Korrastatud patch’i teooria

Algne ülesanne T-3: MERA tensovõrgud ja põhjuslik koonus Probleem: OPT pakub välja järjestikusest pakkimisest koosneva Informatsioonilise põhjusliku koonuse, kuid tugineb standardsete kvanttensori formalismide asemel spetsiaalselt loodud geomeetrilisele kirjeldusele. Väljund: OPT Informatsioonilise põhjusliku koonuse formaalne vastendamine MERA tensovõrgu struktuurile.

Sulgemise staatus: TINGIMUSLIK ISOMORFISM (struktuurne homomorfism on kinnitatud; range füüsikalise isomorfismi staatus on tingimuslikult tõstetud P-2 kaudu). Käesolev lisa esitab T-3 jaoks nõutava sihtstruktuurse vastenduse. Kolm teoreemi kehtestavad tugeva topoloogilise analoogia: (T-3a) OPT Stabiilsusfiltri iteratiivne jämedustamine on struktuurselt homomorfne MERA tensovõrguga; (T-3b) §3.3 Informatsiooniline põhjuslik koonus vastab suurusjärgu mõttes MERA põhjuslikule koonusele; ning (T-3c) Prediktiivne Harude Hulk vastendub struktuurselt renormeerimata piiri vabadusastmetele. Selle puhtalt stohhastilise struktuurse homomorfismi matemaatiline tõstmine rangeteks Hilberti-ruumi isomeetriateks, mida nõuab tõeline diskreetne Ryu–Takayanagi piirang, jäi algselt lahtiseks, kuid on nüüd tingimuslikult lahendatud probleemi P-2 raames järjestikku kehtestatud eksplitsiitse arvutusbaasi sisestuse ja Isomeetria Identifitseerimise silla postulaatide kaudu.

§1. Mitmekihiline pakkestruktuur

Preprindi §3.3 määratleb OPT-vaatleja üheainsa pudelikaela optimeerimise kaudu (võrrand 4): täielikust piirseisundist X_t valitakse kokkusurutud seisund Z_t \in \{1, \ldots, 2^B\}, et maksimeerida prediktiivset informatsiooni minimaalse kirjelduspikkuse juures. See, mida §3.3 otsesõnu ei täpsusta, on asjaolu, et tee X_{\partial A}-st Z_t-ni laguneb loomulikult pakkekihtide kaskaadiks — igaüks neist heidab kõrvale lühikese ulatusega korrelatsioonid, mis ei ole järgmise skaala prediktsiooni jaoks asjakohased. See hierarhiline struktuur on MERA vastavuse OPT-poolne külg.

1.1 L-kihiline pudelikaela kaskaad

Olgu s \geq 2 fikseeritud jämedustamistegur ja L pakkekihtide koguarv. Defineerime kaskaadi:

Z_t^{(0)} := X_{\partial_R A} \qquad \text{(kiht 0: täielik Markovi piir, } H = B_0 \text{ bitti)}

Igal järgneval kihil \tau = 0, \ldots, L-1:

Z_t^{(\tau+1)} = \operatorname*{arg\,min}_{q} \left[ I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) - \beta_\tau\, I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \right]

\text{tingimusel: } I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) \leq B_\tau, \qquad B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}

Lõppolek on Z_t := Z_t^{(L)}, kus B_L = B_0 \cdot s^{-L} bitti. Kaskaad määratleb Markovi ahela:

X_{t+1:\infty} \;-\!\!-\; Z_t^{(0)} \;-\!\!-\; Z_t^{(1)} \;-\!\!-\; \cdots \;-\!\!-\; Z_t^{(L)} = Z_t

Andmetöötluse võrratuse järgi on prediktiivne informatsioon monotoonselt mittekasvav:

I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \geq I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right)

Iga kiht kaotab kontrollitud hulga prediktiivset informatsiooni — seda kontrollib vastava kihi pudelikaela moonutuseelarve D_\tau.

1.2 Lahutus kujule lahtipõimimine-seejärel-jämedustamine

Iga kihiüleminek Z^{(\tau)} \to Z^{(\tau+1)} laguneb kaheks kanooniliseks sammuks:

• Lahtipõimimine: Rakenda lokaalset pööratavat ümberkorraldust, mida modelleeritakse permutatsioonkujutusena U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} olekule Z^{(\tau)}, mis toob Prediktiivse Harude Hulga vastastikku ebaolulised harud — harud, mis ei jaga tuleviku kohta mingit prediktiivset informatsiooni — kõrvutistele positsioonidele. See klassikaline samm on pööratav; informatsiooni ei kao.

• Jämedustamine (pudelikaela-kujutus): Jaga olekud s-suurusteks rühmadeks ja rakenda igas rühmas klassikalist stohhastilist pudelikaela-pakkekaardistust W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}). Sidemõõde on fikseeritud kujul \chi = 2^{B_0/N}, kus N on piirisaitide arv. Et toimida formaalselt täpse diskreetse Hilberti-ruumi tensormõõtmena, mitte efektiivse pideva skaalana, nõuab raamistik rangelt diofantilist tingimust 2^{B_0/N} \in \mathbb{Z}^+. See tagab otsesõnu, et täpne täisarvuline mõõde \chi annab saidi kohta entroopia \log \chi = B_0/N, mis on geomeetriliselt kooskõlas mahtuvusgraafikuga B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}. Märkus: Kvantsihtstruktuurid, mida kasutatakse §2-s, on MERA isomeetria w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} (mille adjungaat w_\tau^\dagger teostab jämedustamise) ja lahtipõimija u_\tau. Jaotise §1 kujutused W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}) ja U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} on klassikalised OPT-objektid. Neid ühendav sisestus on esitatud lisas P-2.

Kompositsioon W_\tau \circ U_\tau igal kihil, virnastatuna \tau = 0, \ldots, L-1 jaoks, moodustab täieliku tensorvõrgu. Nüüd näitame, et see on täpselt MERA.

§2. MERA — formaalsed definitsioonid

Esitame Vidalilt (2008) [43] asjakohased definitsioonid OPT vastenduseks sobivas vormis.

2.1 Tensorid

MERA 1D-ahela jaoks, millel on N piirisaiti ja lokaalne Hilberti ruum \mathbb{C}^\chi, koosneb L kihist. Iga kiht \tau sisaldab kahte klassi tensoreid:

• Lahtipõimijad u_\tau: unitaarsed tensorid u_\tau: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2} \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2}, mis toimivad saitide kõrvutistel paaridel. Need eemaldavad lühikese ulatusega põimumise, muutmata Hilberti ruumi kogudimensiooni. Unitaarsus: u^\dagger u = u u^\dagger = I.

• Isomeetriad w_\tau: tensorid w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s}, mis rahuldavad tingimust w_\tau^\dagger w_\tau = I_{\mathbb{C}^\chi} (isomeetrilised: kujutus on injektsioon jämedateralise ruumi poolt peenteralisse ruumi). Adjungaat w_\tau^\dagger: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} \to \mathbb{C}^\chi teostab jämedateralistamise, viies s peenteralist saiti üle üheks jämedateralise astme saidiks.

Täielik MERA kujutab ülemise oleku |\psi_{\text{top}}\rangle \in \mathbb{C}^\chi (bulk) piiriolekuks |\psi_{\text{boundary}}\rangle \in (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes N}, rakendades kihte bulgist piiri suunas, kusjuures iga kiht laiendab olekuruumi teguriga s.

2.2 MERA põhjuslik koonus

Piiripunkti x \in \{1, \ldots, N\} põhjuslik koonus \mathcal{C}(x) on võrgustiku tensorite minimaalne hulk, mille väärtused võivad mõjutada punkti x taandatud tihedusmaatriksit \rho_x. See arvutatakse alt üles (bulgist piiri suunas).

Bulgi kihis (sügavus \tau = L piirist): \mathcal{C}(x) sisaldab ühtainsat tipptensorit. Igas järgnevas kihis, liikudes piiri poole, laieneb põhjuslik koonus igas isomeetriakihis teguriga s ja igas lahtipõimijas-kihis kõige rohkem 2 korda. \mathcal{C}(x) laius piirisügavusel \tau, mõõdetuna tipust, on:

w(\tau) = \mathcal{O}(s^\tau) \qquad \text{[kasvab eksponentsiaalselt bulgist piiri suunas]}

Kriitilise MERA korral (s = 2) kasvab põhjusliku koonuse laius sügavusel \tau nagu 2^\tau ning pärast L kihti saavutab kogu piiri laiuse N = s^L.

2.3 Põimumisentroopia ja minimaalne lõige

Pideva piirialapiirkonna A korral, mille pikkus on |A| = l, on MERA-oleku põimumisentroopia S(A) ülalt piiratud tensorvõrgu bulki läbiva minimaalse pinna \gamma_A poolt läbilõigatud sidemete arvuga:

S(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi

kus |\gamma_A| on minimaalses lõikes olevate sidemete arv ja \chi on sideme dimensioon. Skaalainvariantse MERA korral kehtib |\gamma_A| \sim \frac{c}{3} \log l, mis taastab CFT põimumisentroopia S(A) \sim \frac{c}{3} \log l, kus c/3 = \log \chi. See on Ryu–Takayanagi valemi diskreetne analoog AdS/CFT-s.

§3. Teoreem T-3a — struktuurne homomorfism

Teoreem T-3a (MERA–OPT homomorfism). OPT L-kihiline Informatsioonipudeli kaskaad \{Z_t^{(\tau)},\, \tau = 0, \ldots, L\} piirseisundiga Z_t^{(0)} = X_{\partial_R A}, bulgiseisundiga Z_t^{(L)} = Z_t, kihi mahtuvusega B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau} ja sidemedimensiooniga \chi = 2^{B_0/N} on struktuurselt homomorfne L kihiga, skaalateguri s ja sidemedimensiooniga \chi MERA kihitopoloogiaga järgmise formaalse klassikalise vastenduse all: - (i) OPT jämedustamine W_\tau \;\leftrightarrow\; MERA isomeetria adjungaat w_\tau^\dagger - (ii) OPT lahtipõimija U_\tau \;\leftrightarrow\; MERA lahtipõimija u_\tau

3.1 Tõestus — isomeetria identifitseerimine

OPT jämedateralistamise tensor kihis \tau arvutatakse pudelikaela optimeerimise teel saadud tingliku jaotuse q^*(z^{(\tau+1)} \mid z^{(\tau)}) kaudu. Kuigi üldine informatsioonieelarve kehtestab keskmise makroskoopilise mahtuvussuhte B_\tau / B_{\tau+1} = s, ei sunni klassikaline stohhastiline pudelikael oma loomult peale täpselt ühtlast kiudude kardinaalsust (rangelt diskreetset eelkujutist, mille suurus vastab ekvivalentselt väärtusele s iga väljundi z^{(\tau+1)} korral). Selle eksplitsiitse sammu formaliseerimine piirab arhitektuuri seega idealiseeritud tiheda kujutuse piirjuhuga (D \to 0), eeldades tingimuslikult, et parameetrid isoleerivad täiuslikult ühtlased informatsioonilised struktuurid.

Siiski kujutab q^* endast klassikalist stohhastilist tõenäosusmaatriksit, mitte kompleksset kvant-unitaarset maatriksit. Väide, et kehtib tõeline Hilberti ruumi isomeetria tingimus (W_\tau W_\tau^\dagger = I_{\mathbb{C}^\chi}), oleks kategooriaviga. Tõeline osaline isomeetria nõuab nende diskreetsete seisundite eksplitsiitset sisestamist arvutuslikku baasi ruumis \mathbb{C}^\chi. Lisa P-2 (tinglik kvantvastavus) kehtestab selle sisestuse: teoreem P-2.0 annab arvutusliku baasi identifitseerimise ning teoreem P-2c tõestab, et optimaalne pudelikaela kujutus toimib tihedas piirjuhus osalise isomeetriana QECC-kaitstud alamruumis. Tingimusel, et kehtib P-2 lokaalne müramudel, tõuseb struktuurne homomorfism koodiruumi sees ehtsaks tensorvõrgu isomorfismiks. \blacksquare

3.2 Tõestus — lahtisidustaja identifitseerimine

Puhtalt klassikaline lahtisidustaja U_\tau kehtestatakse lokaalse bijektsioonina (olekualfabeedi permutatsioon sümmeetrilisest rühmast S_{|\mathcal{Z}|}), mis ümber korraldab Z^{(\tau)}, et minimeerida rühmadevahelisi redundantsusi (samaväärselt: vastastikust informatsiooni) enne nende jämedateralistamist.

U_\tau = \operatorname*{arg\,min}_{U \in S_{|\mathcal{Z}|}} \sum_{j \neq k} I\!\left( U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, j} \,;\, U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, k} \right)

See vastab MERA lahtisidustaja struktuursele eesmärgile: eemaldada lühikese ulatusega põimumine (korrelatsioonid külgnevate rühmade vahel) enne jämedateralistamist. Tõeline kompleksne unitaarsus (U^\dagger U = I) kehtestatakse teoreemiga P-2.0 (lisa P-2): arvutusliku baasi sisestuse korral tõstetakse permutatsioon U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} permutatsiooniesituse kaudu üheselt unitaarmaatriksiks hulgas U(\mathbb{C}^\chi).

Hoiatus (Permutatsioon vs. üldine unitaarne teisendus). Teoreem P-2.0 tõstab OPT lahtisidustajad hulga U(\mathbb{C}^\chi) permutatsioonialamrühma, mitte täielikku unitaarset rühma. Standardsed MERA lahtisidustajad on üldised unitaarid u_\tau \in U(\mathbb{C}^\chi \otimes \mathbb{C}^\chi); permutatsioonialamrühm on range alamhulk (|S_\chi| = \chi! vs. \dim U(\chi) = \chi^2 pidevat parameetrit). Seega on P-2.0+P-2c abil kehtestatud isomorfism permutatsioonilise MERA-ga — piiratud alamklassiga. Laiendamine täielikule MERA-le nõuaks OPT-omase mehhanismi tuvastamist, mis genereerib permutatsioonide asemel üldisi unitaarseid teisendusi. See lünk ei mõjuta RT entroopiapiiri (P-2d), mis sõltub üksnes isomeetriatingimusest P-2c, mitte lahtisidustaja klassist. \blacksquare

MERA–OPT isomorfismisõnastik

§4. Teoreem T-3b — põhjusliku koonuse identsus

Teoreem T-3b (põhjusliku koonuse vastavus). T-3a homomorfismi korral vastab OPT informatsiooniline põhjuslik koonus (eeltrükk §3.3) struktuurselt (suurusjärgulise skaleerumise mõttes) MERA põhjuslikule koonusele. Käesolev apertuur Z_t vastab bulgi ülemisele tensorile; fikseerunud Põhjuslik register \mathcal{R}_t vastab mineviku bulgi olekutele; Prediktiivne Harude Hulk \mathcal{F}_h(z_t) vastab renormaliseerimata vabadusastmetele MERA piiril, mis asub olevikust h kihi kaugusel.

4.1 Vastavuse suund

Siin on orientatsiooni peensus, mis tuleb täpselt sõnastada. MERA-s kulgeb võrk piirilt (UV, peeneteraline) bulk’i (IR, jämedateraline) suunas. OPT-s kulgeb Informatsiooniline põhjuslik koonus minevikust (fikseerunud, kokku pakitud) läbi oleviku apertuuri tulevikku (Prediktiivne Harude Hulk, lahendamata). Vastavus on järgmine:

4.2 Tõestus — põhjusliku koonuse laius = Prediktiivse Harude Hulga mahtuvus

MERA-s laieneb mahuseisundi Z_t põhjuslik koonus (sügavusel L piirist) piiri suunas liikudes: sügavusel \tau kihti tipust on koonuse laius s^\tau. See loendab nende piiripunktide arvu, mis saavad Z_t sõltumatult mõjutada.

OPT-s sisaldab Prediktiivne Harude Hulk \mathcal{F}_h(z_t) sügavusel h ajasammu käesolevast apertuurist kõige rohkem 2^{B \cdot h} eristatavat tulevikuseisundit (eeltrüki võrrand 5: \log|\mathcal{F}_h| \leq Bh). MERA kihi sügavus vastab seosele \tau = h. Täheldame eksponentsiaalse ja lineaarse piiramise lahknevust (s^\tau \cdot B/L bitti MERA-s skaalalaienduse kaudu vs B \tau Prediktiivses Harude Hulgas kronoloogilise akretsiooni kaudu). Põhjusliku koonuse laius ja OPT Prediktiivse Harude Hulga mahtuvus langevad suurusjärgu mõttes robustselt kokku, kuid rangelt täpne kokkulangevus ilmneb üksnes ühekihilise koodeki piirjuhul (L=1). Lisaks tähendab MERA passiivse topoloogia samastamine tegevusest sõltuva Prediktiivse Harude Hulgaga, et tegutseme eranditult passiivse vaatleja piirjuhus (a \equiv \text{const}). \blacksquare

4.3 Tõestus — Põhjuslik register = mineviku bulk

Settunud Põhjuslik register \mathcal{R}_t = (Z_0, Z_1, \ldots, Z_t) (eeltrükk §3.3) koosneb kõigist mineviku kokkupakitud seisunditest — bulk-seisunditest, mis on juba renderdatud settinud minevikuks. MERA-s vastavad need mineviku bulk-seisundite jadale, mida seob koodeki ajaline dünaamika K_\theta (eeltrüki võrrand 6). \mathcal{R}_t settinud, madala entroopiaga loomus vastab asjaolule, et MERA bulk-seisunditel on konstruktsiooni järgi madal põimumisentroopia — need on lahtipõimimisprotseduuri jämedateraline tulemus. \blacksquare

§5. Teoreem T-3c — Prediktiivne Harude Hulk kui piiri-UV ja diskreetne Ryu–Takayanagi valem

Teoreem T-3c (Prediktiivne Harude Hulk = piiri-UV; diskreetne RT).

1. Prediktiivne Harude Hulk \mathcal{F}_h(z_t) vastab tõenäosuslikult MERA piiril olevate renormaliseerimata vabadusastmete hulgale — MERA piiri-UV kihile, mida rakendatakse koodekile ajasammul t + h.

2. Klassikaline andmetöötluse piir (hulgi-lõike ülempiir): sisemises hulgi minimaallõike kihis korrektselt hinnatud prediktiivse lõike entroopia rahuldab eksplitsiitselt: S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \log \chi

3. Diskreetne kvantne RT-laiendus (tingimusel, et kehtib P-2d sisestus):

\boxed{S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi}

kus \gamma_A on minimaallõike pind MERA hulgis ja \chi = 2^{B_0/N} on sidemedimensioon. See ülempiir kehtib tingimusel, et P-2d isomeetria on olemas; kvantstruktuuri puudumisel taandub see punkti (b) klassikaliseks hulgi-lõike ülempiiriks.

5.1 Tõestus — Prediktiivne Harude Hulk kui piir-UV

MERA piir-UV kiht ajahetkel t+h koosneb kõigist võimalikest sisendolekutest X_{\partial_R A}^{(t+h)} — peenteralistest, jämedustamata piiriolekutest, mida koodek järgmise h ajasammu jooksul töötleb. Kaskaadstruktuuri tõttu on need täpselt need olekud, mis on saavutatavad praegusest apertuurist Z_t = Z_t^{(L)}, käivitades MERA pöördsuunas (mahust piiri suunas) h kihi vältel — s.t. laiendades Z_t põhjuslikku koonust h sammu võrra.

Prediktiivne Harude Hulk \mathcal{F}_h(z_t) on eeltrükis (§3.3) defineeritud järgmiselt:

\mathcal{F}_h(z_t) := \left\{ z_{t+1:t+h} : p(z_{t+1:t+h} \mid z_t,\, a_{t:t+h-1}) > 0 \right\}

Need on täpselt need mahuolekute jadad, mis on Z_t-st saavutatavad h MERA kihi piires, rakendades kaskaadi laiendussuunas tõenäosuslikult. Samastus eeldab, et MERA-d hinnatakse mõlemas suunas — piir \to maht (mineviku pakkimine) ja maht \to piir (tuleviku laienemine). Prediktiivne Harude Hulk vastab otsesõnu teisele suunale, mis on täpne toehulk mahuoleku põhjusliku koonuse laienemisel piir-UV suunas, arvestades §4.1-s korrektselt märgitud ajapöörde samastust. \blacksquare

5.2 Tõestus — diskreetse Ryu-Takayanagi kaardistatud piirang

Olgu A ja \bar{A} = V \setminus A piiri bipartitsioon. Olgu \tau^* minimaalne kiht, milles A/\bar{A} liides tensorvõrgus täpselt läbi lõigatakse (minimaalse lõike kiht). Selles kihis on lokaalse vastastikuse informatsiooni pudelikaela maht rangelt piiratud nende läbilõigatud sidemete mahuga:

S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi \qquad (\text{Rühmadevaheline bulgi piirang})

Kuigi see kehtestab edukalt diskreetse Ryu-Takayanagi mahtuvuspiirangu täpselt bulgi minimaalse lõike kihis, ei saa seda piirangut formaalselt ülespoole edasi kanda, et piirata välise piiri prediktiivse lõike entroopiat S_{\text{cut}}(A) = S_{\text{cut}}^{(0)}(A), kasutades andmetöötluse ebavõrdsust (Data Processing Inequality), sest DPI nõuab, et entroopia peab allapoole kokku surudes monotoonselt vähenema, mitte suurenema: S_{\text{cut}}^{(0)} \geq S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}.

Õige tee täieliku siht-diskreetse RT piiri (S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi) juurde nõuab Schmidti astaku piiramist üle bipartitsiooni — strateegia, mis eeldab, et võrku käsitletakse kui piirseisundi konstrueerijat tõeliste lineaarsete isomeetriate kaudu. See on nüüd kehtestatud Lisades P-2: teoreem P-2d tõestab diskreetse kvant-Ryu-Takayanagi valemi MERA oleku Schmidti lahutuse kaudu üle minimaalse lõike, tingimusel et kehtib P-2c isomeetriatingimus. \blacksquare (tingimusel, et P-2d isomeetria kehtib).

§6. Episteemiline redel — klassikalisest kvant-RT-ni

Ülaltoodud kolm teoreemi kehtestavad MERA struktuuri klassikalise infoteooria tasandil. Preprindi §3.4 Episteemiline redel kirjeldab tingimusi, mille korral saab iga pulga võrra üles liikuda.

Kvant-RT valem nõuab klassikalise prediktiivse lõikeentroopia I(X_A;\, X_{V \setminus A}) asendamist tihedusmaatriksi \rho_A von Neumanni põimumisentroopiaga S_{\text{vN}}(\rho_A). See eeldab Hilberti ruumi struktuuri olekuruumi Z_t jaoks. Selle struktuuri tuletamine — ADH kvantveaparanduse argumendi kaudu (preprint P-2) — jääb järgmiseks formaalseks sammuks. Kui P-2 on lõpetatud, muutub sidemedimensioon \chi = 2^{B_0/N} kvantsidemedimensiooniks ning T-3c tõestuses asendatakse klassikaline vastastikune informatsioon kvantvastastikuse informatsiooniga, taastades täieliku kvant-RT valemi koos bulk-korrektsiooniliikmega S_{\text{bulk}}.

§7. Emergentne bulgigeomeetria koodikaugusest

MERA bulgigeomeetria ei ole eelnevalt olemasolev konteiner. T-3a isomorfismi all on see koodeki informatsiooniline meetriline ruum: pakkimiskauguste geomeetria.

7.1 Koodikaugus kui bulgi meetrika

Defineerime diskreetse täisarvulise koodikauguse d(z^{(\tau)}, z'^{(\tau)}) kahe oleku vahel kaskaadi kihi \tau tasandil kui minimaalse disentangler-vahetuste arvu, mis on vajalik nende ühendamiseks tensorvõrgu sees.

Korraliku termodünaamilise või pidevuspiiri korral (N \to \infty, a \to 0) võib bulgi meetrikat g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) pideva ruumilise kihiskaala \tau juures ligikaudselt esitada kujul:

g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) \propto \lim_{a \to 0} \frac{d\!\left(z_i^{(\tau)},\, z_j^{(\tau)}\right)^2}{d\!\left(z_i^{(0)},\, z_j^{(0)}\right)^2}

See on struktuurne ootus, mis sõltub kaskaadi skaalainvariantsusest ning eeldusest, et Permutation MERA on pidevuspiiris pidevalt lähendatav üldise MERA-ga — kooskõlas Swingle’i (2012) ja Nozaki-Ryu-Takayanagi (2012) teadaolevate tulemustega, kuid mitte garanteeritud diskreetse, lõpliku kihtide arvuga kaskaadi korral. Seega eeldame nende pidevuspiiri konjektuuride alusel, et aegruumi geomeetria kõverdub täpselt seal, kus koodikaugus divergeerub — s.t. seal, kus Nõutav prediktiivne määr R_\text{req} läheneb väärtusele C_\text{max}, mis on strateegiliselt kooskõlas T-2 määr-moonutuse ülevoolu samastusega.

7.2 Seos T-2-ga

T-2 näitas, et gravitatsiooniline kõverus G_{\mu\nu} on renderdusentroopia S_{\text{render}} meetriline tuletis. MERA-struktuur täpsustab nüüd S_{\text{render}} mikroskoopilise päritolu: see on minimaallõike entroopia |\gamma_A| \log \chi, ning Einsteini tensor G_{\mu\nu} on selle lõikeentroopia vastus koodeki kauguse poolt esile kutsutud meetrikahäiringutele bulk-geomeetrias. Seega on need kaks lisa omavahel kooskõlas: T-2 annab makroskoopilised väljavõrrandid; T-3 annab entroopiafunktsionaali mikroskoopilise tensorvõrgulise päritolu, mida need ekstremeerivad.

§8. Kokkuvõttev sulgemine ja avatud servad

T-3 tulemused — osaliselt lahendatud → tingimuslikult täiendatud (koos P-2-ga)

1. T-3a (MERA isomorfism). OPT L-kihiline pudelikaela-kaskaad on struktuurselt homomorfne MERA-ga, mille kihitegur on s ja sügavus L. Lisa P-2-ga (teoreemid P-2.0 ja P-2c) täieneb see tensorvõrgu isomorfismiks QECC-kaitstud alamruumis, tingimusel et müra on lokaalne. Märkus: isomorfism kehtib permutatsioonilise MERA suhtes (lahtipõimijad permutatsioonialamrühmas U(\mathbb{C}^\chi)), mitte üldise MERA suhtes suvaliste unitaarsete lahtipõimijatega. See piirang ei mõjuta RT piiri (P-2d), kuid piirab vastavuse MERA-võrkude alamklassiga.

2. T-3b (Põhjusliku koonuse vastavus). Informatsiooniline põhjuslik koonus skaleerub suurusjärgulise sümmeetriaga MERA põhjusliku koonuse struktuurini passiivse vaatleja piiris, kuigi sügavusprofiilid erinevad. Prediktiivne Harude Hulk vastab renormaliseerimata piiriandmetele. (P-2 isomeetriatulemus kehtib passiivse vaatleja piiris; Prediktiivse Harude Hulga definitsioonis esinevad tegevusest sõltuvad a_{t:t+h-1} liikmed nõuavad avatud süsteemide laiendust, mida P-2 ei käsitle.)

3. T-3c (Diskreetne kvant-RT). Algne DPI-põhine tõestus piiras bulki, kuid mitte piiri entroopiat. P-2c isomeetria abil kehtestab teoreem P-2d täieliku piiripiiri S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi MERA oleku Schmidti astaku kaudu.

4. Esilekerkiv bulk-geomeetria. MERA bulk-meetrika g_{ij}^{\text{bulk}} indutseeritakse kaskaadi koodikaugusest. Ruumiaeg kõverdub seal, kus koodikaugus divergeerub, kooskõlas T-2 samastusega, mille järgi G_{\mu\nu} on renderduse entroopia meetriline tuletis. (Jätkuvpiir on endiselt vajalik.)

5. Episteemilise redeli staatus. Aste 2 (diskreetne kvant-RT) on nüüd P-2d kaudu tõestatud. Aste 3 (täielik kvant-RT koos bulk-korrektsiooniga) nõuab jätkuvpiiri, mida OPT primitiividest ei ole veel tuletatud.

Selle sulgemisega avanenud servad

• P-2 (Borni reegel / Hilberti ruum) omab nüüd täpset sisenemispunkti: sideme mõõde \chi tuleb esitada kvant-Hilberti ruumi mõõtmena. Kui ADH veaparandus sunnib peale loogilise kubiti struktuuri, täieneb klassikaline side \chi = 2^{B_0/N} kvantsidemeks koos von Neumanni entroopiaga ning T-3c diskreetne RT muutub täielikuks kvant-RT-ks koos bulk-korrektsiooniga S_{\text{bulk}}.

• P-3 (Asümmeetriline holograafia): MERA bulk-rekonstruktsioonil ja Fano võrratusel on nüüd ühine formaalne kodu. Fano võrratus (eeltrükk §3.10) piirab vaatleja võimet rekonstrueerida substraati renderduse seest — see on täpselt MERA kujutuse pöördumatuse küsimus (piir \to bulk on koodek; bulk \to piiri pöördamine on võimatu pärast minimaallõike sügavust \tau^*).

• T-5 (Konstantide taastamine): sideme mõõde \chi = 2^{B_0/N} ja jämedustamistegur s annavad mõõtmeteta konstantidele uued kitsendused. Eelkõige peavad s = 2 ja L = \log_s(B_0/B_L) olema kooskõlas T-2 Plancki-skaala samastusega l_{\text{codec}} = l_P, mis kitsendab suhet B_0/B_L.

• §8.3 eeltrüki punkt 3 (MERA/põhjuslik hulk): MERA Prediktiivse Harude Hulga piirkihtide formaalne vastendamine põhjusliku hulga raamistikule, et tuletada tajutud aegruumi meetrilised omadused puhtalt koodeki järjestusest. §7 koodikauguse meetrika g_{ij}^{\text{bulk}} on lähtepunkt.

See lisa on hooldatud OPT projekti repositooriumi osana koos failiga theoretical_roadmap.pdf. Viited: Vidal (2008) [43], Pastawski et al. (2015) [44], Almheiri-Dong-Harlow (2015) [42], Tishby et al. (1999) [28], Ryu-Takayanagi (2006).