Sutvarkyto patch teorija

Pradinė užduotis T-2: bendrojo reliatyvumo išvedimas per entropinę gravitaciją Problema: Preprinte gravitacija konceptualiai aprašoma kaip „atvaizdavimo sąnaudos“ per Markovo antklodę, tačiau turima matematika nėra pasitelkiama. Rezultatas: Formalus išvedimas, pakeičiantis euristinius teiginius apie gravitaciją tiksliu Verlinde’s matematiniu mechanizmu.

Užbaigtumo būsena: IŠ DALIES IŠSPRĘSTA (struktūrinė atitiktis patvirtinta; formalus išvedimas lieka atviras). Šiame priede nustatomas T-2 reikalaujamas tikslinis struktūrinis atvaizdavimas. Jis pakeičia euristinį gravitacijos eskizą preprinto §7.2 skyriuje tiksliu Verlinde’s mechanizmu, performuluotu OPT kodeko kalba. Čia nustatomos stiprios atitikties atvaizdavimo entropijai, Niutono dėsniui ir Einšteino lauko lygtims. Tačiau tam būtinos kelios esminės jungiančios prielaidos (įtraukiant Unruho formulę, Einšteino–Hilberto funkcionalą ir stacionarią ergodinę pusiausvyrą), todėl tai yra struktūrinis atvaizdavimas, o ne užbaigtas išvedimas.

§1. Atvaizdavimo entropija — formalus apibrėžimas

Neformali atvaizdavimo kainos sąvoka iš preprinto §7.2 čia formalizuojama kaip atvaizdavimo entropija, grindžiama ploto dėsniu, nustatytu §3.4 per predikcinio pjūvio entropiją S_{\text{cut}}(A).

1.1 Apibrėžimas

Tegu A \subset V yra stebėtojo lopas substrato grafe G, kurio ribinis sluoksnis yra \partial_R A. Atvaizdavimo entropija S_{\text{render}}(A, t) formaliai apibrėžiama kaip ribinė tarpusavio informacija tarp lopo ir išorės:

S_{\text{render}}(A, t) := I\!\left(X_{\partial_R A} \,;\, X_{V \setminus A}\right)

Jei darome prielaidą, kad latentinis būvis Z_t veikia kaip pakankama statistika, gebanti tiksliai užfiksuoti informaciją, kurią X_{V \setminus A} atskleidžia apie X_{\partial_R A}, tuomet teigiame, kad ši ribinė koreliacija struktūriškai konverguoja į kodeko vidinį sąlyginį neapibrėžtumą: S_{\text{render}}(A, t) \sim H\!\left( X_{\partial_R A} \mid Z_t \right). Ploto riba išplaukia iš struktūrinės Markovo ekranavimo sąlygos X_{A^\circ} \perp X_{V \setminus A} \mid X_{\partial_R A}, nustatytos §3.4 (preprinto lygtys 7–8):

S_{\text{render}}(A, t) \leq \lvert\partial_R A\rvert \cdot \log q =: S_{\max}(A)

čia q yra lokalios būsenų erdvės abėcėlės dydis, o |\partial_R A| yra ribinių taškų skaičius. Jei substrato grafas aproksimuoja d-matę gardelę, tuomet |\partial_R A| \sim \text{Area}(\partial A), ir tai patvirtina, kad S_{\text{render}} yra ploto, o ne tūrio dydis.

1.2 Lokalus atvaizdavimo entropijos tankis

Tęstinio artinio atveju (galiojančiu masteliuose, gerokai didesniuose už gardelės žingsnį l_{\text{codec}} = 1/\sqrt{C_{\max}} — pažymint, kad l_{\text{codec}} formaliai lieka dimensiniu požiūriu neinterpretuotas kaip erdvinis ilgis iki aiškaus mastelio tapatinimo T-5 teoremoje):

S_{\text{render}}(A) = \int_{\partial A} s(x)\, dA

kur s(x) [bitai/ploto vienetas] yra lokalus atvaizdavimo entropijos tankis ribos taške x. Nesant šaltinių, s(x) = (\log q)/l_{\text{codec}}^2 yra tolygus. Lokali predikcinio krūvio koncentracija (žr. §2) iškreipia s(x) nuo šios pamatinės būsenos, sukurdama entropijos gradientą, kuris lemia entropinę jėgą.

§2. Predikcinis krūvis — kodeko masės analogas

Verlinde’o sistemoje masė M įvedama per ekviparticijos teoremą, taikomą holografiniam ekranui. OPT reikalauja kodeko teorijos atitikmens, kuris būtų apibrėžtas nepriklausomai, dar prieš pateikiant bet kokį gravitacinį teiginį.

2.1 Apibrėžimas

Šaltinio srities M \subset V predikcinis krūvis Q_M formaliai apibrėžiamas grynai kaip statinė erdvinė tarpusavio informacija tarp M vidinių būsenų ir stebėtojo Markovo antklodės ribos per vieną kodeko ciklą:

Q_M := I\!\left(X_M \,;\, X_{\partial_R A}\right)

Analogiškumą su T-1 motyvuojame susiedami Q_M \approx R_{\text{req}}(h, D_{\min} \mid M) \cdot \Delta t. Ši aproksimacija aiškiai remiasi stipria, neįrodyta stacionarios ergodinės pusiausvyros prielaida: ji tiesiogiai susieja laikinį predikcinį dažnį (R_{\text{req}} \cdot \Delta t) su statine erdvine ribos koreliacija (I). Tikslios sąlygos, kurioms esant ši lygybė galiotų, išlieka atvira formalizavimo spraga. Taikant šią aproksimaciją, Q_M konceptualiai atitinka bitų skaičių per vieną kodeko ciklą, kurį šaltinis M primeta stebėtojo ribiniam atvaizdavimui. Tai yra informacinis masės apibrėžimas: ne inercija, ne energijos tankis savaime, bet privalomas predikcinis krūvis.

2.2 Proporcingumas inertinei masei

Makroskopiškai stabiliam šaltiniui, tenkinančiam Stabilumo filtrą, darome prielaidą apie tiesioginį struktūrinį proporcingumą tarp koreliacijos bitų skaičiaus Q_M ir regione susietos visuminės energijos E_M. Siekdami išvengti statiškos tarpusavio informacijos suplakimo su aktyviomis, termodinamiškai negrįžtamo Landauerio trynimo ribomis, aiškiai perimame ribinę sąlygą, apibrėžiančią:

E_M = Q_M c_{\text{codec}}^2

Proporcingumas Q_M \propto M — įprastinei inertinei masei — struktūriškai galioja darant prielaidą, kad standartiškas reliatyvistinis atitikmuo E_M = M c^2 išoriškai susiejamas. Taip nustatomas konceptualus tiltas nuo informacinių kodeko ribų prie standartinių fizikos ekvivalentų, o formalus išvedimas atidedamas iki aiškiai apibrėžto bitų ir masės proporcingumo skaliaro \alpha.

§3. OPT–Verlinde žodynas

Prieš pasitelkdami matematiką, aiškiai nusakome atitikimą tarp Verlinde (2011) [38] ir OPT. Tai neleidžia išvedimui paveldėti standartinės entropinės gravitacijos prielaidų, kurių OPT nėra pagrindusi.

§4. Niutono atvirkštinio kvadrato dėsnio išvedimas

Verlinde’s tikslų trijų žingsnių mechanizmą — ekrano entropiją, energijos ekviparticiją, entropinę jėgą — įgyvendiname visiškai OPT kodeko kalba.

4.1 Kodeko paviršiaus gravitacija ir ribos temperatūra

Apsvarstykime sferinę Markovo antklodę, kurios spindulys r, gaubiančią predikcinio krūvio Q_M šaltinį. Kiekviename ribos taške x \in \partial A klasikinio skaliarinio potencialo gradientą struktūriškai susiejame su išoriniu entropijos gradientu, taip apibrėždami kodeko paviršiaus gravitaciją:

\kappa(x) := c_{\text{codec}}^2 \cdot \partial_n \log s(x)

čia c_{\text{codec}} yra didžiausias priežastinio sklidimo greitis atvaizdavime pateiktame lope (sutapatinamas su c preprinte §7.2), o \partial_n yra išorinė normalinė išvestinė.

Prielaida T-2.A (Radialinis entropijos profilis). Izotropinio predikcinio krūvio Q_M entropijos perturbacijos profilis yra radialiai simetriškas, o jo gradientas proporcingas Q_M/r^2. Tai struktūriškai ekvivalentiška Niutono potencialo gradientui; ši priklausomybė įvedama kaip struktūrinė įvestis, o ne išvedama iš OPT primityvų. Todėl tolesnis Niutono dėsnio atkūrimas yra sąlyginis išvedimas, priklausantis nuo šios prielaidos, o ne uždaras išvedimas.

Esant Prielaidai T-2.A, izotropinis šaltinis Q_M koordinačių pradžioje supaprastina \kappa iki:

\kappa = \frac{Q_M c_{\text{codec}}^2}{4\pi r^2 \cdot s_0}

čia s_0 = (\log q)/l_{\text{codec}}^2 yra pagrindinės būsenos atvaizdavimo entropijos tankis.

Kodeko ribos temperatūra yra:

T_{\text{codec}} = \frac{\hbar_c \,\kappa}{2\pi k_B}

čia \hbar_c = 1/C_{\max} yra mažiausias informacinio veiksmo kvantas — kodeko analogas redukuotajai Planko konstantai.

4.2 1 žingsnis — bitų skaičius ekrane

Sferinei ribai, kurios spindulys r, o paviršiaus plotas 4\pi r^2:

N = \frac{4\pi r^2}{l_{\text{codec}}^2} \cdot \log q = S_{\max}(r)

4.3 2 žingsnis — ekviparticijos dėsnis nustato T_{\text{codec}}

Taikant ekviparticijos teoremą N nepriklausomiems kodeko modams ekrane:

Q_M c_{\text{codec}}^2 = \tfrac{1}{2} N k_B T_{\text{codec}}

Išsprendę temperatūros atžvilgiu, gauname:

T_{\text{codec}} = \frac{2 Q_M c_{\text{codec}}^2}{N k_B} = \frac{Q_M c_{\text{codec}}^2 l_{\text{codec}}^2}{2\pi r^2 k_B \log q}

Nuoseklumo apribojimas: Sulyginus šią ekviparticijos temperatūrą su Unruho temperatūra, išvesta §4.1 (T_{\text{codec}}^{\text{Unruh}} = \frac{\hbar_c Q_M c_{\text{codec}}^2 l_{\text{codec}}^2}{8\pi^2 k_B r^2 \log q}), gaunamas griežtas formalus apribojimas \hbar_c = 4\pi. Natūraliuose kodeko vienetuose, priimtuose §4.5 (c_{\text{codec}} = 1), tai reikalauja, kad \hbar_c / l_{\text{codec}}^2 = 4\pi. Fiziniais vienetais tai yra ekvivalentiška §7.2 pažymėtam apribojimui, taikomam C_{\max}, ir išsprendžiama T-5.

4.4 3 žingsnis — entropijos pokytis testiniam lopui

Testinis lopas, kurio predikcinis krūvis yra m_p, pastumtas per \Delta x šaltinio link, pakeičia savo persidengimą su ribos reprezentacija. Čia mes aiškiai importuojame Unruho efekto formulę kaip struktūrinę atitiktį kodeko riboje:

\Delta S_{\text{render}} = \frac{2\pi k_B m_p c_{\text{codec}}}{\hbar_c} \cdot \Delta x

(Pastaba: kadangi šią Lorentzo simetrijos formulę importuojame, o ne išvedame iš gardelės, tolesnis jėgos išvedimas tarnauja išimtinai kaip šio atvaizdavimo nuoseklumo patikra.)

4.5 Žingsnis 4 — Entropinė jėga

Verlinde’s entropinės jėgos formulė F = T_{\text{codec}} \cdot \Delta S_{\text{render}}/\Delta x duoda:

F = T_{\text{codec}} \cdot \frac{2\pi k_B m_p c_{\text{codec}}}{\hbar_c} = \frac{2 Q_M c_{\text{codec}}^2}{N k_B} \cdot \frac{2\pi k_B m_p c_{\text{codec}}}{\hbar_c} = \frac{4\pi Q_M m_p c_{\text{codec}}^3}{N \hbar_c}

Pakeitus N = 4\pi r^2 \log q / l_{\text{codec}}^2, ir pakeitus \hbar_c = l_{\text{codec}}^2 kartu su aiškiai įvestu bitų ir masės matmeninio keitimo parametro atvaizdavimu \alpha: \alpha yra bitų į masę konversijos koeficientas, kurio matmenys yra [\alpha] = \text{kg}/\text{bit} (SI vienetais), ir kuris bus nustatytas pagal tapatinimą l_{\text{codec}} \to \ell_P T-5 skyriuje.

\boxed{F_r \propto -\frac{G_{\text{OPT}}\, (\alpha Q_M)\, (\alpha m_p)}{r^2} \qquad \text{with} \quad G_{\text{OPT}} = \frac{c_{\text{codec}}^2}{\log q}}

Atkūrus preprinto žymėjimą \lambda = G_{\text{OPT}}/(4\pi), tai matematiškai sutampa su preprinto lygtimi (15): F_r = -\lambda m Q_M / (4\pi r^2). Newtono atvirkštinio kvadrato dėsnis čia atgaunamas kaip struktūrinė atitiktis, iki matmeninės konversijos koeficiento \alpha^2; jo aiškus įvertinimas atidedamas iki T-5.

§5. Einšteino lauko lygčių išvedimas

Niutono dėsnis (§4) nustato statinę silpno lauko ribą. Kad atkurtume pilną bendrąją reliatyvumo teoriją, sekame Jacobsono (1995) termodinaminiu metodu: kiekvienam lokaliam į Rindlerio horizontą panašiam horizontui kodeke taikome Clausiuso sąryšį \delta Q = T\,\delta S atvaizdavimo entropijai.

5.1 Sąranka — lokalūs Rindlerio horizontai kodeke

Apsvarstykime bet kurį tašką p atvaizduotoje erdvėlaikio struktūroje. Kodeko priežastinė struktūra apibrėžia lokalų Rindlerio horizontą \mathcal{H} — tolygiai greitėjančio stebėtojo praeities ribą kodeko viduje. Pagrindiniai dėmenys yra šie:

• \mathcal{H} atvaizdavimo entropija: Formaliai ir eksplicitiškai perkeliame Bekensteino–Hawkingo entropijos priskyrimą, tiesiogiai atvaizduodami ploto dėsnį: dS_{\text{render}} := \frac{c_{\text{codec}}^3}{4G_{\text{OPT}}\,\hbar_c}\, dA Pastaba: šis konkretus koeficientas proporcingai susieja ploto ribą taip, kad būtų sekama priklausomybė S_{\text{render}} \propto A, tačiau tiksli skaitinė konstanta čia yra tiesiogiai perimta apibrėžtis, natūraliai suderinta su standartine fizika, o ne algebrinė išvestis, griežtai išgaunama iš grynosios kodeko ribos.

• Kodeko paviršiaus gravitacija \kappa: Ties lokaliu Rindlerio horizontu \kappa = c_{\text{codec}}^2/l_\mathcal{H}. Kodeko temperatūra yra T_{\text{codec}} = \hbar_c \kappa/(2\pi).

• Šilumos srautas \delta Q: Predikcinio krūvio srautas per dA per savąjį laiką d\tau yra: \delta Q_{\text{pred}} = T^{\text{pred}}_{\mu\nu}\, k^\mu k^\nu\, dA\, d\tau kur T^{\text{pred}}_{\mu\nu} yra predikcinis įtempio–energijos tenzorius, o k^\mu yra nulinis \mathcal{H} generatorius.

5.2 Klauzijaus sąryšis

Klauzijaus sąryšis \delta Q_{\text{pred}} = T_{\text{codec}}\, \delta S_{\text{render}}, pritaikytas kiekvienam lokaliam Rindlerio horizontui, duoda:

T^{\text{pred}}_{\mu\nu}\, k^\mu k^\nu = \frac{c_{\text{codec}}^3}{4\pi G_{\text{OPT}}\,\hbar_c} \cdot \kappa\, \theta_{\mu\nu} k^\mu k^\nu

čia \theta_{\mu\nu} = \nabla_\mu k_\nu + \nabla_\nu k_\mu yra nulinės kongruencijos plėtimosi tenzorius. Norėdami tęsti pagal Jacobsoną (1995), turime daryti prielaidą, kad kodekas masteliuojasi struktūriškai, tenkindamas bendrąsias proporcingumo ribas \delta S_{\text{render}} \propto \delta A, kurios tolygiai atvaizduojamos visuose lokaliuose horizontuose. Pritaikę Raychaudhuri lygtį, nulinės energijos sąlygą T^{\text{pred}}_{\mu\nu} k^\mu k^\nu \geq 0, integravimą per nulinį paviršių ir kontrahuotąją Bianchi tapatybę, gauname:

\boxed{G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} \propto \frac{8\pi G_{\text{OPT}}\,\hbar_c}{c_{\text{codec}}^3}\, T^{\text{pred}}_{\mu\nu}}

Esant importuotam Bekensteino–Hawkingo koeficientui (§5.1) ir proporcingumo prielaidai \delta S \propto \delta A, Jacobsono išvedimas OPT kodeko kalba pateikia Einšteino lauko lygtis su sąveikos konstanta 8\pi G_{\text{OPT}}\hbar_c/c_{\text{codec}}^3. Kosmologinė konstanta \Lambda kyla tapačiai kaip Klauzijaus sąryšio integravimo konstanta — natūraliai atvaizduojama į pamatinio būvio atvaizdavimo entropijos tankį s_0, sekantį vakuumo kodeką.

Įtempių ir energijos tenzorius T^{\text{pred}}_{\mu\nu} yra predikcinis įtempių ir energijos tenzorius: predikcinio krūvio tankio ir srauto pasiskirstymas per atvaizduotą erdvėlaikį. Niutono riboje beslėgei medžiagai T^{\text{pred}}_{00} = Q_M/V, o visi kiti komponentai išnyksta, taip atkuriant §4.

§6. Gravitacinis kreivumas kaip spartos-iškraipymo perpildymas

T-2 uždarumo kriterijus reikalauja formalaus įrodymo, kad gravitacinis kreivumas yra kodeko pasipriešinimas atvaizduoti informaciją, viršijančią spartos-iškraipymo pusiausvyrą. §5 pateikia Einšteino lygtis; šiame skyriuje tas tapatinimas suformuluojamas tiksliai.

6.1 Greičio ir iškraipymo lokalizacijos hipotezė

Iš T-1 seka, kad Stabilumo filtras nustato globalią ribinę sąlyginę slenkstį: R_{\text{req}}(D_{\min}) \leq B_{\max} = C_{\max} \cdot \Delta t. Greičio ir iškraipymo atvaizdavimai AIT sistemoje formaliai yra globalūs procesų ansambliai. Griežtai lokalaus predikcinio apribojimo apibrėžimas reikalauja aiškiai išplėsti formalizmą (pvz., erdvinių ergodinių poansamblių vidurkių pavidalu); formalus šio klausimo nagrinėjimas atidedamas iki T-5. Šio struktūrinio eskizo tikslais laikome, kad lokalus kreivumas atspindi lokalaus greičio ir iškraipymo pertekliaus tankį, o formalus pagrindimas atidedamas iki T-5.

6.2 Kreivumas kaip kodeko varža — formalus sutapatinimas

Norėdami griežtai susieti atvaizdavimo entropijos ribojimo funkcinį atvaizdavimą su G_{\mu\nu}, aiškiai sukonstruojame formalų struktūrinį sutapatinimą, kuris matematiškai ir natūraliai atitinka standartinius fizinius gravitacijos veiksmus, apibrėždamas:

S_{\text{render}}[g] := \frac{1}{4G_{\text{OPT}}}\int R\sqrt{-g}\, d^4x

Tai yra struktūrinė apibrėžtis, formaliai perimta taip, kad tiksliai atitiktų saugiai priskirtą Bekensteino–Hawkingo atvaizdavimą. Ji aiškiai nėra algebriškai išvesta tiesiogiai sekant iš T-1 ploto ribų. Esant šiai apibrėžčiai, standartinis variacinis skaičiavimas duoda:

\frac{\delta S_{\text{render}}}{\delta g_{\mu\nu}} \propto \left(G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu}\right)

Einšteino lauko lygtys (§5.2) dabar natūraliai skaitomos tapačiai kaip optimaliai apribota struktūrinė pusiausvyra:

\frac{\delta S_{\text{render}}}{\delta g_{\mu\nu}} \propto \frac{1}{2T_{\text{codec}}}\, T^{\text{pred}}_{\mu\nu}

Tai apibrėžia ekstremalią atvaizdavimo sąlygą: metrinė konfigūracija, kuri minimizuoja atvaizdavimo entropinę kainą esant T^{\text{pred}}_{\mu\nu}, yra būtent ta, kuri tenkina Einšteino lygtis.

Formalus dalinio uždarumo atvaizdavimo teiginys.

Pagal šį sutapatinimą Einšteino tenzorius G_{\mu\nu} yra atvaizdavimo entropijos funkcionalo metrinė išvestinė. Konceptualiai kreivumas koduoja kodeko antrosios eilės varžą metrinėms perturbacijoms: jis yra didelis ten, kur turi būti paskirta papildomų ribinių bitų, kad būtų galima aprėpti vietinį predikcinio krūvio tankį.

§7. Įvykių horizontai kaip kodeko prisotinimo taškai

Pastaba: Toliau pateikta analizė traktuoja R_{\text{req}}(p, D_{\min}) kaip gerai apibrėžtą lokaliąją dydį; tam reikalinga §6.1 lokalizacijos hipotezė, todėl iki T-5 tai yra euristinis svarstymas.

7.1 Prisotinimo sąlyga

Įvykių horizontas susidaro ten, kur R_{\text{req}}(p, D_{\min}) = B_{\max} tiksliai — tai riba, ties kuria Stabilumo filtras yra prisotintas. Sferiškai simetriškam predikcinio krūvio Q_M šaltiniui, nustačius R_{\text{req}}(r_S) = B_{\max} ir išsprendus:

r_S = \frac{G_{\text{OPT}}\, Q_M}{c_{\text{codec}}^2}

Tai yra OPT savaiminis Schwarzschildo spindulys. Standartinis bendrosios reliatyvumo teorijos rezultatas yra r_S = 2GM/c^2, kuris skiriasi koeficientu 2. Šis 2 koeficiento neatitikimas iš OPT primityvų nėra išvedamas; kad būtų atkurta klasikinė išraiška, reikėtų arba Q_M = 2M (ad hoc tapatinimo), arba tinkamo prie horizonto esančios geometrijos nagrinėjimo, kuris šį koeficientą išvestų natūraliai. Mes šio sutapdinimo neprimetame; vietoj to pažymime 2 koeficiento skirtumą kaip atvirą neatitikimą, kuris gali būti išspręstas atlikus pilną prie horizonto esančios srities analizę.

r_S viduje \Delta R(p) > 0 kiekviename taške: kodekas yra nuolatinės perpildos būsenoje. Juodosios skylės vidus yra sritis, kurioje Stabilumo filtras negrįžtamai žlunga — ne vieta fizinėje erdvėje, bet topologinė kodeko reprezentacinės gebos riba.

7.2 Hawkingo spinduliuotė kaip kodeko ribos nuotėkis

Ties horizontu r = r_S, kodeko temperatūra, kai \kappa = c_{\text{codec}}^4/(4G_{\text{OPT}} Q_M), yra:

T_H = \frac{\hbar_c\, c_{\text{codec}}^4}{8\pi k_B G_{\text{OPT}}\, Q_M}

Tai struktūrine forma atkuria standartinę Hawkingo temperatūrą. Suderinimui su fizikine verte reikia, kad \hbar_c c_{\text{codec}}^4/G_{\text{OPT}} = \hbar c^3/G, o tai apibrėžia C_{\max} per fundamentaliąsias konstantas — taip įvedant įtampą su T-1 pateikiamu C_{\max} traktavimu kaip laisvu empiriniu parametru. Sprendimas atidedamas iki T-5.

§8. Kosmologinė konstanta kaip vakuumo atvaizdavimo kaina

Kosmologinė konstanta \Lambda pasirodo §5.2 kaip Clausiuso sąryšio integravimo konstanta. Kodeko vakuuminė būsena nėra tuščia: tai atvaizdavimo entropijos pagrindinės būsenos konfigūracija su tolygiu tankiu s_0 = (\log q)/l_{\text{codec}}^2. Su ja susijęs vakuuminis predikcinis energijos-impulso tenzorius yra:

T^{\text{vac}}_{\mu\nu} = -\frac{\Lambda\, c_{\text{codec}}^4}{8\pi G_{\text{OPT}}\,\hbar_c}\, g_{\mu\nu}

OPT sistemoje \Lambda > 0 atitinka de Sitterio kodeko geometriją — kodeko pagrindinė būsena yra greitėjantis plėtimasis. Kokybiškai tai yra tikėtinas struktūrinis racionalizavimas: Stabilumo filtras pirmenybę teikia toms konfigūracijoms, kuriose Predikcinės Šakų Aibės šakos yra maksimaliai atskirtos (kosmologinis plėtimasis padidina informacinį atstumą tarp šakų, sumažindamas atsitiktinio priežastinio pakartotinio susiejimo dažnį). Ši sistema pateikia kokybinį \Lambda ženklo paaiškinimą, nors jo nepaprastai mažų, kiekybiškai stebimų ribų išvedimas atidedamas fizinių konstantų atkūrimui T-5.

§9. Uždarymo santrauka ir atviri kraštai

T-2 rezultatai — iš dalies išspręsti (struktūrinis atvaizdavimas)

1. Atvaizdavimo entropija formalizuota. S_{\text{render}}(A) apibrėžta per abipusės informacijos apribojimą. Ploto dėsnis patvirtintas; apibrėžtas lokalus tankis s(x).

2. Niutono dėsnis atvaizduotas. F_r = -G_{\text{OPT}} Q_M m / r^2 atkurtas per Verlinde mechanizmą, su sąlyga, kad importuojama Unruho ribos prielaida.

3. Einšteino lygtys atvaizduotos. G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} \propto T^{\text{pred}}_{\mu\nu} dera su Jacobsono Klausiuso metodu, su sąlyga, kad priimamos horizonto prisotinimo ir Einstein-Hilbert funkcionalo prielaidos.

4. Uždarymo kriterijus tenkinamas kaip atvaizdavimas. G_{\mu\nu} \propto \delta S_{\text{render}} / \delta g_{\mu\nu}. Kreivumas struktūriškai tapatinamas su atvaizdavimo entropijos metrine išvestine — kodeko atvaizduotu pasipriešinimu dažnio–iškraipymo perpildai. \blacksquare

5. Įvykių horizontai. r_S = G_{\text{OPT}} Q_M / c_{\text{codec}}^2 išvestas kaip kodeko prisotinimo taškas. Hawkingo temperatūra atkurta iš ribos termodinamikos.

Likę atviri kraštai

• T-3 (MERA tenzorių tinklai) dabar turi tikslesnį tikslą: Z_t tenzorių tinklo išplėtimas yra būtinas, kad S_{\text{render}} būtų paversta iš klasikinio ploto dėsnio į Ryu-Takayanagi holografinės entropijos ribą. Čia pateikta Jacobsono išvestis yra tarpinis pagrindas.

• T-5 (konstantų atkūrimas) priklauso nuo T-2: G_{\text{OPT}} = c_{\text{codec}}^2 / \log q turi būti suderintas su empiriniu G per tapatinimą l_{\text{codec}} \to l_P. Tai apriboja kodeko gardelės žingsnį iki Planko ilgio ir pateikia pirmąją struktūrinę nelygybę T-5a.

• Kvantinė gravitacija (atvira): Tikslių Einšteino lauko lygčių išvedimas iš aktyviosios inferencijos — o ne iš Jacobsono termodinaminio metodo — išlieka giliu atviru iššūkiu. Tenzorių tinklo išplėtimas (T-3) ir ADH kvantinės klaidų korekcijos kelias (P-2) yra kiti formalūs žingsniai.

• de Sitter išplėtimas (atviras): §5 pateikta išvestis seka Jacobsonu ir švariai taikoma asimptotiškai plokščioms bei AdS geometrijoms. Išplėtimas į dS/CFT — suderinamas su stebima teigiama \Lambda — reikalauja atviro matematinio išplėtimo, pažymėto preprinto §8.3 4 punkte.

Šis priedas palaikomas kaip OPT projekto saugyklos dalis greta theoretical_roadmap.pdf. Nuorodos: Verlinde (2011) [38], Jacobson (1995), Bekenstein (1981) [40], Almheiri-Dong-Harlow (2015) [42].