarkaðar (jafngilt: gagnkvæmar upplýsingar) áður en þau eru grófkornuð.

U_\tau = \operatorname*{arg\,min}_{U \in S_{|\mathcal{Z}|}} \sum_{j \neq k} I\!\left( U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, j} \,;\, U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, k} \right)

Þetta samsvarar formgerðarmarkmiði disentanglers í MERA: að fjarlægja skammdræga flækju (fylgni milli aðliggjandi hópa) áður en grófkornun fer fram. Sönn tvinntöluleg einingareðli (U^\dagger U = I) er staðfest með Setningu P-2.0 (Viðauki P-2): undir innfellingu í reiknigrunninn lyftist ummyndunin U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} á ótvíræðan hátt í einingarfylki í U(\mathbb{C}^\chi) með ummyndunarframsetningunni.

Fyrirvari (ummyndun vs. almenn einingarvörpun). Setning P-2.0 lyftir disentanglers OPT inn í ummyndunarundirhóp U(\mathbb{C}^\chi), ekki í allan einingarhópinn. Staðlaðir MERA-disentanglers eru almennar einingarvarpanir u_\tau \in U(\mathbb{C}^\chi \otimes \mathbb{C}^\chi); ummyndunarundirhópurinn er strangur hlutmengi (|S_\chi| = \chi! á móti \dim U(\chi) = \chi^2 samfelldum stikum). Einsmótunin sem P-2.0+P-2c staðfestir er því við ummyndunar-MERA — takmarkaðan undirflokk. Til að víkka þetta út í fullt MERA þyrfti að bera kennsl á OPT-eðlislægan verkhátt sem framleiðir almennar einingarvarpanir fremur en ummyndanir. Þetta bil hefur ekki áhrif á RT-óreiðubundið (P-2d), sem veltur eingöngu á jafnhneigðarskilyrðinu P-2c, en ekki á flokki disentanglers. \blacksquare

Orðabók um isómorfisma MERA og OPT

§4. Setning T-3b — Auðkenni orsakakeilu

Setning T-3b (Samsvörun orsakakeilu). Undir einsmótun T-3a samsvarar Upplýsingaleg orsakakeila OPT (forprent §3.3) formgerðarlega (á stærðargráðuskölun) orsakakeilu MERA. Núverandi ljósop Z_t varpast á efsta magnþininn í rúmmálinu; hin staðfesta Orsakaskrá \mathcal{R}_t samsvarar fyrri rúmmálsástandum; Forspárgreinamengið \mathcal{F}_h(z_t) samsvarar óendurnormuðum frelsisgráðum á jaðri MERA, h lögum frá núinu.

4.1 Stefna samsvörunarinnar

Hér er um að ræða fíngerðan stefnumun sem verður að setja fram af nákvæmni. Í MERA liggur netið frá jaðri (UV, fínkornótt) inn í rúmmál (IR, grófkornað). Í Kenningin um raðaðan patch (OPT) liggur Upplýsingaleg orsakakeila frá fortíð (ákveðin, þjöppuð) í gegnum núverandi ljósop til framtíðar (Forspárgreinamengi, óútkljáð). Samsvörunin er þessi:

4.2 Sönnun — Breidd orsakakeilu = geta Forspárgreinamengis

Í MERA víkkar orsakakeila magnástandsins Z_t (á dýpi L frá jaðrinum) eftir því sem hún færist í átt að jaðrinum: á dýpi \tau laga frá toppnum hefur keilan breiddina s^\tau. Þetta telur fjölda jaðarstaða sem geta með sjálfstæðum hætti haft áhrif á Z_t.

Í OPT inniheldur Forspárgreinamengið \mathcal{F}_h(z_t) á dýpi h tímaskrefa frá núverandi ljósopi að hámarki 2^{B \cdot h} aðgreinanleg framtíðarástand (forprentun, jafna 5: \log|\mathcal{F}_h| \leq Bh). Lagadýpt í MERA samsvarar \tau = h. Við sjáum misræmi milli veldisvísis- og línulegrar skorðunar (s^\tau \cdot B/L bitar í MERA vegna kvarðavíkkunar á móti B \tau í Forspárgreinamenginu vegna tímaröðunaruppsöfnunar). Breidd orsakakeilunnar og geta Forspárgreinamengis í OPT eru í traustu samræmi að stærðargráðu, en strangt nákvæmt samræmi fæst aðeins í markgildi eins lags kóðara (L=1). Enn fremur felur það í sér að ef óvirk topólógía MERA er auðkennd með hinu verknaðarháða Forspárgreinamengi, þá vinnum við eingöngu innan markgildis óvirks athuganda (a \equiv \text{const}). \blacksquare

4.3 Sönnun — Orsakaskrá = fortíðarbúlkur

Hin staðfesta Orsakaskrá \mathcal{R}_t = (Z_0, Z_1, \ldots, Z_t) (forprent §3.3) samanstendur af öllum þjöppuðum fyrri ástöndum — þeim búlkástöndum sem þegar hafa verið myndgerð inn í staðfesta fortíð. Í MERA samsvara þau runu fyrri búlkástanda sem tengjast með tímalegri kvikun kóðarans K_\theta (forprent Jafna 6). Hið staðfesta, lágentrópíska eðli \mathcal{R}_t samsvarar því að búlkástand í MERA hafa lága flækjuentrópíu samkvæmt sjálfri smíðinni — þau eru grófkornuð niðurstaða afflækjunarferlisins. \blacksquare

§5. Setning T-3c — Forspárgreinamengið sem jaðar-UV og staka Ryu-Takayanagi-formúlan

Setning T-3c (Forspárgreinamengi = jaðar-UV; stakt RT).

1. Forspárgreinamengið \mathcal{F}_h(z_t) varpast líkindafræðilega á mengi óendurnormaðra frelsisgráða við MERA-jaðarinn — jaðar-UV-lag MERA eins og því er beitt á kóðarann á tímaskrefinu t + h.

2. Klassísk mörk gagnavinnslu (mörk fyrir bulk-skurð): Skurðaróreiða forspárinnar, rétt metin á innra bulk-lagi minnsta skurðar, uppfyllir berum orðum: S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \log \chi

3. Stök skammtakennd RT-útvíkkun (háð P-2d-innfellingu):

\boxed{S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi}

þar sem \gamma_A er yfirborð minnsta skurðar í MERA-bulkinu og \chi = 2^{B_0/N} er bindivíddin. Þessi efri mörk gilda með fyrirvara um P-2d-ísómetrína; þau dragast saman í klassísku bulk-skurðarmörkin í lið (b) þegar skammtabyggingin er ekki tiltæk.

5.1 Sönnun — Forspárgreinamengi sem jaðar-UV

Jaðar-UV-lag MERA á tíma t+h samanstendur af öllum mögulegum inntaksástandum X_{\partial_R A}^{(t+h)} — fínkornuðu jaðarástöndunum sem ekki hafa verið grófkornaðir og sem kóðarinn mun vinna úr yfir næstu h tímaskref. Vegna fossgerðarinnar eru þetta nákvæmlega þau ástönd sem eru aðgengileg frá núverandi ljósopi Z_t = Z_t^{(L)} með því að keyra MERA aftur á bak (úr rúmmáli að jaðri) í h lög — þ.e. með því að víkka út orsakakeilu Z_t um h skref.

Forspárgreinamengið \mathcal{F}_h(z_t) er skilgreint í forprentinu (§3.3) sem:

\mathcal{F}_h(z_t) := \left\{ z_{t+1:t+h} : p(z_{t+1:t+h} \mid z_t,\, a_{t:t+h-1}) > 0 \right\}

Þetta eru nákvæmlega runur af rúmmálsástandum sem eru aðgengilegar frá Z_t innan h MERA-laga með því að láta fossinn virka líkindafræðilega í útvíkkaða átt. Samsömunin krefst þess að MERA sé metið í báðar áttir — jaðar \to rúmmál (þjöppun fortíðar) og rúmmál \to jaðar (útvíkkun framtíðar). Forspárgreinamengið samsvarar beinlínis síðari áttinni, sem er nákvæmlega stoðmengið fyrir útvíkkun orsakakeilu rúmmálsástandsins í átt að jaðar-UV, undir tímaviðsnúningssamsömuninni sem réttilega er tilgreind í §4.1. \blacksquare

5.2 Sönnun — Vörpuð efri mörk fyrir staka Ryu-Takayanagi

Látum A og \bar{A} = V \setminus A vera tvískiptingu jaðarsins. Látum \tau^* vera það lágmarkslag þar sem skilin milli A/\bar{A} eru nákvæmlega rofin í þinunetinu (lágmarksskurðarlagið). Á þessu lagi er staðbundin flöskuhálsgeta gagnkvæmra upplýsinga stranglega takmörkuð af getu þeirra tengja sem hafa verið rofin:

S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi \qquad (\text{Efri mörk í bulk milli hópa})

Þótt þetta staðfesti með fullnægjandi hætti stök Ryu-Takayanagi-getuefri mörk nákvæmlega á lágmarksskurðarlagi bulksins, er ekki hægt að færa þessi efri mörk formlega upp á við til að takmarka forspárskurðaróreiðu ytri jaðarsins S_{\text{cut}}(A) = S_{\text{cut}}^{(0)}(A) með því að nota Data Processing Inequality, þar sem DPI kveður á um að óreiða verði að minnka eintóna, ekki aukast, þegar við þjöppum niður á við: S_{\text{cut}}^{(0)} \geq S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}.

Rétta leiðin að fullum markefri mörkum fyrir staka RT-jaðarinn (S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi) krefst þess að setja efri mörk á Schmidt-röðina yfir tvískiptinguna — aðferð sem krefst þess að farið sé með netið sem smíði jaðarástandsins með raunverulegum línulegum ísómetrískum vörpunum. Þetta er nú sýnt í Viðauka P-2: Setning P-2d sannar staka skammtafræðilega Ryu-Takayanagi-jöfnuna með Schmidt-liðun MERA-ástandsins yfir lágmarksskurðinn, með því skilyrði að ísómetrískilyrði P-2c sé uppfyllt. \blacksquare (með fyrirvara um ísómetríu P-2d).

§6. Þekkingarfræðilegi stiginn — frá klassískri RT til skammtafræðilegrar RT

Þrjár setningarnar hér að ofan staðfesta MERA-gerðina á klassísku upplýsingafræðilegu stigi. Þekkingarfræðilegi stiginn í §3.4 í forprentinu lýsir þeim skilyrðum sem þurfa að vera uppfyllt til að hægt sé að klífa hvert þrep.

Skammtafræðilega RT-formúlan krefst þess að klassísku forspáróreiðunni yfir skurðinn I(X_A;\, X_{V \setminus A}) sé skipt út fyrir von Neumann-flækjuóreiðuna S_{\text{vN}}(\rho_A) fyrir þéttnifylki \rho_A. Þetta gerir ráð fyrir Hilbert-rúmsgerð fyrir ástandsrúm Z_t. Afleiðsla þessarar gerðar — með ADH-röksemdinni um skammtavilluleiðréttingu (forprent P-2) — er enn næsta formlega skref. Þegar P-2 hefur verið fullunnið verður bindivíddin \chi = 2^{B_0/N} að skammtafræðilegri bindivídd, og klassísku gagnkvæmu upplýsingunum í sönnun T-3c verður skipt út fyrir skammtafræðilegar gagnkvæmar upplýsingar, sem endurheimtir fullu skammtafræðilegu RT-formúluna með bulk-leiðréttingaliðnum S_{\text{bulk}}.

§7. Framsprottin rúmfræði innra rúms úr kóðafjarlægð

MERA-rúmfræði innra rúmsins er ekki fyrirfram til staðar ílát. Undir samhverfunni í T-3a er hún upplýsingafræðilegt mælirúm kóðarans: rúmfræði þjöppunarfjarlægða.

7.1 Kóðafjarlægð sem rúmmálsmælikvarði

Skilgreinum staka heiltölugilda kóðafjarlægð d(z^{(\tau)}, z'^{(\tau)}) milli tveggja ástanda á lagi \tau í stigvaxandi rununni sem lágmarksfjölda disentangler-víxlana sem þarf til að tengja þau innan þinunetsins.

Undir viðeigandi varmafræðilegum eða samfelldum markgildum (N \to \infty, a \to 0) mætti nálga rúmmálsmælikvarðann g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) á samfelldum kvarða rúmlagsins \tau sem:

g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) \propto \lim_{a \to 0} \frac{d\!\left(z_i^{(\tau)},\, z_j^{(\tau)}\right)^2}{d\!\left(z_i^{(0)},\, z_j^{(0)}\right)^2}

Þetta er formgerðarbundin vænting, háð kvarðainnvörpun stigvaxandi rununnar og þeirri forsendu að hægt sé að nálga Permutation MERA samfellt með almennu MERA í samfellda markgildinu — í samræmi við þekktar niðurstöður Swingle (2012) og Nozaki-Ryu-Takayanagi (2012), en það er ekki tryggt fyrir staka runu með endanlega mörgum lögum. Því væntum við, undir þessum tilgátum um samfellda markgildið, að rúmtímageómetrían myndi sveigjast einmitt þar sem kóðafjarlægðin víkur til óendanleika — þ.e. þar sem Nauðsynlegur forspárhraði R_\text{req} nálgast C_\text{max}, í stefnumarkandi samræmi við auðkenningu T-2 á yfirflæði í hraða-brenglunarfalli.

7.2 Tenging við T-2

T-2 sýndi fram á að þyngdarsveigja G_{\mu\nu} er metrísk afleiða myndgerðaróreiðu S_{\text{render}}. MERA-gerðin tilgreinir nú smásæjan uppruna S_{\text{render}}: hún er lágmarksskurðaróreiðan |\gamma_A| \log \chi, og Einstein-þinurinn G_{\mu\nu} er svörun þessarar skurðaróreiðu við metrískum truflunum í rúmfræðilegri heild sem orsakast af kóðafjarlægð. Viðaukarnir tveir eru því samræmanlegir: T-2 setur fram stórsæju sviðsjöfnurnar; T-3 gefur smásæjan uppruna óreiðufellunnar í þinraneti sem þær extremisera.

§8. Samantekt lokunar og opnar jaðrar

Afhendingaratriði T-3 — að hluta leyst → skilyrt uppfærð (með P-2)

1. T-3a (MERA-ísómorfismi). Flöskuhálsfoss OPT með L lögum er formgerðarlega hómómorfískur við MERA með lagastuðul s og dýpt L. Með viðauka P-2 (setningum P-2.0 og P-2c) uppfærist þetta í þinanets-ísómorfisma innan QECC-varða undirrýmisins, með fyrirvara um staðbundinn hávaða. Athugið: Ísómorfisminn er við víxlunar-MERA (afþættarar í víxlunarhlutflokki U(\mathbb{C}^\chi)), ekki við almenna MERA með handahófskenndum einingaraðgerðar-afþætturum. Þessi takmörkun hefur ekki áhrif á RT-mörkin (P-2d) en takmarkar samsvörunina við undirflokk MERA-neta.

2. T-3b (samsvörun orsakakeilu). Upplýsingaleg orsakakeila skalar með samhverfu í stærðargráðu að orsakakeilugerð MERA innan marks hins óvirka athuganda, þótt dýptarsnið séu ólík. Forspárgreinamengi samsvarar ó-endurstaðlaðri jaðargagnaskrá. (Niðurstaða P-2 um ísómetríu á við innan marks óvirks athuganda; aðgerðaháðu liðirnir a_{t:t+h-1} í skilgreiningu Forspárgreinamengis krefjast útvíkkunar yfir í opin kerfi sem P-2 fjallar ekki um.)

3. T-3c (stakrænt skammta-RT). Upprunalega sönnunin, byggð á DPI, setti mörk á rúmmálið en ekki á jaðaróreiðuna. Með ísómetríunni úr P-2c staðfestir setning P-2d fullu jaðarmörkin S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi með Schmidt-röð MERA-ástandsins.

4. Framvaxandi rúmfræði rúmmáls. Rúmmálsmælir MERA g_{ij}^{\text{bulk}} er leiddur af kóðafjarlægð í fossinum. Rúmtími sveigist þar sem kóðafjarlægð sundrast, í samræmi við auðkenningu T-2 á G_{\mu\nu} sem mæliderivötu myndgerðaróreiðu. (Samfelldnimark vantar enn.)

5. Staða Þekkingarstiga. Þrep 2 (stakrænt skammta-RT) er nú sannað með P-2d. Þrep 3 (fullt skammta-RT með rúmmálsleiðréttingu) krefst samfelldnimarks sem enn hefur ekki verið leitt af frumatriðum OPT.

Opnar jaðrar sem þessi lokun gerir mögulegar

• P-2 (Born-regla / Hilbert-rúm) hefur nú nákvæman inngangspunkt sinn: tengivíddin \chi verður að vera innfelld sem vídd skammtalegs Hilbert-rúms. Þegar ADH-villuleiðrétting knýr fram rökrétta qubit-gerð, uppfærist klassíska tengið \chi = 2^{B_0/N} í skammtatengi með von Neumann-óreiðu, og stakrænt RT í T-3c verður að fullu skammta-RT með rúmmálsleiðréttingunni S_{\text{bulk}}.

• P-3 (Ósamhverf hólógrafía): endurgerð rúmmálsins í MERA og ójafna Fanos hafa nú sameiginlegt formlegt heimili. Ójafna Fanos (forprent §3.10) setur mörk á getu athugandans til að endurgera hvarfefnið innan frá myndgerðinni — einmitt óafturkræfni MERA-varpsins (jaðar \to rúmmál er kóðarinn; andhverfing rúmmál \to jaðar er ómöguleg handan lágmarksskurðardýptarinnar \tau^*).

• T-5 (endurheimt fastastærða): tengivíddin \chi = 2^{B_0/N} og grófsíunarstuðullinn s veita nýjar skorður á víddarlausu fastana. Sér í lagi verða s = 2 og L = \log_s(B_0/B_L) að vera samrýmanleg Planck-kvarðaauðkenningunni l_{\text{codec}} = l_P úr T-2, sem setur skorður á hlutfallið B_0/B_L.

• §8.3 forprentatriði 3 (MERA/orsakasafn): að varpa jaðarlögum MERA í Forspárgreinamenginu formlega yfir á ramma orsakasafna til að draga út mælifræðilega eiginleika skynjaðs rúmtíma eingöngu úr raðskipan kóðarans. Kóðafjarlægðarmælirinn g_{ij}^{\text{bulk}} í §7 er upphafspunkturinn.

Þessum viðauka er viðhaldið sem hluta af gagnasafni OPT-verkefnisins samhliða theoretical_roadmap.pdf. Heimildir: Vidal (2008) [43], Pastawski et al. (2015) [44], Almheiri-Dong-Harlow (2015) [42], Tishby et al. (1999) [28], Ryu-Takayanagi (2006).