Teoría del Parche Ordenado

Tarea Original T-3: Redes Tensoriales MERA y el Cono Causal Problema: La OPT propone un Cono Causal Informacional compuesto por compresión secuencial, pero se apoya en una descripción geométrica ad hoc en lugar de los formalismos tensoriales cuánticos estándar. Entregable: Mapeo formal del Cono Causal Informacional de la OPT a la estructura de red tensorial MERA.

Estado de cierre: ISOMORFISMO CONDICIONAL (homomorfismo estructural confirmado; isomorfismo físico estricto elevado condicionalmente mediante P-2). Este apéndice proporciona el mapeo estructural objetivo requerido por la T-3. Tres teoremas establecen una fuerte analogía topológica: (T-3a) el granulado grueso iterativo del Filtro de Estabilidad de la OPT es estructuralmente homomorfo a una red tensorial MERA; (T-3b) el Cono Causal Informacional de §3.3 corresponde, en orden de magnitud, al cono causal de MERA; y (T-3c) el Abanico Predictivo se mapea estructuralmente a los grados de libertad de frontera no renormalizados. La elevación matemática de este homomorfismo estructural puramente estocástico a las isometrías estrictas de espacio de Hilbert requeridas para una auténtica cota discreta de Ryu-Takayanagi permaneció originalmente abierta, pero ahora queda resuelta de manera condicional mediante la incrustación explícita en base computacional y los postulados-puente de Identificación de Isometrías establecidos secuencialmente en el problema P-2.

§1. La Estructura de Compresión Multicapa

La §3.3 del preprint define al observador de la Teoría del Parche Ordenado (OPT) mediante una única optimización de cuello de botella (Ec. 4): se selecciona un estado comprimido Z_t \in \{1, \ldots, 2^B\} a partir del estado completo de frontera X_t para maximizar la información predictiva con una longitud de descripción mínima. Lo que la §3.3 no explicita es que la trayectoria desde X_{\partial A} hasta Z_t se descompone de manera natural en una cascada de capas de compresión, cada una de las cuales descarta correlaciones de corto alcance irrelevantes para la predicción en la escala siguiente. Esta estructura jerárquica constituye el lado de la OPT en la correspondencia MERA.

1.1 La Cascada de Cuellos de Botella de L Capas

Sea s \geq 2 un factor de grano grueso fijo y L el número total de capas de compresión. Definimos la cascada:

Z_t^{(0)} := X_{\partial_R A} \qquad \text{(capa 0: frontera de Markov completa, } H = B_0 \text{ bits)}

En cada capa subsiguiente \tau = 0, \ldots, L-1:

Z_t^{(\tau+1)} = \operatorname*{arg\,min}_{q} \left[ I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) - \beta_\tau\, I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \right]

\text{subject to: } I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) \leq B_\tau, \qquad B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}

El estado final es Z_t := Z_t^{(L)}, con B_L = B_0 \cdot s^{-L} bits. La cascada define una cadena de Markov:

X_{t+1:\infty} \;-\!\!-\; Z_t^{(0)} \;-\!\!-\; Z_t^{(1)} \;-\!\!-\; \cdots \;-\!\!-\; Z_t^{(L)} = Z_t

Por la desigualdad de procesamiento de datos, la información predictiva es monótonamente no creciente:

I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \geq I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right)

Cada capa pierde una cantidad controlada de información predictiva, controlada por el presupuesto de distorsión D_\tau del cuello de botella de esa capa.

1.2 Descomposición en Desentrelazar-y-luego-Engrosar

Cada transición de capa Z^{(\tau)} \to Z^{(\tau+1)} se descompone en dos pasos canónicos:

• Desentrelazamiento: Aplicar una reorganización reversible local modelada como una aplicación por permutación U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} sobre Z^{(\tau)} que lleva ramas mutuamente irrelevantes del Abanico Predictivo —ramas que no comparten información predictiva sobre el futuro— a posiciones adyacentes. Este paso clásico es reversible; no se pierde información.

• Engrosamiento (aplicación de cuello de botella): Particionar los estados en grupos de s y aplicar en cada grupo la aplicación clásica estocástica de compresión por cuello de botella W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}). La dimensión de enlace se fija como \chi = 2^{B_0/N}, donde N es el número de sitios de frontera. Para funcionar formalmente como una dimensión tensorial exacta de espacio de Hilbert discreto, en lugar de como una escala continua efectiva, el marco exige estrictamente la restricción diofántica 2^{B_0/N} \in \mathbb{Z}^+. Esto garantiza explícitamente que la dimensión entera exacta \chi produzca una entropía por sitio \log \chi = B_0/N geométricamente consistente con el programa de capacidad B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}. Nota: Las estructuras objetivo cuánticas utilizadas en §2 son la isometría MERA w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} (cuyo adjunto w_\tau^\dagger implementa el engrosamiento) y el desentrelazador u_\tau. Las aplicaciones de §1 W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}) y U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} son los objetos clásicos de la OPT. La incrustación que los conecta se establece en el Apéndice P-2.

La composición W_\tau \circ U_\tau en cada capa, apilada para \tau = 0, \ldots, L-1, constituye la red tensorial completa. Mostramos ahora que esto es precisamente MERA.

§2. MERA — Definiciones formales

Exponemos las definiciones pertinentes de Vidal (2008) [43] en una forma adecuada para el mapeo de la OPT.

2.1 Tensores

Una MERA para una cadena unidimensional de N sitios de borde con espacio de Hilbert local \mathbb{C}^\chi consta de L capas. Cada capa \tau contiene dos clases de tensor:

• Desentrelazadores u_\tau: tensores unitarios u_\tau: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2} \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2} que actúan sobre pares adyacentes de sitios. Eliminan el entrelazamiento de corto alcance sin cambiar la dimensión total del espacio de Hilbert. Unitariedad: u^\dagger u = u u^\dagger = I.

• Isometrías w_\tau: tensores w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} que satisfacen w_\tau^\dagger w_\tau = I_{\mathbb{C}^\chi} (isométrico: la aplicación es una inyección desde el espacio de grano grueso al espacio de grano fino). El adjunto w_\tau^\dagger: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} \to \mathbb{C}^\chi implementa el grano grueso, mapeando s sitios de grano fino a 1 sitio grueso.

La MERA completa mapea el estado superior |\psi_{\text{top}}\rangle \in \mathbb{C}^\chi (el bulk) al estado de borde |\psi_{\text{boundary}}\rangle \in (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes N} aplicando las capas desde el bulk hacia el borde, expandiendo cada capa el espacio de estados por un factor s.

2.2 El Cono Causal de MERA

El cono causal \mathcal{C}(x) de un sitio de borde x \in \{1, \ldots, N\} es el conjunto mínimo de tensores de la red cuyos valores pueden afectar a la matriz de densidad reducida \rho_x del sitio x. Se calcula de abajo hacia arriba (del bulk hacia el borde).

En la capa del bulk (profundidad \tau = L desde el borde): \mathcal{C}(x) contiene el único tensor superior. En cada capa subsiguiente que avanza hacia el borde, el cono causal se expande por un factor s en cada capa de isometría y como máximo por 2 en cada capa de disentanglers. La anchura de \mathcal{C}(x) a la profundidad de borde \tau desde la parte superior es:

w(\tau) = \mathcal{O}(s^\tau) \qquad \text{[crece exponencialmente desde el bulk hacia el borde]}

Para el MERA crítico (s = 2), la anchura del cono causal crece como 2^\tau a la profundidad \tau, y tras L capas alcanza la anchura completa del borde N = s^L.

2.3 Entropía de Entrelazamiento y el Corte Mínimo

Para una región de frontera contigua A de longitud |A| = l, la entropía de entrelazamiento S(A) en un estado MERA está acotada por el número de enlaces cortados por la superficie mínima \gamma_A a través del volumen de la red tensorial:

S(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi

donde |\gamma_A| es el número de enlaces en el corte mínimo y \chi es la dimensión del enlace. Para una MERA invariante de escala, |\gamma_A| \sim \frac{c}{3} \log l, recuperando la entropía de entrelazamiento de la CFT S(A) \sim \frac{c}{3} \log l con c/3 = \log \chi. Este es el análogo discreto de la fórmula de Ryu-Takayanagi en AdS/CFT.

§3. Teorema T-3a — Homomorfismo Estructural

Teorema T-3a (Homomorfismo MERA–OPT). La cascada de Cuello de Botella de Información de OPT de L capas \{Z_t^{(\tau)},\, \tau = 0, \ldots, L\}, con estado de frontera Z_t^{(0)} = X_{\partial_R A}, estado de bulk Z_t^{(L)} = Z_t, capacidad de capa B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau} y dimensión de enlace \chi = 2^{B_0/N}, es estructuralmente homomorfa a la topología por capas de una MERA con L capas, factor de escala s y dimensión de enlace \chi, bajo la siguiente correspondencia clásica formal: - (i) el coarse-graining de OPT W_\tau \;\leftrightarrow\; el adjunto de la isometría MERA w_\tau^\dagger - (ii) el disentangler de OPT U_\tau \;\leftrightarrow\; el disentangler MERA u_\tau

3.1 Demostración — Identificación de Isometría

El tensor de coarse-graining de la OPT en la capa \tau se calcula mediante la distribución condicional q^*(z^{(\tau+1)} \mid z^{(\tau)}) producida por la optimización del cuello de botella. Aunque el presupuesto informacional global impone una razón media de capacidad macroscópica de B_\tau / B_{\tau+1} = s, el cuello de botella estocástico clásico no fuerza de manera nativa una cardinalidad de fibra uniforme exacta (una preimagen discreta estricta de tamaño equivalentemente igual a s para cada salida z^{(\tau+1)}). Formalizar este paso explícito restringe, por tanto, la arquitectura al límite idealizado de mapeo ajustado (D \to 0), bajo el supuesto condicional de que los parámetros aíslan perfectamente estructuras informacionales uniformes.

Sin embargo, q^* representa una matriz clásica estocástica de probabilidades, no una matriz unitaria cuántica compleja. Afirmar la verdadera condición de isometría del espacio de Hilbert (W_\tau W_\tau^\dagger = I_{\mathbb{C}^\chi}) constituiría un error categorial. Una isometría parcial genuina requiere una incrustación explícita de estos estados discretos en una base computacional sobre \mathbb{C}^\chi. Apéndice P-2 (Correspondencia Cuántica Condicional) establece esta incrustación: el Teorema P-2.0 proporciona la identificación de la base computacional, y el Teorema P-2c demuestra que el mapa óptimo del cuello de botella en el límite ajustado actúa como una isometría parcial dentro del subespacio protegido por QECC. Condicionalmente al modelo local de ruido de P-2, el homomorfismo estructural se eleva a un isomorfismo genuino de red tensorial dentro del espacio de código. \blacksquare

3.2 Demostración — Identificación del Disentangler

El disentangler puramente clásico U_\tau se establece como una biyección local (una permutación del alfabeto de estados del grupo simétrico S_{|\mathcal{Z}|}) que reordena Z^{(\tau)} para minimizar las redundancias entre grupos (idénticamente: la información mutua) antes de aplicarles el grano grueso.

U_\tau = \operatorname*{arg\,min}_{U \in S_{|\mathcal{Z}|}} \sum_{j \neq k} I\!\left( U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, j} \,;\, U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, k} \right)

Esto coincide con el objetivo estructural del disentangler de MERA: eliminar el entrelazamiento de corto alcance (correlaciones entre grupos adyacentes) antes del grano grueso. La unitariedad compleja verdadera (U^\dagger U = I) se establece mediante el Teorema P-2.0 (Apéndice P-2): bajo la incrustación en la base computacional, la permutación U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} se eleva de manera única a una matriz unitaria en U(\mathbb{C}^\chi) a través de la representación por permutación.

Salvedad (Permutación vs. Unitaria General). El Teorema P-2.0 eleva los disentanglers de OPT al subgrupo de permutaciones de U(\mathbb{C}^\chi), no al grupo unitario completo. Los disentanglers estándar de MERA son unitarias generales u_\tau \in U(\mathbb{C}^\chi \otimes \mathbb{C}^\chi); el subgrupo de permutaciones es un subconjunto estricto (|S_\chi| = \chi! frente a \dim U(\chi) = \chi^2 parámetros continuos). El isomorfismo establecido por P-2.0+P-2c es, por tanto, con MERA por permutación — una subclase restringida. Extenderlo a MERA completo requeriría identificar un mecanismo nativo de OPT que genere unitarias generales en lugar de permutaciones. Esta laguna no afecta la cota entrópica de RT (P-2d), que depende solo de la condición de isometría P-2c, no de la clase de disentangler. \blacksquare

Diccionario de Isomorfismo MERA–OPT

§4. Teorema T-3b — Identidad del Cono Causal

Teorema T-3b (Correspondencia del Cono Causal). Bajo el homomorfismo de T-3a, el Cono Causal Informacional de la OPT (preprint §3.3) se corresponde estructuralmente (en el escalado por orden de magnitud) con el cono causal de MERA. La apertura presente Z_t se mapea al tensor superior del bulk; el Registro Causal establecido \mathcal{R}_t corresponde a los estados pasados del bulk; el Abanico Predictivo \mathcal{F}_h(z_t) corresponde a los grados de libertad no renormalizados en la frontera de MERA a h capas del presente.

4.1 Dirección de la Correspondencia

Hay una sutileza de orientación que debe enunciarse con precisión. En MERA, la red va desde la frontera (UV, de grano fino) hacia el bulk (IR, de grano grueso). En la Teoría del Parche Ordenado (OPT), el Cono Causal Informacional va desde el pasado (asentado, comprimido), a través de la apertura presente, hacia el futuro (Abanico Predictivo, no resuelto). La correspondencia es:

4.2 Demostración — Anchura del Cono Causal = Capacidad del Abanico Predictivo

En MERA, el cono causal del estado bulk Z_t (a una profundidad L desde la frontera) se expande a medida que se desplaza hacia la frontera: a una profundidad de \tau capas desde la parte superior, el cono tiene una anchura de s^\tau. Esto cuenta el número de sitios de frontera que pueden influir independientemente en Z_t.

En OPT, el Abanico Predictivo \mathcal{F}_h(z_t) a una profundidad de h pasos temporales desde la apertura presente contiene como máximo 2^{B \cdot h} estados futuros distinguibles (preprint, Ec. 5: \log|\mathcal{F}_h| \leq Bh). La profundidad de capa en MERA corresponde a \tau = h. Observamos una discrepancia de cotas exponencial frente a lineal (s^\tau \cdot B/L bits en MERA vía expansión de escala frente a B \tau en el Abanico Predictivo vía acreción cronológica). La anchura del cono causal y la capacidad del Abanico Predictivo de OPT concuerdan sólidamente en orden de magnitud, pero encuentran una concordancia exacta estricta solo en el límite de un códec de una sola capa (L=1). Además, identificar la topología pasiva de MERA con el Abanico Predictivo dependiente de la acción implica que estamos operando exclusivamente dentro del límite del observador pasivo (a \equiv \text{const}). \blacksquare

4.3 Demostración — Registro Causal = Bulk Pasado

El Registro Causal asentado \mathcal{R}_t = (Z_0, Z_1, \ldots, Z_t) (preprint §3.3) consiste en todos los estados comprimidos pasados: los estados del bulk que ya han sido renderizados en el pasado asentado. En MERA, estos corresponden a la secuencia de estados pasados del bulk conectados por la dinámica temporal del códec K_\theta (preprint Ec. 6). El carácter asentado y de baja entropía de \mathcal{R}_t corresponde al hecho de que los estados del bulk en MERA tienen baja entropía de entrelazamiento por construcción: son el resultado de grano grueso del procedimiento de desentrelazamiento. \blacksquare

§5. Teorema T-3c — El Abanico Predictivo como UV de frontera y la fórmula discreta de Ryu-Takayanagi

Teorema T-3c (Abanico Predictivo = UV de frontera; RT discreta).

1. El Abanico Predictivo \mathcal{F}_h(z_t) se corresponde probabilísticamente con el conjunto de grados de libertad no renormalizados en la frontera de MERA —la capa UV de frontera de la MERA aplicada al códec en el paso temporal t + h.

2. Límite clásico de procesamiento de datos (cota de corte en el bulk): la entropía de corte predictiva, evaluada correctamente en la capa interna de corte mínimo del bulk, satisface explícitamente: S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \log \chi

3. Extensión RT cuántica discreta (condicionada a la incrustación P-2d):

\boxed{S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi}

donde \gamma_A es la superficie de corte mínimo en el bulk de MERA y \chi = 2^{B_0/N} es la dimensión de enlace. Esta cota vale de manera condicional bajo la isometría P-2d; se reduce a la cota clásica de corte en el bulk de la parte (b) cuando la estructura cuántica no está disponible.

5.1 Demostración — Abanico Predictivo como UV de frontera

La capa UV de frontera de MERA en el tiempo t+h consiste en todos los estados de entrada posibles X_{\partial_R A}^{(t+h)} —los estados de frontera de grano fino, no sometidos a coarse-graining, que serán procesados por el códec durante los próximos h pasos temporales. Por la estructura en cascada, estos son exactamente los estados alcanzables desde la apertura presente Z_t = Z_t^{(L)} al ejecutar MERA en sentido inverso (del bulk hacia la frontera) durante h capas; es decir, al expandir el cono causal de Z_t durante h pasos.

El Abanico Predictivo \mathcal{F}_h(z_t) se define en el preprint (§3.3) como:

\mathcal{F}_h(z_t) := \left\{ z_{t+1:t+h} : p(z_{t+1:t+h} \mid z_t,\, a_{t:t+h-1}) > 0 \right\}

Estas son precisamente las secuencias de estados del bulk alcanzables desde Z_t dentro de h capas de MERA al operar la cascada probabilísticamente en la dirección expandida. La identificación requiere que MERA se evalúe en ambas direcciones —frontera \to bulk (compresión pasada) y bulk \to frontera (expansión futura)—. El Abanico Predictivo corresponde explícitamente a la segunda dirección, que es el conjunto soporte exacto de la expansión del cono causal del estado del bulk hacia la UV de frontera, bajo la identificación por inversión temporal señalada correctamente en §4.1. \blacksquare

5.2 Demostración — Cota Mapeada Discreta de Ryu-Takayanagi

Sean A y \bar{A} = V \setminus A una bipartición de la frontera. Sea \tau^* la capa mínima en la que la interfaz A/\bar{A} queda exactamente seccionada en la red tensorial (la capa de corte mínimo). En esta capa, la capacidad local del cuello de botella de información mutua queda estrictamente limitada por la capacidad de esos enlaces seccionados:

S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi \qquad (\text{Cota bulk intergrupal})

Aunque esto establece con éxito la cota discreta de capacidad de Ryu-Takayanagi exactamente en la capa bulk de corte mínimo, llevar formalmente esta cota hacia arriba para limitar la entropía de corte predictivo de la frontera exterior S_{\text{cut}}(A) = S_{\text{cut}}^{(0)}(A) no puede lograrse mediante la Desigualdad de Procesamiento de Datos, ya que la DPI exige que la entropía disminuya monótonamente, no que aumente, a medida que comprimimos hacia abajo: S_{\text{cut}}^{(0)} \geq S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}.

La vía correcta hacia la cota discreta RT completa buscada en la frontera (S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi) requiere acotar el rango de Schmidt a través de la bipartición, una estrategia que exige tratar la red como si construyera el estado de frontera mediante isometrías lineales genuinas. Esto queda ahora establecido en el Apéndice P-2: el Teorema P-2d demuestra la fórmula cuántica discreta de Ryu-Takayanagi mediante la descomposición de Schmidt del estado MERA a través del corte mínimo, condicionada a la condición de isometría de P-2c. \blacksquare (condicionado a la isometría de P-2d).

§6. La Escalera Epistémica — De la RT clásica a la cuántica

Los tres teoremas anteriores establecen la estructura MERA en el nivel clásico de la teoría de la información. La Escalera Epistémica de la §3.4 del preprint describe las condiciones bajo las cuales puede ascenderse cada peldaño.

La fórmula de RT cuántica requiere sustituir la entropía clásica del corte predictivo I(X_A;\, X_{V \setminus A}) por la entropía de entrelazamiento de von Neumann S_{\text{vN}}(\rho_A) de una matriz de densidad \rho_A. Esto presupone una estructura de espacio de Hilbert para el espacio de estados de Z_t. La derivación de esta estructura —mediante el argumento ADH de corrección cuántica de errores (preprint P-2)— sigue siendo el siguiente paso formal. Una vez que P-2 quede cerrado, la dimensión de enlace \chi = 2^{B_0/N} pasa a ser una dimensión de enlace cuántica, y la información mutua clásica en la demostración de T-3c se sustituye por información mutua cuántica, recuperando la fórmula completa de RT cuántica con el término de corrección del bulk S_{\text{bulk}}.

§7. Geometría de Volumen Emergente a partir de la Distancia de Código

La geometría de volumen de MERA no es un contenedor preexistente. Bajo el isomorfismo de T-3a, es el espacio métrico informacional del códec: la geometría de las distancias de compresión.

7.1 Distancia de Código como Métrica del Bulk

Defínase la distancia de código entera discreta d(z^{(\tau)}, z'^{(\tau)}) entre dos estados en la capa \tau de la cascada como el número mínimo de intercambios de disentanglers requerido para conectarlos dentro de la red tensorial.

Bajo un límite termodinámico o continuo apropiado (N \to \infty, a \to 0), podría aproximarse la métrica del bulk g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) en la escala continua de capa espacial \tau como:

g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) \propto \lim_{a \to 0} \frac{d\!\left(z_i^{(\tau)},\, z_j^{(\tau)}\right)^2}{d\!\left(z_i^{(0)},\, z_j^{(0)}\right)^2}

Esta es una expectativa estructural, condicionada por la invariancia de escala de la cascada y por la suposición de que la MERA por Permutación es continuamente aproximable por una MERA general en el límite continuo —en consonancia con los resultados conocidos de Swingle (2012) y Nozaki-Ryu-Takayanagi (2012), pero no garantizada para una cascada discreta con un número finito de capas. Así, bajo estas conjeturas de límite continuo, esperamos que la geometría del espaciotiempo se curve precisamente allí donde la distancia de código diverge; es decir, donde la tasa predictiva R_\text{req} se aproxima a C_\text{max}, en consonancia estratégica con la identificación del desbordamiento tasa-distorsión de T-2.

7.2 Conexión con T-2

T-2 estableció que la curvatura gravitacional G_{\mu\nu} es la derivada métrica de la entropía de renderizado S_{\text{render}}. La estructura MERA especifica ahora el origen microscópico de S_{\text{render}}: es la entropía de corte mínimo |\gamma_A| \log \chi, y el tensor de Einstein G_{\mu\nu} es la respuesta de esta entropía de corte a perturbaciones métricas en la geometría del bulk inducidas por la distancia del código. Los dos apéndices son, por tanto, consistentes: T-2 proporciona las ecuaciones de campo macroscópicas; T-3 proporciona el origen microscópico, en red tensorial, del funcional entrópico que estas extremizan.

§8. Resumen de cierre y frentes abiertos

Entregables T-3 — Parcialmente resueltos → Condicionalmente mejorados (con P-2)

1. T-3a (isomorfismo MERA). La cascada de cuellos de botella de L capas de la OPT es estructuralmente homomorfa a una MERA con factor de capa s y profundidad L. Con el Apéndice P-2 (Teoremas P-2.0 y P-2c), esto se eleva a un isomorfismo de red tensorial dentro del subespacio protegido por QECC, condicionado a ruido local. Nota: El isomorfismo corresponde a una MERA de permutación (disentanglers en el subgrupo de permutación de U(\mathbb{C}^\chi)), no a una MERA general con disentanglers unitarios arbitrarios. Esta restricción no afecta la cota RT (P-2d), pero limita la correspondencia a una subclase de redes MERA.

2. T-3b (correspondencia de cono causal). El Cono Causal Informacional escala con simetría de orden de magnitud respecto de la estructura de cono causal de MERA dentro del límite de observador pasivo, aunque los perfiles de profundidad difieren. El Abanico Predictivo corresponde a datos de frontera no renormalizados. (El resultado de isometría de P-2 se aplica dentro del límite de observador pasivo; los términos dependientes de la acción a_{t:t+h-1} en la definición del Abanico Predictivo requieren una extensión a sistemas abiertos que P-2 no aborda.)

3. T-3c (RT cuántica discreta). La prueba original basada en DPI acotaba el bulk pero no la entropía de frontera. Con la isometría de P-2c, el Teorema P-2d establece la cota completa de frontera S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi mediante el rango de Schmidt del estado MERA.

4. Geometría emergente del bulk. La métrica del bulk MERA g_{ij}^{\text{bulk}} se induce a partir de la distancia de código en la cascada. El espaciotiempo se curva allí donde la distancia de código diverge, en consonancia con la identificación de T-2 de G_{\mu\nu} como la derivada métrica de la entropía de renderizado. (Sigue siendo necesario un límite continuo.)

5. Estado de la Escalera Epistémica. El peldaño 2 (RT cuántica discreta) queda ahora demostrado mediante P-2d. El peldaño 3 (RT cuántica completa con corrección de bulk) requiere un límite continuo que aún no se ha derivado a partir de las primitivas de la OPT.

Frentes abiertos habilitados por este cierre

• P-2 (Regla de Born / Espacio de Hilbert) tiene ahora su punto exacto de entrada: la dimensión de enlace \chi debe incrustarse como dimensión de un espacio de Hilbert cuántico. Una vez que la corrección de errores ADH fuerza la estructura lógica de qubit, el enlace clásico \chi = 2^{B_0/N} se eleva a un enlace cuántico con entropía de von Neumann, y la RT discreta de T-3c pasa a ser la RT cuántica completa con corrección de bulk S_{\text{bulk}}.

• P-3 (Holografía Asimétrica): la reconstrucción del bulk MERA y la desigualdad de Fano tienen ahora un mismo hogar formal. La desigualdad de Fano (preprint §3.10) acota la capacidad del observador para reconstruir el sustrato desde dentro del renderizado — precisamente la irreversibilidad del mapa MERA (frontera \to bulk es el códec; la inversión bulk \to frontera es imposible más allá de la profundidad de corte mínimo \tau^*).

• T-5 (Recuperación de Constantes): la dimensión de enlace \chi = 2^{B_0/N} y el factor de coarse-graining s proporcionan nuevas restricciones sobre las constantes adimensionales. En particular, s = 2 y L = \log_s(B_0/B_L) deben ser consistentes con la identificación a escala de Planck l_{\text{codec}} = l_P de T-2, lo que restringe la razón B_0/B_L.

• §8.3 preprint item 3 (MERA/conjunto causal): mapear formalmente las capas de frontera MERA del Abanico Predictivo al marco de conjuntos causales para extraer propiedades métricas del espaciotiempo percibido puramente a partir de la secuenciación del códec. La métrica de distancia de código g_{ij}^{\text{bulk}} de §7 es el punto de partida.

Este apéndice se mantiene como parte del repositorio del proyecto OPT junto con theoretical_roadmap.pdf. Referencias: Vidal (2008) [43], Pastawski et al. (2015) [44], Almheiri-Dong-Harlow (2015) [42], Tishby et al. (1999) [28], Ryu-Takayanagi (2006).