Teoria del Patch Ordenat

Tasca original T-3: Xarxes tensorials MERA i el Con causal informacional Problema: L’OPT proposa un Con causal informacional compost de compressió seqüencial, però es basa en una descripció geomètrica ad hoc més que no pas en formalismes tensorials quàntics estàndard. Resultat esperat: Formalització del mapatge del Con causal informacional de l’OPT a l’estructura de xarxa tensorial MERA.

Estat de tancament: ISOMORFISME CONDICIONAL (homomorfisme estructural confirmat; isomorfisme físic estricte elevat condicionalment via P-2). Aquest apèndix proporciona el mapatge estructural objectiu requerit per T-3. Tres teoremes estableixen una analogia topològica forta: (T-3a) el gra fi iteratiu del Filtre d’Estabilitat de l’OPT és estructuralment homomorf a una xarxa tensorial MERA; (T-3b) el Con causal informacional de §3.3 correspon, en ordre de magnitud, al con causal MERA; i (T-3c) el Ventall Predictiu es mapeja estructuralment als graus de llibertat de frontera no renormalitzats. L’elevació matemàtica d’aquest homomorfisme estructural purament estocàstic a les isometries estrictes d’espai de Hilbert requerides per a un autèntic límit discret de Ryu-Takayanagi havia romàs inicialment oberta, però ara queda resolta condicionalment mitjançant la incrustació explícita en base computacional i els postulats pont d’Identificació d’Isometria establerts seqüencialment en el problema P-2.

§1. L’estructura de compressió multicapa

La secció §3.3 del preprint defineix l’observador de l’OPT mitjançant una única optimització de coll d’ampolla (Eq. 4): un estat comprimit Z_t \in \{1, \ldots, 2^B\} se selecciona a partir de l’estat complet de frontera X_t per maximitzar la informació predictiva amb una longitud mínima de descripció. El que la secció §3.3 no explicita és que el camí de X_{\partial A} a Z_t es descompon de manera natural en una cascada de capes de compressió, cadascuna de les quals descarta correlacions de curt abast irrellevants per a la predicció a l’escala següent. Aquesta estructura jeràrquica és el vessant de l’OPT dins la correspondència MERA.

1.1 La cascada de colls d’ampolla de L capes

Siguin s \geq 2 un factor de granularitat gruixuda fix i L el nombre total de capes de compressió. Definim la cascada:

Z_t^{(0)} := X_{\partial_R A} \qquad \text{(capa 0: frontera completa de Markov, } H = B_0 \text{ bits)}

A cada capa posterior \tau = 0, \ldots, L-1:

Z_t^{(\tau+1)} = \operatorname*{arg\,min}_{q} \left[ I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) - \beta_\tau\, I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \right]

\text{subjecte a: } I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, Z_t^{(\tau+1)}\right) \leq B_\tau, \qquad B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}

L’estat final és Z_t := Z_t^{(L)}, amb B_L = B_0 \cdot s^{-L} bits. La cascada defineix una cadena de Markov:

X_{t+1:\infty} \;-\!\!-\; Z_t^{(0)} \;-\!\!-\; Z_t^{(1)} \;-\!\!-\; \cdots \;-\!\!-\; Z_t^{(L)} = Z_t

Per la desigualtat de processament de dades, la informació predictiva és monòtonament no creixent:

I\!\left(Z_t^{(\tau)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right) \geq I\!\left(Z_t^{(\tau+1)} \,;\, X_{t+1:\infty}\right)

Cada capa perd una quantitat controlada d’informació predictiva, controlada pel pressupost de distorsió D_\tau del coll d’ampolla d’aquella capa.

1.2 Descomposició en Desentrellaçar-primer-i-despres-grolleritzar

Cada transició de capa Z^{(\tau)} \to Z^{(\tau+1)} es descompon en dos passos canònics:

• Desentrellaçament: Apliqueu una reordenació reversible local modelada com una aplicació de permutació U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} sobre Z^{(\tau)} que porta branques mútuament irrellevants del Ventall Predictiu — branques que no comparteixen cap informació predictiva sobre el futur — a posicions adjacents. Aquest pas clàssic és reversible; no es perd cap informació.

• Grollerització (aplicació de coll d’ampolla): Particioneu els estats en grups de s i apliqueu l’aplicació clàssica estocàstica de compressió de coll d’ampolla W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}) a cada grup. La dimensió d’enllaç es fixa com \chi = 2^{B_0/N}, on N és el nombre de llocs de frontera. Per funcionar formalment com una dimensió tensorial exacta d’espai de Hilbert discret, i no pas com una escala contínua efectiva, el marc imposa estrictament la restricció diofàntica 2^{B_0/N} \in \mathbb{Z}^+. Això garanteix explícitament que la dimensió entera exacta \chi produeix una entropia per lloc \log \chi = B_0/N geomètricament coherent amb el calendari de capacitat B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}. Nota: Les estructures objectiu quàntiques emprades a §2 són la isometria MERA w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} (el conjugat adjunt de la qual, w_\tau^\dagger, implementa la grollerització) i el desentrellaçador u_\tau. Les aplicacions de §1 W_\tau: \mathcal{Z}^s \to \Delta(\mathcal{Z}) i U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} són els objectes clàssics de l’OPT. La immersió que els connecta s’estableix a l’Apèndix P-2.

La composició W_\tau \circ U_\tau a cada capa, apilada per a \tau = 0, \ldots, L-1, constitueix la xarxa tensorial completa. Ara mostrarem que això és precisament MERA.

§2. MERA — Definicions formals

Exposem les definicions rellevants de Vidal (2008) [43] en una forma adequada al mapatge de l’OPT.

2.1 Tensors

Una MERA per a una cadena 1D de N llocs de frontera amb espai de Hilbert local \mathbb{C}^\chi consta de L capes. Cada capa \tau conté dues classes de tensor:

• Desentrellaçadors u_\tau: tensors unitaris u_\tau: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2} \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes 2} que actuen sobre parelles adjacents de llocs. Eliminen l’entrellaçament de curt abast sense canviar la dimensió total de l’espai de Hilbert. Unitarietat: u^\dagger u = u u^\dagger = I.

• Isometries w_\tau: tensors w_\tau: \mathbb{C}^\chi \to (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} que satisfan w_\tau^\dagger w_\tau = I_{\mathbb{C}^\chi} (isomètric: l’aplicació és una injecció de l’espai de gra gruixut a l’espai de gra fi). L’adjunt w_\tau^\dagger: (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes s} \to \mathbb{C}^\chi implementa el gra gruixut, tot mapant s llocs de gra fi a 1 lloc de gra gruixut.

La MERA completa mapeja l’estat superior |\psi_{\text{top}}\rangle \in \mathbb{C}^\chi (el bulk) a l’estat de frontera |\psi_{\text{boundary}}\rangle \in (\mathbb{C}^\chi)^{\otimes N} aplicant les capes del bulk a la frontera, i cada capa expandeix l’espai d’estats per un factor s.

2.2 El Con Causal de MERA

El con causal \mathcal{C}(x) d’un lloc de frontera x \in \{1, \ldots, N\} és el conjunt mínim de tensors de la xarxa els valors dels quals poden afectar la matriu de densitat reduïda \rho_x del lloc x. Es calcula de baix a dalt (del bulk cap a la frontera).

A la capa del bulk (profunditat \tau = L des de la frontera): \mathcal{C}(x) conté l’únic tensor superior. A cada capa posterior en direcció a la frontera, el con causal s’expandeix per un factor s a cada capa d’isometria i com a màxim per 2 a cada capa de desentrellaçador. L’amplada de \mathcal{C}(x) a la profunditat de frontera \tau des del cim és:

w(\tau) = \mathcal{O}(s^\tau) \qquad \text{[creix exponencialment des del bulk cap a la frontera]}

Per al MERA crític (s = 2), l’amplada del con causal creix com 2^\tau a la profunditat \tau, i després de L capes assoleix l’amplada completa de la frontera N = s^L.

2.3 Entropia d’entrellaçament i el tall mínim

Per a una regió contigua de frontera A de longitud |A| = l, l’entropia d’entrellaçament S(A) en un estat MERA està acotada pel nombre d’enllaços tallats per la superfície mínima \gamma_A a través del bulk de la xarxa tensorial:

S(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi

on |\gamma_A| és el nombre d’enllaços en el tall mínim i \chi és la dimensió de l’enllaç. Per a una MERA invariant d’escala, |\gamma_A| \sim \frac{c}{3} \log l, recuperant l’entropia d’entrellaçament de la CFT S(A) \sim \frac{c}{3} \log l amb c/3 = \log \chi. Aquest és l’anàleg discret de la fórmula de Ryu-Takayanagi en AdS/CFT.

§3. Teorema T-3a — Homomorfisme Estructural

Teorema T-3a (Homomorfisme MERA–OPT). La cascada de Coll d’Ampolla d’Informació de la OPT de L capes \{Z_t^{(\tau)},\, \tau = 0, \ldots, L\} amb estat de frontera Z_t^{(0)} = X_{\partial_R A}, estat de bulk Z_t^{(L)} = Z_t, capacitat de capa B_\tau = B_0 \cdot s^{-\tau}, i dimensió d’enllaç \chi = 2^{B_0/N}, és estructuralment homomorfa a la topologia de capes d’una MERA amb L capes, factor d’escala s i dimensió d’enllaç \chi, sota el mapatge clàssic formal: - (i) coarse-graining de l’OPT W_\tau \;\leftrightarrow\; adjunt de la isometria MERA w_\tau^\dagger - (ii) disentangler de l’OPT U_\tau \;\leftrightarrow\; disentangler MERA u_\tau

3.1 Prova — Identificació d’isometria

El tensor de gra gruixut de l’OPT a la capa \tau es calcula mitjançant la distribució condicional q^*(z^{(\tau+1)} \mid z^{(\tau)}) produïda per l’optimització del coll d’ampolla. Tot i que el pressupost informacional global imposa una ràtio mitjana macroscòpica de capacitat de B_\tau / B_{\tau+1} = s, el coll d’ampolla estocàstic clàssic no força de manera nativa una cardinalitat exactament uniforme de les fibres (una preimatge discreta estricta d’una mida equivalent a s per a cada sortida z^{(\tau+1)}). Formalitzar aquest pas explícit restringeix, per tant, l’arquitectura al límit idealitzat de mapatge ajustat (D \to 0), assumint condicionalment que els paràmetres aïllen perfectament estructures d’informació uniformes.

Tanmateix, q^* representa una matriu clàssica estocàstica de probabilitats, no una matriu unitària quàntica complexa. Afirmar la veritable condició d’isometria de l’espai de Hilbert (W_\tau W_\tau^\dagger = I_{\mathbb{C}^\chi}) constituiria un error de categoria. Una isometria parcial autèntica requereix una incrustació explícita d’aquests estats discrets en una base computacional sobre \mathbb{C}^\chi. Apèndix P-2 (Correspondència Quàntica Condicional) estableix aquesta incrustació: el Teorema P-2.0 proporciona la identificació de la base computacional, i el Teorema P-2c demostra que el mapatge òptim del coll d’ampolla en el límit ajustat actua com una isometria parcial dins del subespai protegit per QECC. Condicionalment al model local de soroll de P-2, l’homomorfisme estructural s’eleva a un isomorfisme genuí de xarxa tensorial dins de l’espai de codi. \blacksquare

3.2 Prova — Identificació del Desentrellaçador

El desentrellaçador purament clàssic U_\tau s’estableix com una bijecció local (una permutació de l’alfabet d’estats del grup simètric S_{|\mathcal{Z}|}) que reordena Z^{(\tau)} per minimitzar les redundàncies entre grups (és a dir, la informació mútua) abans que se’n faci el coarse-graining.

U_\tau = \operatorname*{arg\,min}_{U \in S_{|\mathcal{Z}|}} \sum_{j \neq k} I\!\left( U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, j} \,;\, U(Z^{(\tau)})_{\text{group}\, k} \right)

Això coincideix amb l’objectiu estructural del desentrellaçador MERA: eliminar l’entrellaçament de curt abast (correlacions entre grups adjacents) abans del coarse-graining. La veritable unitarietat complexa (U^\dagger U = I) queda establerta pel Teorema P-2.0 (Apèndix P-2): sota la immersió en la base computacional, la permutació U_\tau \in S_{|\mathcal{Z}|} s’eleva de manera única a una matriu unitària en U(\mathbb{C}^\chi) mitjançant la representació per permutació.

Advertiment (Permutació vs. Unitària general). El Teorema P-2.0 eleva els desentrellaçadors de l’OPT al subgrup de permutacions de U(\mathbb{C}^\chi), no al grup unitari complet. Els desentrellaçadors MERA estàndard són unitàries generals u_\tau \in U(\mathbb{C}^\chi \otimes \mathbb{C}^\chi); el subgrup de permutacions n’és un subconjunt estricte (|S_\chi| = \chi! vs. \dim U(\chi) = \chi^2 paràmetres continus). L’isomorfisme establert per P-2.0+P-2c és, per tant, amb la MERA de permutacions — una subclasse restringida. L’extensió a la MERA completa requeriria identificar un mecanisme nadiu de l’OPT que generi unitàries generals en lloc de permutacions. Aquesta bretxa no afecta la cota entròpica RT (P-2d), que depèn únicament de la condició d’isometria P-2c, no de la classe de desentrellaçador. \blacksquare

Diccionari d’isomorfisme MERA–OPT

§4. Teorema T-3b — Identitat del Con Causal

Teorema T-3b (Correspondència del Con Causal). Sota l’homomorfisme de T-3a, el Con causal informacional de l’OPT (preprint §3.3) es correspon estructuralment (en l’escalat d’ordre de magnitud) amb el con causal de MERA. L’obertura present Z_t es correspon amb el tensor topològic bulk superior; el Registre Causal assentat \mathcal{R}_t es correspon amb els estats bulk passats; el Ventall Predictiu \mathcal{F}_h(z_t) es correspon amb els graus de llibertat no renormalitzats a la frontera MERA a h capes del present.

4.1 Direcció de la correspondència

Hi ha una subtilesa d’orientació que cal enunciar amb precisió. En MERA, la xarxa va de la frontera (UV, de gra fi) cap al bulk (IR, de gra gruixut). En OPT, el Con causal informacional va del passat (fixat, comprimit) a través de l’obertura present cap al futur (Ventall Predictiu, no resolt). La correspondència és:

4.2 Demostració — Amplada del Con Causal = Capacitat del Ventall Predictiu

En la MERA, el con causal de l’estat del bulk Z_t (a una profunditat L respecte de la frontera) s’expandeix a mesura que es desplaça cap a la frontera: a una profunditat de \tau capes des del cim, el con té una amplada de s^\tau. Això compta el nombre de llocs de frontera que poden influir independentment sobre Z_t.

En OPT, el Ventall Predictiu \mathcal{F}_h(z_t) a una profunditat de h passos temporals des de l’obertura present conté com a màxim 2^{B \cdot h} estats futurs distingibles (preprint Eq. 5: \log|\mathcal{F}_h| \leq Bh). La profunditat de capa en MERA correspon a \tau = h. Observem un desajust robust entre una cota exponencial i una de lineal (s^\tau \cdot B/L bits en MERA via expansió d’escala vs B \tau en el Ventall Predictiu via acreció cronològica). L’amplada del con causal i la capacitat del Ventall Predictiu d’OPT concorden de manera robusta en ordre de magnitud, però només troben una concordança estrictament exacta en el límit d’un còdec d’una sola capa (L=1). A més, identificar la topologia passiva de MERA amb el Ventall Predictiu dependent de l’acció implica que estem operant exclusivament dins del límit d’observador passiu (a \equiv \text{const}). \blacksquare

4.3 Prova — Registre Causal = Bulk passat

El Registre Causal establert \mathcal{R}_t = (Z_0, Z_1, \ldots, Z_t) (preprint §3.3) consisteix en tots els estats comprimits passats — els estats del bulk que ja han estat renderitzats en el passat establert. En la MERA, aquests corresponen a la seqüència d’estats passats del bulk connectats per la dinàmica temporal del còdec K_\theta (preprint Eq. 6). El caràcter establert i de baixa entropia de \mathcal{R}_t correspon al fet que els estats del bulk en MERA tenen una entropia d’entrellaçament baixa per construcció — són el resultat de gra gruixut del procediment de desentrellaçament. \blacksquare

§5. Teorema T-3c — El Ventall Predictiu com a UV de frontera i la fórmula discreta de Ryu-Takayanagi

Teorema T-3c (Ventall Predictiu = UV de frontera; RT discreta).

1. El Ventall Predictiu \mathcal{F}_h(z_t) es correspon probabilísticament amb el conjunt de graus de llibertat no renormalitzats a la frontera MERA — la capa UV de frontera de la MERA aplicada al còdec en el pas temporal t + h.

2. Límit clàssic de processament de dades (cota de tall del bulk): l’entropia de tall predictiva, avaluada correctament a la capa interna de tall mínim del bulk, satisfà explícitament: S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \log \chi

3. Extensió RT quàntica discreta (condicionada a la immersió P-2d):

\boxed{S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi}

on \gamma_A és la superfície de tall mínim en el bulk MERA i \chi = 2^{B_0/N} és la dimensió d’enllaç. Aquesta cota és vàlida condicionada a la isometria P-2d; es redueix a la cota clàssica de tall del bulk de la part (b) quan l’estructura quàntica no està disponible.

5.1 Demostració — Ventall Predictiu com a UV de frontera

La capa UV de frontera de MERA en el temps t+h consisteix en tots els estats d’entrada possibles X_{\partial_R A}^{(t+h)} — els estats de frontera de gra fi, no sotmesos a coarse-graining, que seran processats pel còdec al llarg dels h passos temporals següents. Per l’estructura en cascada, aquests són exactament els estats assolibles des de l’obertura present Z_t = Z_t^{(L)} executant la MERA en sentit invers (del bulk cap a la frontera) durant h capes — és a dir, expandint el con causal de Z_t durant h passos.

El Ventall Predictiu \mathcal{F}_h(z_t) es defineix al preprint (§3.3) com:

\mathcal{F}_h(z_t) := \left\{ z_{t+1:t+h} : p(z_{t+1:t+h} \mid z_t,\, a_{t:t+h-1}) > 0 \right\}

Aquestes són precisament les seqüències d’estats de bulk assolibles des de Z_t dins de h capes de MERA operant la cascada probabilísticament en la direcció expandida. La identificació exigeix que la MERA s’avaluï en ambdues direccions — frontera \to bulk (compressió passada) i bulk \to frontera (expansió futura). El Ventall Predictiu correspon explícitament a la segona direcció, que és exactament el conjunt suport de l’expansió del con causal de l’estat de bulk cap a la UV de frontera, sota la identificació per inversió temporal assenyalada correctament a §4.1. \blacksquare

5.2 Prova — Límit mapat discret de Ryu-Takayanagi

Siguin A i \bar{A} = V \setminus A una bipartició de la frontera. Sigui \tau^* la capa mínima en què la interfície A/\bar{A} queda exactament seccionada a la xarxa tensorial (la capa de tall mínim). En aquesta capa, la capacitat local del coll d’ampolla d’informació mútua queda estrictament limitada per la capacitat d’aquells enllaços seccionats:

S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}(A) \leq |\gamma_A| \cdot \log \chi \qquad (\text{Límit bulk intergrupal})

Tot i que això estableix amb èxit el límit discret de capacitat de Ryu-Takayanagi exactament a la capa de tall mínim del bulk, portar formalment aquest límit cap amunt per tal de limitar l’entropia de tall predictiu de la frontera exterior S_{\text{cut}}(A) = S_{\text{cut}}^{(0)}(A) no es pot aconseguir mitjançant la desigualtat de processament de dades (DPI), ja que la DPI imposa que l’entropia ha de disminuir monòtonament, no augmentar, a mesura que comprimim cap avall: S_{\text{cut}}^{(0)} \geq S_{\text{cut}}^{(\tau^*)}).

La via correcta cap al límit discret RT complet de frontera objectiu (S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi) requereix acotar el rang de Schmidt a través de la bipartició — una estratègia que exigeix tractar la xarxa com si construís l’estat de frontera mitjançant veritables isometries lineals. Això queda ara establert a l’Apèndix P-2: el Teorema P-2d demostra la fórmula quàntica discreta de Ryu-Takayanagi mitjançant la descomposició de Schmidt de l’estat MERA a través del tall mínim, condicionada a la condició d’isometria de P-2c. \blacksquare (condicionat a la isometria de P-2d).

§6. L’Escala Epistèmica — Del RT clàssic al quàntic

Els tres teoremes anteriors estableixen l’estructura MERA en el nivell clàssic de la teoria de la informació. L’Escala Epistèmica de la §3.4 del preprint descriu les condicions sota les quals es pot pujar cada graó.

La fórmula de RT quàntica requereix substituir l’entropia clàssica del tall predictiu I(X_A;\, X_{V \setminus A}) per l’entropia d’entrellaçament de von Neumann S_{\text{vN}}(\rho_A) d’una matriu de densitat \rho_A. Això pressuposa una estructura d’espai de Hilbert per a l’espai d’estats de Z_t. La derivació d’aquesta estructura —mitjançant l’argument ADH de correcció quàntica d’errors (preprint P-2)— continua sent el pas formal següent. Un cop es tanqui P-2, la dimensió d’enllaç \chi = 2^{B_0/N} esdevindrà una dimensió d’enllaç quàntica, i la informació mútua clàssica en la demostració de T-3c serà substituïda per informació mútua quàntica, recuperant la fórmula completa de RT quàntica amb el terme de correcció del bulk S_{\text{bulk}}.

§7. Geometria emergent del bulk a partir de la distància de codi

La geometria bulk de MERA no és un contenidor preexistent. Sota l’isomorfisme de T-3a, és l’espai mètric informacional del còdec: la geometria de les distàncies de compressió.

7.1 Distància de Codi com a Mètrica del Bulk

Definim la distància de codi enterament discreta d(z^{(\tau)}, z'^{(\tau)}) entre dos estats a la capa \tau de la cascada com el nombre mínim d’intercanvis de disentanglers necessaris per connectar-los dins de la xarxa tensorial.

Sota un límit termodinàmic o continu adequat (N \to \infty, a \to 0), es podria aproximar la mètrica del bulk g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) a l’escala contínua de capa espacial \tau com:

g_{ij}^{\text{bulk}}(\tau) \propto \lim_{a \to 0} \frac{d\!\left(z_i^{(\tau)},\, z_j^{(\tau)}\right)^2}{d\!\left(z_i^{(0)},\, z_j^{(0)}\right)^2}

Aquesta és una expectativa estructural, condicionada per la invariància d’escala de la cascada i per l’assumpció que la MERA de Permutació és aproximable contínuament per una MERA general en el límit continu — d’acord amb els resultats coneguts de Swingle (2012) i Nozaki-Ryu-Takayanagi (2012), però no garantida per a una cascada discreta amb un nombre finit de capes. Així, sota aquestes conjectures de límit continu, esperem que la geometria de l’espaitemps es corbi precisament allà on la distància de codi divergeix — és a dir, on la taxa predictiva R_\text{req} s’aproxima a C_\text{max}, en coherència estratègica amb la identificació del desbordament taxa-distorsió de T-2.

7.2 Connexió amb T-2

T-2 va establir que la curvatura gravitatòria G_{\mu\nu} és la derivada mètrica de l’entropia de renderització S_{\text{render}}. L’estructura MERA especifica ara l’origen microscòpic de S_{\text{render}}: és l’entropia de tall mínim |\gamma_A| \log \chi, i el tensor d’Einstein G_{\mu\nu} és la resposta d’aquesta entropia de tall a les pertorbacions mètriques en la geometria del bulk induïdes per la distància del codi. Els dos apèndixs són, per tant, coherents: T-2 dona les equacions de camp macroscòpiques; T-3 dona l’origen microscòpic en xarxa tensorial del funcional entròpic que aquestes extremitzen.

§8. Resum de tancament i fronts oberts

Lliurables T-3 — Parcialment resolts → Condicionalment millorats (amb P-2)

1. T-3a (isomorfisme MERA). La cascada de coll d’ampolla de L capes de l’OPT és estructuralment homomorfa a una MERA amb factor de capa s i profunditat L. Amb l’Apèndix P-2 (Teoremes P-2.0 i P-2c), això es millora fins a un isomorfisme de xarxa tensorial dins del subespai protegit per QECC, condicionat al soroll local. Nota: l’isomorfisme és amb una MERA de permutació (desentrellaçadors en el subgrup de permutació de U(\mathbb{C}^\chi)), no amb una MERA general amb desentrellaçadors unitaris arbitraris. Aquesta restricció no afecta la cota RT (P-2d), però limita la correspondència a una subclasse de xarxes MERA.

2. T-3b (correspondència del con causal). El Con causal informacional escala amb una simetria d’ordre de magnitud respecte de l’estructura del con causal de MERA dins del límit d’observador passiu, tot i que els perfils de profunditat difereixen. El Ventall Predictiu correspon a dades de frontera no renormalitzades. (El resultat d’isometria de P-2 s’aplica dins del límit d’observador passiu; els termes dependents de l’acció a_{t:t+h-1} en la definició del Ventall Predictiu requereixen una extensió a sistemes oberts que P-2 no aborda.)

3. T-3c (RT quàntic discret). La demostració original basada en DPI acotava el bulk però no l’entropia de frontera. Amb la isometria de P-2c, el Teorema P-2d estableix la cota completa de frontera S_{\text{vN}}(\rho_A) \leq |\gamma_A| \log \chi mitjançant el rang de Schmidt de l’estat MERA.

4. Geometria bulk emergent. La mètrica bulk de MERA g_{ij}^{\text{bulk}} és induïda a partir de la distància de codi en la cascada. L’espaitemps es corba allí on la distància de codi divergeix, en consonància amb la identificació de T-2 de G_{\mu\nu} com la derivada mètrica de l’entropia de render. (Encara cal el límit continu.)

5. Estat de l’Escala Epistèmica. El graó 2 (RT quàntic discret) ara està demostrat via P-2d. El graó 3 (RT quàntic complet amb correcció bulk) requereix un límit continu que encara no s’ha derivat a partir de les primitives de l’OPT.

Fronts oberts habilitats per aquest tancament

• P-2 (Regla de Born / Espai de Hilbert) ara té el seu punt d’entrada exacte: la dimensió d’enllaç \chi s’ha d’incrustar com a dimensió d’un espai de Hilbert quàntic. Un cop la correcció d’errors ADH força l’estructura de qubit lògic, l’enllaç clàssic \chi = 2^{B_0/N} es millora a un enllaç quàntic amb entropia de von Neumann, i l’RT discret de T-3c esdevé l’RT quàntic complet amb correcció bulk S_{\text{bulk}}.

• P-3 (Holografia asimètrica): la reconstrucció bulk de MERA i la desigualtat de Fano ara tenen una mateixa llar formal. La desigualtat de Fano (preprint §3.10) acota la capacitat de l’observador per reconstruir el substrat des de dins del render — precisament la irreversibilitat del mapa MERA (frontera \to bulk és el còdec; la inversió bulk \to frontera és impossible més enllà de la profunditat de tall mínim \tau^*).

• T-5 (Recuperació de constants): la dimensió d’enllaç \chi = 2^{B_0/N} i el factor de gra gruixut s proporcionen noves restriccions sobre les constants adimensionals. En particular, s = 2 i L = \log_s(B_0/B_L) han de ser coherents amb la identificació a escala de Planck l_{\text{codec}} = l_P de T-2, cosa que restringeix la ràtio B_0/B_L.

• §8.3 preprint item 3 (MERA/conjunt causal): mapar formalment les capes de frontera MERA del Ventall Predictiu al marc de conjunts causals per extreure propietats mètriques de l’espaitemps percebut purament a partir de la seqüenciació del còdec. La mètrica de distància de codi g_{ij}^{\text{bulk}} de §7 n’és el punt de partida.

Aquest apèndix es manté com a part del repositori del projecte OPT al costat de theoretical_roadmap.pdf. Referències: Vidal (2008) [43], Pastawski et al. (2015) [44], Almheiri-Dong-Harlow (2015) [42], Tishby et al. (1999) [28], Ryu-Takayanagi (2006).