Teorie uspořádaného patche

Původní úkol T-3: Tenzorové sítě MERA a kauzální kužel Problém: OPT navrhuje Informační kauzální kužel složený ze sekvenční komprese, opírá se však o vlastní geometrický popis namísto standardních kvantových tenzorových formalismů. Výstup: Formální mapování Informačního kauzálního kužele OPT na strukturu tenzorové sítě MERA.

Stav uzavření: PODMÍNĚNÝ IZOMORFISMUS (strukturální homomorfismus potvrzen; striktní fyzikální izomorfismus podmíněně povýšen prostřednictvím P-2). Tento dodatek předkládá cílové strukturální mapování požadované úkolem T-3. Tři teorémy ustavují silnou topologickou analogii: (T-3a) iterativní coarse-graining Filtru stability OPT je strukturálně homomorfní tenzorové síti MERA; (T-3b) Informační kauzální kužel z §3.3 odpovídá v řádu velikosti kauzálnímu kuželu MERA; a (T-3c) Prediktivní Množina Větví se strukturálně mapuje na nerenormalizované hraniční stupně volnosti. Matematické povýšení tohoto čistě stochastického strukturálního homomorfismu na striktní izometrie Hilbertova prostoru vyžadované pro skutečnou diskrétní mez Ryu–Takayanagi původně zůstávalo otevřené, nyní je však podmíněně vyřešeno prostřednictvím explicitního vnoření do výpočetní báze a přemosťujících postulátů Identifikace izometrie, zavedených postupně v problému P-2.

§1. Vícevrstvá kompresní struktura

§3.3 preprintu definuje pozorovatele v rámci Teorie uspořádaného patche (OPT) pomocí jediné optimalizace úzkého hrdla (rovn. 4): komprimovaný stav Z_t \in \{1, \ldots, 2^B\} je vybrán z úplného hraničního stavu X_t tak, aby maximalizoval prediktivní informaci při minimální délce popisu. Co však §3.3 nevyjadřuje explicitně, je skutečnost, že cesta od X_{\partial A} k Z_t se přirozeně rozkládá do kaskády kompresních vrstev — z nichž každá odstraňuje korelace krátkého dosahu, které jsou pro predikci na následující škále irelevantní. Tato hierarchická struktura představuje optickou stranu korespondence MERA.

1.1 Kaskáda úzkého hrdla o L vrstvách

Nechť s \geq 2 je pevně zvolený faktor hrubozrnnění a L celkový počet kompresních vrstev. Definujme kaskádu:

Z_t^{(0)} := X_{\partial_R A} \qquad \text{(vrstva 0: plná Markovova hranice, } H = B_0 \text{ bitů)}

V každé následující vrstvě \tau = 0, \ldots, L-1:

Z_t^{(\tau+1)} = \operatorname*{arg\,min}_{q} \left[ I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) - \beta_\tau\, I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \right]

\text{za podmínky: } I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) \leq B_\tau, \qquad B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}

Konečný stav je Z_t := Z_t^{(L)}, přičemž B_L = B_0 \cdot s^{-L} bitů. Kaskáda definuje Markovův řetězec:

X_{t+1:\infty} \;-\!\!-\; Z_t^{(0)} \;-\!\!-\; Z_t^{(1)} \;-\!\!-\; \cdots \;-\!\!-\; Z_t^{(L)} = Z_t

Podle nerovnosti zpracování informace je prediktivní informace monotonně neklesající v opačném směru, tj. monotonně nerostoucí:

I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \geq I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right)

Každá vrstva ztrácí řízené množství prediktivní informace — řízené rozpočtem zkreslení D_\tau úzkého hrdla dané vrstvy.

1.2 Rozklad na disentangle-then-coarsen

Každý přechod mezi vrstvami Z^{(\tau)} \to Z^{(\tau+1)} se rozkládá na dva kanonické kroky:

• Rozpletení: Aplikujte lokální reverzibilní přeuspořádání modelované jako permutační zobrazení U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} na Z^{(\tau)}, které přivede vzájemně irelevantní větve Prediktivní Množiny Větví — větve nesdílející žádnou prediktivní informaci o budoucnosti — do sousedních pozic. Tento klasický krok je reverzibilní; žádná informace se neztrácí.

• Hrubozrnnění (bottleneckové zobrazení): Rozdělte stavy do skupin po s a na každou skupinu aplikujte klasické stochastické bottleneckové kompresní zobrazení W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}). Dimenze vazby je pevně dána jako \chi = 2^{B_0/N}, kde N je počet hraničních míst. Aby formálně fungovala jako přesná diskrétní tenzorová dimenze Hilbertova prostoru, a nikoli jako efektivní spojitá škála, rámec striktně vyžaduje diofantickou podmínku 2^{B_0/N} \in \mathbb{Z}^+. Tím je explicitně zajištěno, že přesná celočíselná dimenze \chi dává entropii na jedno místo \log \chi = B_0/N, která je geometricky konzistentní s rozvrhem kapacity B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}. Poznámka: Kvantové cílové struktury použité v §2 jsou izometrie MERA w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} (jejíž adjungované zobrazení w_\tau^\dagger implementuje hrubozrnnění) a disentangler u_\tau. Zobrazení z §1, W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}) a U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|}, jsou klasické objekty OPT. Vnoření, které je propojuje, je zavedeno v dodatku P-2.

Složení W_\tau \circ U_\tau v každé vrstvě, navrstvené pro \tau = 0, \ldots, L-1, tvoří úplnou tenzorovou síť. Nyní ukážeme, že jde přesně o MERA.

§2. MERA — formální definice

Uvádíme příslušné definice podle Vidala (2008) [43] ve formě vhodné pro mapování OPT.

2.1 Tensory

MERA pro 1D řetězec N hraničních míst s lokálním Hilbertovým prostorem \mathbb{C}^\chi se skládá z L vrstev. Každá vrstva \tau obsahuje dvě třídy tensorů:

• Disentanglery u_\tau: unitární tensory u_\tau: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2} \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2} působící na sousední dvojice míst. Odstraňují krátkodosahové provázání, aniž by měnily celkovou dimenzi Hilbertova prostoru. Unitarita: u^\dagger u = u u^\dagger = I.

• Izometrie w_\tau: tensory w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} splňující w_\tau^\dagger w_\tau = I_{\mathbb{C}^\chi} (izometrické: zobrazení je injekcí z hrubě zrnitého prostoru do jemně zrnitého prostoru). Adjungované zobrazení w_\tau^\dagger: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} \to \mathbb{C}^\chi provádí hrubé zrnění a mapuje s jemně zrnitých míst na 1 hrubé místo.

Celá MERA mapuje vrcholový stav |\psi_{\text{top}}\rangle \in \mathbb{C}^\chi (bulk) na hraniční stav |\psi_{\text{boundary}}\rangle \in (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes N} aplikací vrstev od bulku k hranici, přičemž každá vrstva rozšiřuje stavový prostor faktorem s.

2.2 Kauzální kužel MERA

Kauzální kužel \mathcal{C}(x) hraničního místa x \in \{1, \ldots, N\} je minimální množina tenzorů v síti, jejichž hodnoty mohou ovlivnit redukovanou matici hustoty \rho_x místa x. Počítá se zdola nahoru (z bulku směrem k hranici).

V bulkové vrstvě (hloubka \tau = L od hranice): \mathcal{C}(x) obsahuje jediný vrcholový tenzor. V každé následující vrstvě směrem k hranici se kauzální kužel rozšiřuje o faktor s v každé vrstvě izometrií a nejvýše o faktor 2 v každé vrstvě disentanglerů. Šířka \mathcal{C}(x) v hraniční hloubce \tau od vrcholu je:

w(\tau) = \mathcal{O}(s^\tau) \qquad \text{[roste exponenciálně z bulku směrem k hranici]}

Pro kritickou MERA (s = 2) roste šířka kauzálního kužele v hloubce \tau jako 2^\tau a po L vrstvách dosáhne plné šířky hranice N = s^L.

2.3 Entropie provázání a minimální řez

Pro souvislou hraniční oblast A o délce |A| = l je entropie provázání S(A) ve stavu MERA omezena počtem vazeb protnutých minimální plochou \gamma_A procházející bulkem tenzorové sítě:

S(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi

kde |\gamma_A| je počet vazeb v minimálním řezu a \chi je dimenze vazby. Pro škálově invariantní MERA platí |\gamma_A| \sim \frac{c}{3} \log l, čímž se reprodukuje CFT entropie provázání S(A) \sim \frac{c}{3} \log l s c/3 = \log \chi. Jde o diskrétní analogii formule Ryu-Takayanagi v AdS/CFT.

§3. Věta T-3a — Strukturální homomorfismus

Věta T-3a (homomorfismus MERA–OPT). Kaskáda Information Bottleneck o L vrstvách v OPT \{Z_t^{(\tau)},\, \tau = 0, \ldots, L\} s okrajovým stavem Z_t^{(0)} = X_{\partial_R A}, objemovým stavem Z_t^{(L)} = Z_t, kapacitou vrstvy B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau} a dimenzí vazby \chi = 2^{B_0/N} je strukturně homomorfní k topologii vrstev MERA s L vrstvami, škálovacím faktorem s a dimenzí vazby \chi při následujícím formálním klasickém zobrazení: - (i) hrubozrnnění v OPT W_\tau \;\leftrightarrow\; adjungovaná izometrie MERA w_\tau^\dagger - (ii) disentangler v OPT U_\tau \;\leftrightarrow\; disentangler MERA u_\tau

3.1 Důkaz — Identifikace izometrie

Tensor hrubozrnnění OPT na vrstvě \tau se počítá prostřednictvím podmíněného rozdělení q^*(z^{(\tau+1)} \mid z^{(\tau)}), které vzniká optimalizací bottlenecku. Zatímco celkový informační rozpočet vynucuje průměrný makroskopický poměr kapacit B_\tau / B_{\tau+1} = s, klasický stochastický bottleneck sám o sobě nativně nevynucuje přesně uniformní kardinalitu vláken (tj. striktní diskrétní obraz preimage o velikosti ekvivalentně odpovídající s pro každý výstup z^{(\tau+1)}). Formalizace tohoto explicitního kroku proto omezuje architekturu na idealizovanou mez těsného zobrazení (D \to 0), za podmíněného předpokladu, že parametry dokonale izolují uniformní informační struktury.

q^* však představuje klasickou stochastickou matici pravděpodobností, nikoli komplexní kvantovou unitární matici. Tvrdit skutečnou podmínku izometrie v Hilbertově prostoru (W_\tau W_\tau^\dagger = I_{\mathbb{C}^\chi}) by bylo kategoriální chybou. Skutečná parciální izometrie vyžaduje explicitní vnoření těchto diskrétních stavů do výpočetní báze na \mathbb{C}^\chi. Dodatek P-2 (Podmíněná kvantová korespondence) toto vnoření zavádí: Věta P-2.0 poskytuje identifikaci výpočetní báze a Věta P-2c dokazuje, že optimální bottleneckové zobrazení v těsné limitě působí jako parciální izometrie uvnitř podprostoru chráněného QECC. Za podmínky lokálního modelu šumu z P-2 se strukturální homomorfismus povyšuje na skutečný izomorfismus tenzorové sítě uvnitř kódového prostoru. \blacksquare

3.2 Důkaz — identifikace disentangleru

Čistě klasický disentangler U_\tau je zaveden jako lokální bijekce (permutace stavové abecedy ze symetrické grupy S_{|\mathcal{Z}|}), která přeuspořádává Z^{(\tau)} tak, aby před jejich coarse-grainingem minimalizovala redundance mezi skupinami (ekvivalentně: vzájemnou informaci).

U_\tau = \operatorname*{arg\,min}_{U \in S_{|\mathcal{Z}|}} \sum_{j \neq k} I\!\left( U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, j} \,;\, U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, k} \right)

To odpovídá strukturálnímu cíli disentangleru v MERA: odstranit krátkodosahové provázání (korelace mezi sousedními skupinami) před coarse-grainingem. Skutečná komplexní unitarita (U^\dagger U = I) je zavedena Větou P-2.0 (Dodatek P-2): při vnoření do výpočetní báze se permutace U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} prostřednictvím permutační reprezentace jednoznačně pozvedá na unitární matici v U(\mathbb{C}^\chi).

Výhrada (permutace vs. obecná unitarita). Věta P-2.0 pozvedá disentanglery OPT do permutační podgrupy U(\mathbb{C}^\chi), nikoli do celé unitární grupy. Standardní disentanglery MERA jsou obecné unitární operátory u_\tau \in U(\mathbb{C}^\chi \otimes \mathbb{C}^\chi); permutační podgrupa je vlastní podmnožinou (|S_\chi| = \chi! oproti \dim U(\chi) = \chi^2 spojitým parametrům). Izomorfismus zavedený pomocí P-2.0+P-2c je tedy izomorfismem k permutační MERA — omezené podtřídě. Rozšíření na plnou MERA by vyžadovalo identifikaci mechanismu vlastnímu OPT, který generuje obecné unitární operátory namísto permutací. Tato mezera neovlivňuje entropickou mez RT (P-2d), která závisí pouze na podmínce izometrie P-2c, nikoli na třídě disentanglerů. \blacksquare

Slovník izomorfismu MERA–OPT

§4. Věta T-3b — Identita kauzálního kužele

Věta T-3b (Korespondence kauzálních kuželů). Za homomorfismu z T-3a Informační kauzální kužel OPT (preprint §3.3) strukturálně odpovídá (ve škálování podle řádu velikosti) kauzálnímu kuželu MERA. Současná apertura Z_t se mapuje na horní tenzor v bulk prostoru; ustálený Kauzální záznam \mathcal{R}_t odpovídá minulým stavům bulk prostoru; Prediktivní Množina Větví \mathcal{F}_h(z_t) odpovídá nerenormalizovaným stupňům volnosti na hranici MERA ve vzdálenosti h vrstev od přítomnosti.

4.1 Směr korespondence

Je zde jemná orientační nuance, kterou je nutné vyjádřit přesně. V MERA síť probíhá od hranice (UV, jemně rozlišené) do bulk prostoru (IR, hrubě rozlišené). V OPT probíhá Informační kauzální kužel od minulosti (ustálené, komprimované) skrze přítomnou aperturu do budoucnosti (Prediktivní Množina Větví, nevyřešené). Korespondence je následující:

4.2 Důkaz — Šířka kauzálního kužele = kapacita Prediktivní Množiny Větví

V MERA se kauzální kužel objemového stavu Z_t (v hloubce L od hranice) při pohybu směrem k hranici rozšiřuje: v hloubce \tau vrstev od vrcholu má kužel šířku s^\tau. To udává počet hraničních míst, která mohou nezávisle ovlivňovat Z_t.

V OPT obsahuje Prediktivní Množina Větví \mathcal{F}_h(z_t) v hloubce h časových kroků od současné apertury nanejvýš 2^{B \cdot h} rozlišitelných budoucích stavů (preprint, rovnice 5: \log|\mathcal{F}_h| \leq Bh). Hloubka vrstev MERA odpovídá \tau = h. Pozorujeme nesoulad mezi exponenciálním a lineárním omezením (s^\tau \cdot B/L bitů v MERA prostřednictvím škálového rozšíření oproti B \tau v Prediktivní Množině Větví prostřednictvím chronologické akrece). Šířka kauzálního kužele a kapacita Prediktivní Množiny Větví v OPT se robustně shodují v řádu velikosti, avšak přísné přesné shody dosahují pouze v limitě jednovrstvého kodeku (L=1). Dále platí, že ztotožnění pasivní topologie MERA s na akci závislou Prediktivní Množinou Větví implikuje, že operujeme výhradně v limitě pasivního pozorovatele (a \equiv \text{const}). \blacksquare

4.3 Důkaz — Kauzální záznam = minulý bulk

Ustálený Kauzální záznam \mathcal{R}_t = (Z_0, Z_1, \ldots, Z_t) (preprint §3.3) se skládá ze všech minulých komprimovaných stavů — tedy z bulkových stavů, které již byly vyrenderovány do ustálené minulosti. V MERA tyto stavy odpovídají posloupnosti minulých bulkových stavů propojených časovou dynamikou kodeku K_\theta (preprint, rovnice 6). Ustálený, nízkoentropický charakter \mathcal{R}_t odpovídá tomu, že bulkové stavy v MERA mají z konstrukce nízkou entropii provázání — jsou totiž hrubozrnným výsledkem procedury rozplétání. \blacksquare

§5. Věta T-3c — Prediktivní Množina Větví jako hraniční UV a diskrétní formule Ryu–Takayanagi

Věta T-3c (Prediktivní Množina Větví = hraniční UV; diskrétní RT).

1. Prediktivní Množina Větví \mathcal{F}_h(z_t) se pravděpodobnostně zobrazuje na množinu nerenormalizovaných stupňů volnosti na hranici MERA — hraniční UV vrstvu MERA aplikovanou na kodek v časovém kroku t + h.

2. Klasická mez zpracování dat (mez řezu v bulku): entropie prediktivního řezu, správně vyhodnocená na vrstvě minimálního řezu ve vnitřním bulku, explicitně splňuje: S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \log \chi

3. Diskrétní kvantové RT rozšíření (podmíněné vnořením P-2d):

\boxed{S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi}

kde \gamma_A je plocha minimálního řezu v bulku MERA a \chi = 2^{B_0/N} je dimenze vazby. Tato mez platí podmíněně na izometrii P-2d; pokud kvantová struktura není k dispozici, redukuje se na klasickou mez řezu v bulku z části (b).

5.1 Důkaz — Prediktivní Množina Větví jako hraniční UV vrstva

Hraniční UV vrstva MERA v čase t+h se skládá ze všech možných vstupních stavů X_{\partial_R A}^{(t+h)} — jemně rozlišených, nezhutněných hraničních stavů, které bude kodek zpracovávat během následujících h časových kroků. Vzhledem ke kaskádové struktuře jsou to přesně ty stavy, jichž lze dosáhnout z přítomné apertury Z_t = Z_t^{(L)} spuštěním MERA v opačném směru (z bulku směrem k hranici) po dobu h vrstev — tj. rozvinutím kauzálního kužele Z_t o h kroků.

Prediktivní Množina Větví \mathcal{F}_h(z_t) je v preprintu (§3.3) definována takto:

\mathcal{F}_h(z_t) := \left\{ z_{t+1:t+h} : p(z_{t+1:t+h} \mid z_t,\, a_{t:t+h-1}) > 0 \right\}

Jde přesně o posloupnosti stavů bulku dosažitelné ze Z_t v rámci h vrstev MERA při pravděpodobnostním provozování kaskády v expandovaném směru. Tato identifikace vyžaduje, aby byla MERA vyhodnocována v obou směrech — hranice \to bulk (komprese minulosti) a bulk \to hranice (expanze budoucnosti). Prediktivní Množina Větví explicitně odpovídá druhému směru, který je přesně nosnou množinou expanze kauzálního kužele stavem bulku směrem k hraniční UV vrstvě, při identifikaci časového obrácení náležitě uvedené v §4.1. \blacksquare

5.2 Důkaz — mapovaná mez diskrétního Ryuova-Takayanagiho vztahu

Nechť A a \bar{A} = V \setminus A tvoří bipartici hranice. Nechť \tau^* je minimální vrstva, v níž je rozhraní A/\bar{A} v tenzorové síti přesně přerušeno (vrstva minimálního řezu). V této vrstvě je kapacita lokálního úzkého hrdla vzájemné informace striktně omezena kapacitou těchto přerušených vazeb:

S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi \qquad (\text{mez bulk mezi skupinami})

Ačkoli to úspěšně přesně stanoví diskrétní kapacitní mez Ryuova-Takayanagiho vztahu v bulkové vrstvě minimálního řezu, formálně přenést tuto mez směrem vzhůru tak, aby omezovala entropii prediktivního řezu na vnější hranici S_{\text{cut}}(A) = S_{\text{cut}}^{(0)}(A), nelze pomocí nerovnosti zpracování dat (Data Processing Inequality), protože DPI vyžaduje, aby entropie při kompresi směrem dolů monotonně klesala, nikoli rostla: S_{\text{cut}}^{(0)} \geq S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}.

Správná cesta k úplné cílové diskrétní RT mezi na hranici (S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi) vyžaduje omezit Schmidtovu hodnost napříč biparticí — strategii, která vyžaduje chápat síť tak, že konstruuje hraniční stav prostřednictvím skutečných lineárních izometrií. To je nyní stanoveno v Dodatku P-2: Věta P-2d dokazuje diskrétní kvantovou formuli Ryuova-Takayanagiho vztahu pomocí Schmidtova rozkladu stavu MERA přes minimální řez, za podmínky izometrické podmínky z P-2c. \blacksquare (za podmínky izometrie P-2d).

§6. Epistemický žebřík — od klasického k kvantovému RT

Tři výše uvedené teorémy ustavují strukturu MERA na klasické informačně-teoretické úrovni. Epistemický žebřík v §3.4 preprintu popisuje podmínky, za nichž lze vystoupat na jednotlivé příčky.

Kvantová formule RT vyžaduje nahradit klasickou entropii prediktivního řezu I(X_A;\, X_{V \setminus A}) von Neumannovou entropií provázání S_{\text{vN}}(\rho_A) hustotní matice \rho_A. To předpokládá Hilbertovský prostorový rámec pro stavový prostor Z_t. Odvození této struktury — prostřednictvím argumentu ADH o kvantové korekci chyb (preprint P-2) — zůstává dalším formálním krokem. Jakmile bude P-2 uzavřen, dimenze vazby \chi = 2^{B_0/N} se stane kvantovou dimenzí vazby a klasická vzájemná informace v důkazu T-3c bude nahrazena kvantovou vzájemnou informací, čímž se obnoví plná kvantová formule RT s bulkovým korekčním členem S_{\text{bulk}}.

§7. Emergentní objemová geometrie z kódové vzdálenosti

Objemová geometrie MERA není předem existující kontejner. Podle izomorfismu T-3a je informačním metrickým prostorem kodeku: geometrií kompresních vzdáleností.

7.1 Kódová vzdálenost jako metrika bulku

Definujme diskrétní celočíselnou kódovou vzdálenost d(z^{(\tau)}, z'^{(\tau)}) mezi dvěma stavy ve vrstvě \tau kaskády jako minimální počet disentangler-swapů potřebných k jejich propojení v rámci tenzorové sítě.

Za vhodné termodynamické nebo spojité limity (N \to \infty, a \to 0) lze metriku bulku g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) na spojité prostorové škále vrstvy \tau aproximovat jako:

g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) \propto \lim_{a \to 0} \frac{d\!\left(z_i^{(\tau)},\, z_j^{(\tau)}\right)^2}{d\!\left(z_i^{(0)},\, z_j^{(0)}\right)^2}

Jde o strukturální očekávání podmíněné škálovou invariantností kaskády a předpokladem, že Permutation MERA lze ve spojitém limitu spojitě aproximovat obecnou MERA — v souladu se známými výsledky Swinglea (2012) a Nozakiho-Ryua-Takayanagiho (2012), nikoli však zaručeně pro diskrétní kaskádu s konečným počtem vrstev. Proto za těchto hypotéz o spojitém limitu očekáváme, že by se geometrie časoprostoru zakřivovala právě tam, kde kódová vzdálenost diverguje — tj. tam, kde se prediktivní míra R_\text{req} blíží C_\text{max}, což je ve strategickém souladu s identifikací přetečení rate-distortion v T-2.

7.2 Vztah k T-2

T-2 ukázal, že gravitační křivost G_{\mu\nu} je metrickou derivací entropie renderu S_{\text{render}}. Struktura MERA nyní určuje mikroskopický původ S_{\text{render}}: jde o entropii minimálního řezu |\gamma_A| \log \chi a Einsteinův tensor G_{\mu\nu} je odezvou této entropie řezu na metrické perturbace v objemové geometrii indukované kódovou vzdáleností. Oba dodatky jsou tedy konzistentní: T-2 podává makroskopické polní rovnice; T-3 podává mikroskopický původ entropického funkcionálu v tenzorové síti, který tyto rovnice extremalizují.

§8. Shrnutí uzávěru a otevřené hrany

Výstupy T-3 — částečně vyřešeno → podmíněně povýšeno (s P-2)

1. T-3a (izomorfismus MERA). Kaskáda bottleneck vrstev OPT L je strukturálně homomorfní k síti MERA s faktorem vrstvy s a hloubkou L. S dodatkem P-2 (Věty P-2.0 a P-2c) se to povyšuje na izomorfismus tenzorové sítě uvnitř podprostoru chráněného QECC, podmíněně na lokálním šumu. Poznámka: Izomorfismus se vztahuje k permutační MERA (disentanglery v permutační podgrupě U(\mathbb{C}^\chi)), nikoli k obecné MERA s libovolnými unitárními disentanglery. Toto omezení neovlivňuje RT mez (P-2d), ale omezuje korespondenci na podtřídu sítí MERA.

2. T-3b (korespondence kauzálního kužele). Informační kauzální kužel škáluje s řádovou symetrií vůči struktuře kauzálního kužele MERA v limitě pasivního pozorovatele, ačkoli profily hloubky se liší. Prediktivní Množina Větví odpovídá nerenormalizovaným hraničním datům. (Výsledek izometrie z P-2 platí v rámci limity pasivního pozorovatele; členy závislé na akci a_{t:t+h-1} v definici Prediktivní Množiny Větví vyžadují rozšíření na otevřené systémy, které P-2 neřeší.)

3. T-3c (diskrétní kvantové RT). Původní důkaz založený na DPI omezoval bulk, nikoli však hraniční entropii. S izometrií z P-2c stanovuje Věta P-2d plnou hraniční mez S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi prostřednictvím Schmidtovy hodnosti stavu MERA.

4. Emergentní geometrie bulku. Metrika bulku MERA g_{ij}^{\text{bulk}} je indukována z kódové vzdálenosti v kaskádě. Časoprostor se zakřivuje tam, kde kódová vzdálenost diverguje, v souladu s identifikací G_{\mu\nu} v T-2 jako metrické derivace renderovací entropie. (Stále je zapotřebí limita kontinua.)

5. Stav Epistemického žebříku. Příčka 2 (diskrétní kvantové RT) je nyní dokázána prostřednictvím P-2d. Příčka 3 (plné kvantové RT s bulkovou korekcí) vyžaduje limitu kontinua, která dosud nebyla odvozena z primitiv OPT.

Otevřené hrany umožněné tímto uzávěrem

• P-2 (Bornovo pravidlo / Hilbertův prostor) nyní má svůj přesný vstupní bod: dimenze vazby \chi musí být vložena jako dimenze kvantového Hilbertova prostoru. Jakmile ADH korekce chyb vynutí strukturu logického qubitu, klasická vazba \chi = 2^{B_0/N} se povýší na kvantovou vazbu s von Neumannovou entropií a diskrétní RT z T-3c se stane plným kvantovým RT s bulkovou korekcí S_{\text{bulk}}.

• P-3 (asymetrická holografie): rekonstrukce bulku MERA a Fanova nerovnost nyní sdílejí společný formální rámec. Fanova nerovnost (preprint §3.10) omezuje schopnost pozorovatele rekonstruovat substrát zevnitř renderu — přesně to odpovídá nevratnosti zobrazení MERA (hranice \to bulk je kodek; inverze bulk \to hranice je za hloubkou minimálního řezu \tau^* nemožná).

• T-5 (obnova konstant): dimenze vazby \chi = 2^{B_0/N} a faktor hrubozrnnění s poskytují nová omezení pro bezrozměrné konstanty. Zejména s = 2 a L = \log_s(B_0/B_L) musí být konzistentní s identifikací na Planckově škále l_{\text{codec}} = l_P z T-2, čímž se omezuje poměr B_0/B_L.

• §8.3 preprint, položka 3 (MERA/kauzální množina): formální mapování hraničních vrstev MERA Prediktivní Množiny Větví na rámec kauzální množiny za účelem odvození metrických vlastností vnímaného časoprostoru čistě ze sekvencování kodeku. Výchozím bodem je metrika kódové vzdálenosti g_{ij}^{\text{bulk}} z §7.

Tento dodatek je udržován jako součást repozitáře projektu OPT vedle theoretical_roadmap.pdf. Reference: Vidal (2008) [43], Pastawski et al. (2015) [44], Almheiri-Dong-Harlow (2015) [42], Tishby et al. (1999) [28], Ryu-Takayanagi (2006).