A rendezett patch elmélete (OPT)

Eredeti T-3 feladat: MERA tenzorhálózatok és az oksági kúp Probléma: Az OPT egy szekvenciális tömörítésből felépülő Információs oksági kúpot javasol, de egy egyedi geometriai leírásra támaszkodik a standard kvantumtenzor-formalizmusok helyett. Eredmény: Az OPT Információs oksági kúpjának formális leképezése a MERA tenzorhálózati struktúrára.

Lezárási státusz: FELTÉTELES IZOMORFIZMUS (a strukturális homomorfizmus igazolt; a szigorú fizikai izomorfizmus P-2 révén feltételesen magasabb státuszba került). Ez a függelék megadja a T-3 által megkövetelt célzott strukturális leképezést. Három tétel állapít meg erős topológiai analógiát: (T-3a) az OPT Stabilitási szűrőjének iteratív durvaskálázása strukturálisan homomorf egy MERA tenzorhálózattal; (T-3b) a 3.3. § Információs oksági kúpja nagyságrendi értelemben megfelel a MERA oksági kúpjának; és (T-3c) a Prediktív Elágazáshalmaz strukturálisan leképezhető a nem renormalizált határszabadságfokokra. Annak matematikai megemelése, hogy ez a tisztán sztochasztikus strukturális homomorfizmus elérje a valódi diszkrét Ryu–Takayanagi-korláthoz szükséges szigorú Hilbert-térbeli izometriákat, eredetileg nyitott kérdés maradt, ám ezt mára feltételesen megoldotta a P-2 problémában egymás után bevezetett explicit számítási bázisba való beágyazás és az Izometriaazonosítás-híd posztulátumai.

§1. A többrétegű tömörítési struktúra

A preprint 3.3. §-a az OPT megfigyelőjét egyetlen szűk keresztmetszetű optimalizálással definiálja (4. egyenlet): a teljes határállapotból, X_t-ből egy tömörített állapot, Z_t \in \{1, \ldots, 2^B\} kerül kiválasztásra úgy, hogy minimális leíráshossz mellett maximalizálja a prediktív információt. Amit a 3.3. § nem tesz explicitté, az az, hogy az X_{\partial A}-tól Z_t-ig vezető út természetes módon tömörítési rétegek kaszkádjára bontható — amelyek mindegyike elveti azokat a rövid hatótávolságú korrelációkat, amelyek a következő skálán történő predikció szempontjából irrelevánsak. Ez a hierarchikus struktúra az OPT oldala a MERA-megfelelésnek.

1.1 Az L rétegű szűk keresztmetszeti kaszkád

Legyen s \geq 2 rögzített durvaszemcsézési tényező, és L a tömörítési rétegek teljes száma. Definiáljuk a kaszkádot:

Z_t^{(0)} := X_{\partial_R A} \qquad \text{(0. réteg: teljes Markov-takaró, } H = B_0 \text{ bit)}

Minden további rétegben, \tau = 0, \ldots, L-1 esetén:

Z_t^{(\tau+1)} = \operatorname*{arg\,min}_{q} \left[ I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) - \beta_\tau\, I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \right]

\text{azzal a feltétellel, hogy: } I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) \leq B_\tau, \qquad B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}

A végső állapot Z_t := Z_t^{(L)}, ahol B_L = B_0 \cdot s^{-L} bit. A kaszkád egy Markov-láncot definiál:

X_{t+1:\infty} \;-\!\!-\; Z_t^{(0)} \;-\!\!-\; Z_t^{(1)} \;-\!\!-\; \cdots \;-\!\!-\; Z_t^{(L)} = Z_t

Az adatfeldolgozási egyenlőtlenség alapján a prediktív információ monoton nem növekvő:

I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \geq I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right)

Minden réteg a prediktív információ egy kontrollált mennyiségét veszíti el — ezt az adott réteg szűk keresztmetszetének torzítási költségvetése, D_\tau, szabályozza.

1.2 Felbontás szétcsatolásra, majd durvításra

Minden rétegátmenet, Z^{(\tau)} \to Z^{(\tau+1)}, két kanonikus lépésre bontható:

• Szétcsatolás: Alkalmazzunk egy lokális, reverzibilis átrendezést, amelyet egy U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} permutációs leképezés modellez, Z^{(\tau)}-ra, és amely a Prediktív Elágazáshalmaz egymás szempontjából irreleváns ágait — azokat az ágakat, amelyek nem osztanak meg prediktív információt a jövőről — egymás melletti pozíciókba rendezi. Ez a klasszikus lépés reverzibilis; nem vész el információ.

• Durvítás (szűk keresztmetszeti leképezés): Osszuk az állapotokat s elemű csoportokba, és minden csoporton alkalmazzuk a klasszikus sztochasztikus szűk keresztmetszeti tömörítési leképezést, W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}). A kötésdimenzió rögzített: \chi = 2^{B_0/N}, ahol N a határpontok száma. Ahhoz, hogy ez formálisan egzakt diszkrét Hilbert-térbeli tenzordimenzióként működjön, ne pedig effektív folytonos skálaként, a keretrendszer szigorúan megköveteli a diofantoszi megszorítást: 2^{B_0/N} \in \mathbb{Z}^+. Ez kifejezetten biztosítja, hogy az egzakt egész \chi dimenzió egy helyre jutó entrópiát adjon, \log \chi = B_0/N, amely geometriailag összhangban áll a kapacitási ütemezéssel, B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}. Megjegyzés: A §2-ben használt kvantumos célstruktúrák a MERA-izometria, w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} (amelynek adjungáltja, w_\tau^\dagger, valósítja meg a durvítást), valamint a szétcsatoló u_\tau. Az 1. §-ban szereplő W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}) és U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} leképezések a klasszikus OPT-objektumok. Az őket összekapcsoló beágyazást a P-2 függelék vezeti be.

Az egyes rétegekben vett W_\tau \circ U_\tau kompozíció, egymásra rétegezve \tau = 0, \ldots, L-1 esetén, alkotja a teljes tenzorhálózatot. Most megmutatjuk, hogy ez pontosan a MERA.

§2. MERA — Formális definíciók

A Vidal (2008) [43] releváns definícióit az OPT-leképezéshez illeszkedő formában adjuk meg.

2.1 Tenzorok

Egy 1D láncra definiált MERA, amelynek N peremhelye van, és amelynek lokális Hilbert-terét \mathbb{C}^\chi adja, L rétegből áll. Minden \tau réteg két tenzorosztályt tartalmaz:

• Diszentanglerek u_\tau: unitér tenzorok, u_\tau: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2} \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2}, amelyek szomszédos helypárokon hatnak. Eltávolítják a rövid hatótávolságú összefonódást anélkül, hogy megváltoztatnák a teljes Hilbert-tér dimenzióját. Unitaritás: u^\dagger u = u u^\dagger = I.

• Izometriák w_\tau: tenzorok, w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s}, amelyekre teljesül, hogy w_\tau^\dagger w_\tau = I_{\mathbb{C}^\chi} (izometrikus: a leképezés injekció a durván szemcsézett térből a finoman szemcsézett térbe). Az adjungált w_\tau^\dagger: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} \to \mathbb{C}^\chi valósítja meg a durva szemcsézést, s finoman szemcsézett helyet 1 durva helyre képezve.

A teljes MERA a felső állapotot, |\psi_{\text{top}}\rangle \in \mathbb{C}^\chi (a bulkot), a peremállapotba, |\psi_{\text{boundary}}\rangle \in (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes N}, képezi le úgy, hogy a rétegeket a bulktól a perem felé alkalmazza, miközben minden réteg s faktorral tágítja az állapottér méretét.

2.2 A MERA oksági kúpja

Egy x \in \{1, \ldots, N\} peremhely oksági kúpja, \mathcal{C}(x), a hálózat azon tenzorainak minimális halmaza, amelyek értékei befolyásolhatják az x hely redukált sűrűségmátrixát, \rho_x-et. Kiszámítása alulról felfelé történik (a bulk felől a perem irányába).

A bulk-rétegben (a peremtől mért \tau = L mélységben): \mathcal{C}(x) az egyetlen felső tenzort tartalmazza. Minden egyes további, a perem felé haladó rétegben az oksági kúp szélessége minden izometria-rétegnél s tényezővel nő, és minden disentangler-rétegnél legfeljebb 2-szeresére bővül. \mathcal{C}(x) szélessége a csúcstól mért \tau peremmélységben:

w(\tau) = \mathcal{O}(s^\tau) \qquad \text{[a bulk felől a perem irányába exponenciálisan nő]}

A kritikus MERA esetén (s = 2) az oksági kúp szélessége \tau mélységben 2^\tau szerint nő, és L réteg után eléri a teljes peremszélességet, N = s^L-t.

2.3 Összefonódási entrópia és a minimális vágás

Egy összefüggő, A jelű, |A| = l hosszúságú határtartomány esetén egy MERA-állapotban az összefonódási entrópia, S(A), korlátos a tenzorhálózat bulkján áthaladó minimális felület, \gamma_A, által elmetszett kötések számával:

S(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi

ahol |\gamma_A| a minimális vágásban szereplő kötések száma, \chi pedig a kötésdimenzió. Skálainvariáns MERA esetén |\gamma_A| \sim \frac{c}{3} \log l, ami visszaadja a CFT összefonódási entrópiáját, S(A) \sim \frac{c}{3} \log l, ahol c/3 = \log \chi. Ez az AdS/CFT-ben szereplő Ryu-Takayanagi-formula diszkrét analógja.

§3. T-3a tétel — Strukturális homomorfizmus

T-3a tétel (MERA–OPT homomorfizmus). Az OPT L rétegű Információs Szűk Keresztmetszet kaszkádja \{Z_t^{(\tau)},\, \tau = 0, \ldots, L\}, amelynek peremállapota Z_t^{(0)} = X_{\partial_R A}, bulk állapota Z_t^{(L)} = Z_t, rétegkapacitása B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}, valamint kötésdimenziója \chi = 2^{B_0/N}, strukturálisan homomorf a L rétegű, s skálafaktorú és \chi kötésdimenziójú MERA rétegtopológiájával, a következő formális klasszikus leképezés mellett: - (i) OPT durvítás W_\tau \;\leftrightarrow\; MERA izometria adjungáltja w_\tau^\dagger - (ii) OPT disentangler U_\tau \;\leftrightarrow\; MERA disentangler u_\tau

3.1 Bizonyítás — Izometria-azonosítás

Az OPT durvaskálázási tenzora a \tau rétegben a szűk keresztmetszet optimalizálása által előállított q^*(z^{(\tau+1)} \mid z^{(\tau)}) feltételes eloszlás révén számítódik. Jóllehet a teljes információs költségvetés egy átlagos makroszkopikus kapacitásarányt kényszerít ki, ahol B_\tau / B_{\tau+1} = s, a klasszikus sztochasztikus szűk keresztmetszet önmagában nem kényszeríti ki natívan a szálak kardinalitásának pontos egyenletességét (vagyis egy olyan szigorúan diszkrét őskép-egyenértékűséget, amely minden z^{(\tau+1)} kimenethez pontosan az s méretet rendeli). Ennek az explicit lépésnek a formalizálása ezért az architektúrát az idealizált szoros leképezési határesetre korlátozza (D \to 0), feltételesen azt tételezve fel, hogy a paraméterek tökéletesen izolálják az egyenletes információs struktúrákat.

q^* azonban klasszikus sztochasztikus valószínűségi mátrixot reprezentál, nem pedig komplex kvantumos unitér mátrixot. A valódi Hilbert-téri izometriafeltétel állítása (W_\tau W_\tau^\dagger = I_{\mathbb{C}^\chi}) kategóriahibát jelentene. Egy valódi parciális izometria megköveteli e diszkrét állapotok explicit beágyazását a \mathbb{C}^\chi komputációs bázisába. A P-2. függelék (Feltételes kvantummegfeleltetés) megalapozza ezt a beágyazást: a P-2.0 tétel megadja a komputációs bázissal való azonosítást, a P-2c tétel pedig bizonyítja, hogy az optimális szűk keresztmetszeti leképezés a szoros határesetben parciális izometriaként működik a QECC által védett altérben. A P-2 lokális zajmodelljének feltétele mellett a strukturális homomorfizmus a kódtéren belül valódi tenzorhálózati izomorfizmussá emelkedik. \blacksquare

3.2 Bizonyítás — A disentangler azonosítása

A tisztán klasszikus disentangler, U_\tau, lokális bijekcióként van megalapozva (az állapotalfabetum egy permutációjaként az S_{|\mathcal{Z}|} szimmetrikus csoportból), amely úgy rendezi át a Z^{(\tau)}-t, hogy minimalizálja a csoportok közötti redundanciákat (azonos értelemben: a kölcsönös információt), mielőtt durva szemcsézésnek vetnénk alá őket.

U_\tau = \operatorname*{arg\,min}_{U \in S_{|\mathcal{Z}|}} \sum_{j \neq k} I\!\left( U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, j} \,;\, U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, k} \right)

Ez megfelel a MERA-disentangler strukturális céljának: a rövid hatótávolságú összefonódás (a szomszédos csoportok közötti korrelációk) eltávolításának a durva szemcsézés előtt. A valódi komplex unitaritást (U^\dagger U = I) a P-2.0 tétel (P-2 függelék) alapozza meg: a számítási bázisba való beágyazás mellett az U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} permutáció egyértelműen felemelhető egy unitér mátrixszá az U(\mathbb{C}^\chi)-ban a permutációs reprezentáción keresztül.

Fenntartás (Permutáció vs. általános unitér operátor). A P-2.0 tétel az OPT disentanglereit az U(\mathbb{C}^\chi) permutációs részcsoportjába emeli át, nem a teljes unitér csoportba. A standard MERA-disentanglerek általános unitér operátorok, u_\tau \in U(\mathbb{C}^\chi \otimes \mathbb{C}^\chi); a permutációs részcsoport ennek szigorú részhalmaza (|S_\chi| = \chi! szemben a \dim U(\chi) = \chi^2 folytonos paraméterrel). A P-2.0+P-2c által megalapozott izomorfizmus ezért a permutációs MERA-ra vonatkozik — egy korlátozott alosztályra. A teljes MERA-ra való kiterjesztéshez egy olyan, az OPT-ben natív mechanizmust kellene azonosítani, amely permutációk helyett általános unitér operátorokat generál. Ez a rés nem érinti az RT entrópiakorlátot (P-2d), amely kizárólag a P-2c izometriafeltételtől függ, nem pedig a disentangler osztályától. \blacksquare

MERA–OPT izomorfizmus-szótár

§4. T-3b tétel — az oksági kúp azonossága

T-3b tétel (az oksági kúp megfelelése). A T-3a homomorfizmusa mellett az OPT Információs oksági kúpja (preprint §3.3) strukturálisan megfelel (nagyságrendi skálázás értelemben) a MERA oksági kúpjának. A jelenlegi apertúra, Z_t, a bulk felső tensorára képeződik le; a rögzült Kauzális nyilvántartás, \mathcal{R}_t, a múltbeli bulk-állapotoknak felel meg; a Prediktív Elágazáshalmaz, \mathcal{F}_h(z_t), a jelenhez képest h réteggel távolabbi MERA-határon található, még nem renormalizált szabadsági fokoknak felel meg.

4.1 A megfeleltetés iránya

Van itt egy finom orientációs sajátosság, amelyet pontosan kell megfogalmazni. A MERA esetében a hálózat a peremtől (UV, finomfelbontású) a bulk felé (IR, durva felbontású) halad. Az OPT-ben az Információs oksági kúp a múltból (rögzült, tömörített) a jelen apertúráján keresztül a jövő felé halad (Prediktív Elágazáshalmaz, feloldatlan). A megfeleltetés a következő:

4.2 Bizonyítás — az oksági kúp szélessége = a Prediktív Elágazáshalmaz kapacitása

A MERA-ban a tömbállapot Z_t oksági kúpja (a határtól mért L mélységben) a határ felé haladva tágul: a csúcstól számított \tau rétegmélységnél a kúp szélessége s^\tau. Ez azon határpontok számát adja meg, amelyek egymástól függetlenül befolyásolhatják Z_t-t.

Az OPT-ben a jelenlegi apertúrától számított h időlépésnyi mélységben vett Prediktív Elágazáshalmaz, \mathcal{F}_h(z_t), legfeljebb 2^{B \cdot h} megkülönböztethető jövőbeli állapotot tartalmaz (preprint, 5. egyenlet: \log|\mathcal{F}_h| \leq Bh). A MERA rétegmélysége megfelel \tau = h-nak. Exponenciális és lineáris korlát közötti eltérést figyelünk meg (s^\tau \cdot B/L bit a MERA-ban a skálatágulás révén, szemben a Prediktív Elágazáshalmazban kronológiai felhalmozódás útján adódó B \tau-val). Az oksági kúp szélessége és az OPT Prediktív Elágazáshalmazának kapacitása nagyságrendileg robusztusan egybeesik, szigorú, egzakt egyezést azonban csak az egyrétegű kodek határesetében ad (L=1). Továbbá, ha a MERA passzív topológiáját az akciófüggő Prediktív Elágazáshalmazzal azonosítjuk, az azt implikálja, hogy kizárólag a passzív megfigyelő határesetén belül működünk (a \equiv \text{const}). \blacksquare

4.3 Bizonyítás — Kauzális nyilvántartás = múltbeli bulk

A rögzült Kauzális nyilvántartás \mathcal{R}_t = (Z_0, Z_1, \ldots, Z_t) (preprint 3.3. §) az összes múltbeli tömörített állapotból áll — azokból a bulk-állapotokból, amelyek már renderelésre kerültek a rögzült múltba. A MERA-ban ezek megfelelnek a múltbeli bulk-állapotok sorozatának, amelyeket a kodek időbeli dinamikája, K_\theta kapcsol össze (preprint, 6. egyenlet). \mathcal{R}_t rögzült, alacsony entrópiájú jellege annak felel meg, hogy a MERA bulk-állapotai konstrukciójuknál fogva alacsony összefonódási entrópiával rendelkeznek — ezek a disentangling-eljárás durván szemcsézett eredményei. \blacksquare

§5. T-3c tétel — A Prediktív Elágazáshalmaz mint határ-UV és a diszkrét Ryu–Takayanagi-formula

T-3c tétel (Prediktív Elágazáshalmaz = határ-UV; diszkrét RT).

1. A Prediktív Elágazáshalmaz \mathcal{F}_h(z_t) valószínűségi értelemben leképeződik a MERA-határon található nem renormalizált szabadsági fokok halmazára — vagyis a kodekre a t + h időlépésben alkalmazott MERA határ-UV rétegére.

2. Klasszikus adatfeldolgozási korlát (bulk-vágási korlát): a prediktív vágási entrópia, helyesen a belső bulk minimális vágási rétegén kiértékelve, explicit módon kielégíti: S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \log \chi

3. Diszkrét kvantum-RT kiterjesztés (a P-2d beágyazás fennállása esetén):

\boxed{S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi}

ahol \gamma_A a minimális vágási felület a MERA bulkjában, és \chi = 2^{B_0/N} a kötésdimenzió. Ez a korlát a P-2d izometriától feltételesen függ; kvantumos szerkezet hiányában a (b) rész klasszikus bulk-vágási korlátjára redukálódik.

5.1 Bizonyítás — a Prediktív Elágazáshalmaz mint határ-UV

A MERA határ-UV rétege a(z) t+h időpontban az összes lehetséges bemeneti állapotból, X_{\partial_R A}^{(t+h)}-ból áll — azokból a finomfelbontású, nem durván összegzett határállapotokból, amelyeket a kodek a következő h időlépés során feldolgoz. A kaszkádszerkezet miatt ezek pontosan azok az állapotok, amelyek a jelenlegi apertúrából, Z_t = Z_t^{(L)}-ből érhetők el, ha a MERA-t fordított irányban (a bulktól a határ felé) futtatjuk h rétegen keresztül — vagyis ha h lépésen át kiterjesztjük Z_t oksági kúpját.

A Prediktív Elágazáshalmaz \mathcal{F}_h(z_t) definíciója az előnyomatban (§3.3) a következő:

\mathcal{F}_h(z_t) := \left\{ z_{t+1:t+h} : p(z_{t+1:t+h} \mid z_t,\, a_{t:t+h-1}) > 0 \right\}

Ezek pontosan azoknak a bulkállapotoknak a sorozatai, amelyek Z_t-ből h MERA-rétegen belül elérhetők, ha a kaszkádot valószínűségi módon a kiterjesztett irányban működtetjük. Az azonosítás megköveteli, hogy a MERA-t mindkét irányban kiértékeljük — határ \to bulk (múltbeli tömörítés) és bulk \to határ (jövőbeli kiterjesztés). A Prediktív Elágazáshalmaz kifejezetten a második iránynak felel meg, amely pontosan a bulkállapot határ-UV felé történő okságikúp-kiterjesztésének tartóhalmaza, a §4.1-ben megfelelően jelzett időmegfordítási azonosítás mellett. \blacksquare

5.2 Bizonyítás — Diszkrét Ryu–Takayanagi leképezett korlát

Legyen A és \bar{A} = V \setminus A a határ egy bipartíciója. Legyen \tau^* az a minimális réteg, amelyen az A/\bar{A} határfelület a tenzorhálózatban pontosan elvágásra kerül (a minimális vágási réteg). Ezen a rétegen a lokális kölcsönösinformáció-szűk keresztmetszet kapacitását szigorúan az elvágott kötések kapacitása korlátozza:

S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi \qquad (\text{Csoportközi bulk korlát})

Noha ez sikeresen pontosan a bulk minimális vágási rétegén állapítja meg a diszkrét Ryu–Takayanagi-kapacitáskorlátot, e korlát formális felfelé tolása úgy, hogy korlátozza a külső határ prediktív vágási entrópiáját, S_{\text{cut}}(A) = S_{\text{cut}}^{(0)}(A), nem valósítható meg az adatfeldolgozási egyenlőtlenség (DPI) segítségével (mivel a DPI előírja, hogy az entrópiának lefelé történő tömörítés során monoton csökkennie kell, nem pedig növekednie: S_{\text{cut}}^{(0)} \geq S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}).

A teljes célként kitűzött diszkrét RT-határkorlát (S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi) helyes levezetési útja megköveteli a bipartíción átnyúló Schmidt-rang korlátozását — ez a stratégia pedig megköveteli, hogy a hálózatot úgy kezeljük, mint amely valódi lineáris izometriák révén konstruálja a határállapotot. Ezt immár a P-2. függelék állapítja meg: a P-2d tétel a diszkrét kvantumos Ryu–Takayanagi-formulát a MERA-állapotnak a minimális vágáson vett Schmidt-felbontása révén bizonyítja, a P-2c izometriafeltételére támaszkodva. \blacksquare (a P-2d izometriájának feltételével).

§6. Az episztemikus létra — a klasszikustól a kvantumos RT-ig

A fenti három tétel klasszikus információelméleti szinten megalapozza a MERA-struktúrát. Az előtanulmány §3.4 szakaszának Episztemikus létrája leírja azokat a feltételeket, amelyek mellett az egyes fokok megmászhatók.

A kvantumos RT-formula megköveteli, hogy a klasszikus prediktív vágási entrópiát, I(X_A;\, X_{V \setminus A})-t, felváltsa a sűrűségmátrix \rho_A von Neumann-féle összefonódási entrópiája, S_{\text{vN}}(\rho_A). Ez előfeltételezi a Z_t állapotterének Hilbert-tér-struktúráját. E struktúra levezetése — az ADH kvantumhiba-javítási érv révén (előtanulmány P-2) — továbbra is a következő formális lépés. Amint a P-2 lezárul, a kötésdimenzió, \chi = 2^{B_0/N}, kvantumos kötésdimenzióvá válik, és a T-3c bizonyításában szereplő klasszikus kölcsönös információt kvantumos kölcsönös információ váltja fel, visszanyerve a teljes kvantumos RT-formulát a S_{\text{bulk}} bulk-korrekciós taggal.

§7. Emergens bulk-geometria a kódtávolságból

A MERA bulk-geometriája nem előre adott tartály. A T-3a izomorfizmusa alatt ez a kodek információs metrikus tere: a tömörítési távolságok geometriája.

7.1 Kódtávolság mint bulk-metrika

Definiáljuk a diszkrét egész kódtávolságot, d(z^{(\tau)}, z'^{(\tau)})-t, a kaszkád \tau rétegében lévő két állapot között úgy, mint a köztük a tenzorhálózaton belüli összekapcsoláshoz szükséges disentangler-cserék minimális számát.

Megfelelő termodinamikai vagy kontinuumhatár esetén (N \to \infty, a \to 0) a folytonos térbeli rétegskála \tau mellett a bulk-metrika, g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau), a következőképpen közelíthető:

g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) \propto \lim_{a \to 0} \frac{d\!\left(z_i^{(\tau)},\, z_j^{(\tau)}\right)^2}{d\!\left(z_i^{(0)},\, z_j^{(0)}\right)^2}

Ez strukturális várakozás, amely a kaszkád skálainvarianciájától és attól a feltevéstől függ, hogy a Permutation MERA a kontinuumhatárban folytonosan közelíthető egy általános MERA-val — összhangban Swingle (2012) és Nozaki-Ryu-Takayanagi (2012) ismert eredményeivel, de nem garantált egy diszkrét, véges számú rétegből álló kaszkád esetén. Így e kontinuumhatárra vonatkozó sejtések mellett azt várjuk, hogy a téridő geometriája pontosan ott görbülne meg, ahol a kódtávolság divergál — vagyis ott, ahol a Szükséges prediktív ráta R_\text{req} megközelíti a C_\text{max}-ot, stratégiai értelemben összhangban T-2 ráta-torzítási túlcsordulásra vonatkozó azonosításával.

7.2 Kapcsolódás a T-2-höz

A T-2 megállapította, hogy a gravitációs görbület G_{\mu\nu} a renderelési entrópia, S_{\text{render}}, metrikus deriváltja. A MERA-struktúra most meghatározza S_{\text{render}} mikroszkopikus eredetét: ez a minimális vágás entrópiája, |\gamma_A| \log \chi, míg az Einstein-tenzor, G_{\mu\nu}, ennek a vágási entrópiának a válasza a kódtávolság által indukált, a tömbgeometriában fellépő metrikus perturbációkra. A két függelék ezért összhangban áll egymással: a T-2 adja a makroszkopikus téregyenleteket; a T-3 pedig annak az entrópiafunkcionálnak a mikroszkopikus tenzorhálózati eredetét, amelyet ezek extremalizálnak.

§8. Záró összefoglalás és nyitott peremek

A T-3 eredményei — részben feloldva → feltételesen továbbfejlesztve (P-2-vel)

1. T-3a (MERA-izomorfizmus). Az OPT L-rétegű szűk keresztmetszeti kaszkádja szerkezetileg homomorf egy s rétegfaktorú és L mélységű MERA-hoz. A P-2 függelékkel (P-2.0 és P-2c tételek) ez tensorhálózati izomorfizmussá erősödik a QECC által védett altéren belül, lokális zaj feltétele mellett. Megjegyzés: az izomorfizmus a permutációs MERA-ra vonatkozik (a disentanglerek a U(\mathbb{C}^\chi) permutációs részcsoportjában vannak), nem pedig az önkényes unitér disentanglerekkel rendelkező általános MERA-ra. Ez a megszorítás nem érinti az RT-korlátot (P-2d), de a megfeleltetést a MERA-hálózatok egy alosztályára korlátozza.

2. T-3b (Oksági kúp-megfelelés). Az Információs oksági kúp nagyságrendi szimmetriával skálázódik a MERA oksági kúpstruktúrájához a passzív megfigyelő határesetén belül, noha a mélységi profilok eltérnek. A Prediktív Elágazáshalmaz a nem renormalizált peremadatoknak felel meg. (A P-2 izometriaeredménye a passzív megfigyelő határesetén belül alkalmazható; a Prediktív Elágazáshalmaz definíciójában szereplő akciófüggő a_{t:t+h-1} tagokhoz egy, a P-2 által nem tárgyalt nyílt rendszerekre vonatkozó kiterjesztés szükséges.)

3. T-3c (Diszkrét kvantum-RT). Az eredeti, DPI-alapú bizonyítás a bulkre adott korlátot biztosította, de a perementrópiára nem. A P-2c-ből származó izometriával a P-2d tétel megadja a teljes peremkorlátot, S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi, a MERA-állapot Schmidt-rangja révén.

4. Emergens bulkgeometria. A MERA bulk-metrikája, g_{ij}^{\text{bulk}}, a kaszkád kódtávolságából indukálódik. A téridő ott görbül, ahol a kódtávolság divergál, összhangban a T-2 azon azonosításával, hogy G_{\mu\nu} a renderelési entrópia metrikus deriváltja. (A kontinuumhatáreset továbbra is szükséges.)

5. Az episztemikus létra állapota. A 2. fok (diszkrét kvantum-RT) immár bizonyított a P-2d révén. A 3. fok (teljes kvantum-RT bulk-korrekcióval) olyan kontinuumhatáresetet igényel, amelyet az OPT primitívumaiból még nem vezettek le.

A lezárás által megnyitott peremek

• P-2 (Born-szabály / Hilbert-tér) most már rendelkezik pontos belépési ponttal: a kötésdimenziót, \chi-t, kvantumos Hilbert-tér-dimenzióként kell beágyazni. Mihelyt az ADH hibajavítás kikényszeríti a logikai qubit-struktúrát, a klasszikus kötés \chi = 2^{B_0/N} kvantumos kötéssé lép elő von Neumann-entrópiával, és a T-3c diszkrét RT-je a teljes kvantum-RT-vé válik S_{\text{bulk}} bulk-korrekcióval.

• P-3 (Aszimmetrikus holográfia): a MERA bulk-rekonstrukciója és Fano egyenlőtlensége immár közös formális keretbe kerül. Fano egyenlőtlensége (preprint §3.10) korlátot ad a megfigyelő azon képességére, hogy a szubsztrátumot a renderen belülről rekonstruálja — pontosan ez a MERA-leképezés irreverzibilitása (perem \to bulk a kodek; a bulk \to perem inverziója a minimális vágás \tau^* mélységén túl lehetetlen).

• T-5 (Konstansok visszanyerése): a kötésdimenzió \chi = 2^{B_0/N} és a durvaskálázási tényező s új megszorításokat adnak a dimenziótlan konstansokra. Különösen az s = 2 és az L = \log_s(B_0/B_L) összhangban kell álljon a T-2-ből származó Planck-skálájú azonosítással, l_{\text{codec}} = l_P, ami korlátozza a B_0/B_L arányt.

• §8.3 preprint 3. pont (MERA/oksági halmaz): a Prediktív Elágazáshalmaz MERA-peremrétegeinek formális leképezése az oksági halmaz keretrendszerére, hogy az észlelt téridő metrikus tulajdonságai tisztán a kodek szekvenálásából legyenek kinyerhetők. A §7 kódtávolság-metrikája, g_{ij}^{\text{bulk}}, a kiindulópont.

Ez a függelék az OPT projekt repozitóriumának részeként kerül karbantartásra a theoretical_roadmap.pdf mellett. Hivatkozások: Vidal (2008) [43], Pastawski et al. (2015) [44], Almheiri-Dong-Harlow (2015) [42], Tishby et al. (1999) [28], Ryu-Takayanagi (2006).