Teoria del Patch Ordenat

Tasca original T-2: derivar la relativitat general mitjançant la gravetat entròpica Problema: El preprint descriu la gravetat conceptualment com a “cost de renderització” a través de la Manta de Markov, però no desplega les matemàtiques disponibles. Lliurable: Una derivació formal que substitueixi les afirmacions heurístiques sobre la gravetat pel mecanisme matemàtic exacte de Verlinde.

Estat de tancament: PARCIALMENT RESOLT (correspondència estructural confirmada; derivació formal oberta). Aquest apèndix estableix el mapatge estructural objectiu requerit per T-2. Substitueix l’esbós heurístic de la gravetat del preprint §7.2 pel mecanisme exacte de Verlinde, reformulat en el llenguatge del còdec de l’OPT. Estableix correspondències sòlides per a l’entropia de renderització, la llei de Newton i les equacions de camp d’Einstein. Tanmateix, calen diverses hipòtesis pont fonamentals (la importació de la fórmula d’Unruh, del funcional d’Einstein-Hilbert i de l’equilibri ergòdic estacionari), cosa que fa que això sigui un mapatge estructural més que no pas una derivació tancada.

§1. Entropia de renderització — Definició formal

El concepte informal de cost de renderització a la §7.2 del preprint es formalitza aquí com a entropia de renderització, fonamentada en la llei d’àrea establerta a la §3.4 mitjançant l’entropia de tall predictiu S_{\text{cut}}(A).

1.1 Definició

Siguin A \subset V un pegat d’observador sobre el graf del substrat G, amb closca de frontera \partial_R A. L’entropia de renderització S_{\text{render}}(A, t) es defineix formalment com la informació mútua de frontera entre el pegat i l’exterior:

S_{\text{render}}(A, t) := I\!\left(X_{\partial_R A} \,;\, X_{V \setminus A}\right)

Si suposem que l’estat latent Z_t actua com una estadística suficient capaç de captar exactament la informació que X_{V \setminus A} revela sobre X_{\partial_R A}, postulem que aquesta correlació de frontera convergeix estructuralment cap a la incertesa condicional interna del còdec: S_{\text{render}}(A, t) \sim H\!\left( X_{\partial_R A} \mid Z_t \right). La cota d’àrea es dedueix de la condició estructural de cribratge de Markov X_{A^\circ} \perp X_{V \setminus A} \mid X_{\partial_R A} establerta a §3.4 (preprint Eq. 7–8):

S_{\text{render}}(A, t) \leq \lvert\partial_R A\rvert \cdot \log q =: S_{\max}(A)

on q és la mida de l’alfabet de l’espai d’estats local i |\partial_R A| és el nombre de llocs de frontera. Si el graf del substrat aproxima una xarxa de dimensió d, |\partial_R A| \sim \text{Area}(\partial A), cosa que confirma que S_{\text{render}} és una magnitud d’àrea, no una magnitud de volum.

1.2 Densitat Local d’Entropia de render

Per a una aproximació contínua (vàlida a escales molt més grans que l’espaiat de la xarxa l_{\text{codec}} = 1/\sqrt{C_{\max}} — tot observant que l_{\text{codec}} roman formalment no interpretat dimensionalment com una longitud espacial fins a la identificació explícita d’escala a T-5):

S_{\text{render}}(A) = \int_{\partial A} s(x)\, dA

on s(x) [bits/àrea] és la densitat local d’entropia de render al punt de frontera x. En absència de fonts, s(x) = (\log q)/l_{\text{codec}}^2 és uniforme. Una concentració local de càrrega predictiva (vegeu §2) pertorba s(x) i l’allunya d’aquest estat fonamental, generant el gradient entròpic que impulsa la força entròpica.

§2. Càrrega predictiva — l’anàleg del còdec de la massa

En el marc de Verlinde, la massa M entra a través del teorema d’equipartició aplicat a la pantalla hologràfica. OPT requereix una contrapart teòrica del còdec que estigui definida independentment abans de formular cap afirmació gravitatòria.

2.1 Definició

La càrrega predictiva Q_M d’una regió font M \subset V es defineix formalment, de manera purament estàtica, com la informació mútua espacial entre els estats interns de M i la frontera de la Manta de Markov de l’observador al llarg d’un cicle del còdec:

Q_M := I\!\left(X_M \,;\, X_{\partial_R A}\right)

Motivem una analogia amb T-1 mitjançant el mapatge Q_M \approx R_{\text{req}}(h, D_{\min} \mid M) \cdot \Delta t. Aquesta aproximació invoca explícitament una Assumpció d’Equilibri Estacionari Ergòdic massiva i no demostrada: vincular directament la taxa predictiva temporal (R_{\text{req}} \cdot \Delta t) amb la correlació espacial estàtica de frontera (I). Les condicions exactes perquè aquesta igualtat es compleixi continuen essent una llacuna formal oberta. Sota aquesta aproximació, Q_M es correspon conceptualment amb el nombre de bits per cicle del còdec que la font M imposa a la representació de frontera de l’observador. Aquesta és la definició informacional de la massa: no la inèrcia, ni tampoc la densitat d’energia en si mateixa, sinó la càrrega predictiva obligatòria.

2.2 Proporcionalitat amb la Massa Inercial

Per a una font macroscòpicament estable que satisfà el Filtre d’Estabilitat, assumim una proporcionalitat estructural directa entre el recompte de bits de correlació Q_M i l’energia total E_M confinada dins de la regió. Per evitar la confusió entre la informació mútua estàtica i els límits actius de Landauer d’esborrament termodinàmicament irreversible, importem explícitament el límit de frontera que defineix:

E_M = Q_M c_{\text{codec}}^2

La proporcionalitat Q_M \propto M —la massa inercial convencional— es manté estructuralment assumint que la correspondència relativista estàndard E_M = M c^2 es projecta externament. Això estableix el pont conceptual entre els límits informacionales del còdec i els equivalents de la física estàndard, deixats formalment per a una constant escalar explícita de bits a massa \alpha.

§3. El diccionari OPT–Verlinde

Abans de desplegar la matemàtica, fem explícita la traducció entre Verlinde (2011) [38] i l’OPT. Això evita que la derivació hereti supòsits de la gravetat entròpica estàndard que l’OPT no ha justificat.

§4. Derivació de la llei de l’invers del quadrat de Newton

Executem el mecanisme exacte de tres passos de Verlinde — entropia de pantalla, equipartició, força entròpica — completament dins del llenguatge del còdec d’OPT.

4.1 Gravetat Superficial del Còdec i Temperatura de Frontera

Considerem una Manta de Markov esfèrica de radi r que envolta una font de càrrega predictiva Q_M. A cada punt de frontera x \in \partial A, mapem estructuralment el gradient del potencial escalar clàssic al gradient entròpic cap enfora, definint la gravetat superficial del còdec:

\kappa(x) := c_{\text{codec}}^2 \cdot \partial_n \log s(x)

on c_{\text{codec}} és la velocitat màxima de propagació causal en el pegat renderitzat (identificada amb c al preprint §7.2), i \partial_n és la derivada normal cap enfora.

Assumpció T-2.A (Perfil entròpic radial). El perfil de pertorbació entròpica d’una càrrega predictiva isòtropa Q_M és radialment simètric, amb un gradient proporcional a Q_M/r^2. Això és estructuralment equivalent al gradient del potencial newtonià; s’importa com una entrada estructural, no es deriva dels primitius de l’OPT. La recuperació posterior de la llei de Newton és, per tant, una derivació condicional contingent a aquesta assumpció, no una derivació tancada.

Sota l’Assumpció T-2.A, una font isòtropa Q_M a l’origen redueix \kappa a:

\kappa = \frac{Q_M c_{\text{codec}}^2}{4\pi r^2 \cdot s_0}

on s_0 = (\log q)/l_{\text{codec}}^2 és la densitat entròpica de renderització de l’estat fonamental.

La temperatura de frontera del còdec és:

T_{\text{codec}} = \frac{\hbar_c \,\kappa}{2\pi k_B}

on \hbar_c = 1/C_{\max} és el quàntum mínim d’acció informacional — l’anàleg del còdec de la constant de Planck reduïda.

4.2 Pas 1 — Nombre de bits a la pantalla

Per a una frontera esfèrica de radi r amb àrea superficial 4\pi r^2:

N = \frac{4\pi r^2}{l_{\text{codec}}^2} \cdot \log q = S_{\max}(r)

4.3 Pas 2 — L’equipartició determina T_{\text{codec}}

Pel teorema d’equipartició aplicat als N modes independents del còdec sobre la pantalla:

Q_M c_{\text{codec}}^2 = \tfrac{1}{2} N k_B T_{\text{codec}}

Resolent per a la temperatura:

T_{\text{codec}} = \frac{2 Q_M c_{\text{codec}}^2}{N k_B} = \frac{Q_M c_{\text{codec}}^2 l_{\text{codec}}^2}{2\pi r^2 k_B \log q}

Restricció de consistència: Igualar aquesta temperatura d’equipartició amb la temperatura d’Unruh derivada a §4.1 (T_{\text{codec}}^{\text{Unruh}} = \frac{\hbar_c Q_M c_{\text{codec}}^2 l_{\text{codec}}^2}{8\pi^2 k_B r^2 \log q}) imposa una restricció formal estricta \hbar_c = 4\pi. En les unitats naturals del còdec adoptades a §4.5 (c_{\text{codec}} = 1), això exigeix \hbar_c / l_{\text{codec}}^2 = 4\pi. En unitats físiques, això és equivalent a la restricció sobre C_{\max} assenyalada a §7.2, i es resol a T-5.

4.4 Pas 3 — Canvi d’entropia per al pegat de prova

Un pegat de prova de càrrega predictiva m_p desplaçat en \Delta x cap a la font modifica el seu solapament amb la representació de frontera. Importem explícitament la fórmula de l’efecte Unruh com una correspondència estructural al límit del còdec:

\Delta S_{\text{render}} = \frac{2\pi k_B m_p c_{\text{codec}}}{\hbar_c} \cdot \Delta x

(Nota: Com que importem aquesta fórmula de simetria de Lorentz en lloc de derivar-la de la xarxa, la derivació posterior de la força serveix estrictament com a comprovació de consistència d’aquest mapatge.)

4.5 Pas 4 — La Força Entròpica

La fórmula de la força entròpica de Verlinde F = T_{\text{codec}} \cdot \Delta S_{\text{render}}/\Delta x dona:

F = T_{\text{codec}} \cdot \frac{2\pi k_B m_p c_{\text{codec}}}{\hbar_c} = \frac{2 Q_M c_{\text{codec}}^2}{N k_B} \cdot \frac{2\pi k_B m_p c_{\text{codec}}}{\hbar_c} = \frac{4\pi Q_M m_p c_{\text{codec}}^3}{N \hbar_c}

Substituint N = 4\pi r^2 \log q / l_{\text{codec}}^2, i substituint \hbar_c = l_{\text{codec}}^2 juntament amb un paràmetre explícit de conversió dimensional de bits a massa, \alpha: \alpha és el factor de conversió de bits a massa amb dimensions [\alpha] = \text{kg}/\text{bit} (en unitats SI), que s’ha de fixar mitjançant la identificació l_{\text{codec}} \to \ell_P a T-5.

\boxed{F_r \propto -\frac{G_{\text{OPT}}\, (\alpha Q_M)\, (\alpha m_p)}{r^2} \qquad \text{with} \quad G_{\text{OPT}} = \frac{c_{\text{codec}}^2}{\log q}}

Restaurant la notació del preprint \lambda = G_{\text{OPT}}/(4\pi), això s’alinea matemàticament amb l’Eq. (15) del preprint: F_r = -\lambda m Q_M / (4\pi r^2). La llei de l’invers del quadrat de Newton es recupera com una correspondència estructural, fins al factor de conversió dimensional \alpha^2; la seva avaluació explícita es difereix a T-5.

§5. Derivació de les equacions de camp d’Einstein

La llei de Newton (§4) estableix el límit estàtic de camp feble. Per recuperar la relativitat general completa, seguim el mètode termodinàmic de Jacobson (1995): imposar la relació de Clausius \delta Q = T\,\delta S sobre l’entropia de renderització per a cada horitzó local de tipus Rindler dins del còdec.

5.1 Configuració — Horitzons locals de Rindler en el còdec

Considerem qualsevol punt p en l’espaitemps renderitzat. L’estructura causal del còdec defineix un horitzó local de Rindler \mathcal{H} — la frontera del passat d’un observador amb acceleració uniforme dins del còdec. Els ingredients clau són:

• Entropia de renderització de \mathcal{H}: Importem formalment i de manera explícita l’assignació d’entropia de Bekenstein-Hawking, fent correspondre directament la llei d’àrea: dS_{\text{render}} := \frac{c_{\text{codec}}^3}{4G_{\text{OPT}}\,\hbar_c}\, dA Nota: Aquest coeficient específic fa correspondre proporcionalment la cota d’àrea, seguint S_{\text{render}} \propto A, però la constant numèrica exacta aquí és una definició directa importada que concorda de manera nativa amb la física estàndard, més que no pas una derivació algebraica estrictament extreta de la cota pura del còdec.

• Gravetat superficial del còdec \kappa: A l’horitzó local de Rindler, \kappa = c_{\text{codec}}^2/l_\mathcal{H}. La temperatura del còdec és T_{\text{codec}} = \hbar_c \kappa/(2\pi).

• Flux de calor \delta Q: El flux de càrrega predictiva a través de dA en el temps propi d\tau és: \delta Q_{\text{pred}} = T^{\text{pred}}_{\mu\nu}\, k^\mu k^\nu\, dA\, d\tau on T^{\text{pred}}_{\mu\nu} és el tensor predictiu d’energia-impuls i k^\mu és el generador nul de \mathcal{H}.

5.2 La relació de Clausius

La relació de Clausius \delta Q_{\text{pred}} = T_{\text{codec}}\, \delta S_{\text{render}} aplicada a cada horitzó local de Rindler dona:

T^{\text{pred}}_{\mu\nu}\, k^\mu k^\nu = \frac{c_{\text{codec}}^3}{4\pi G_{\text{OPT}}\,\hbar_c} \cdot \kappa\, \theta_{\mu\nu} k^\mu k^\nu

on \theta_{\mu\nu} = \nabla_\mu k_\nu + \nabla_\nu k_\mu és el tensor d’expansió de la congruència nul·la. Per procedir amb Jacobson (1995), hem d’assumir que el còdec escala estructuralment de manera que satisfà les cotes proporcionals genèriques \delta S_{\text{render}} \propto \delta A que es mapen uniformement a través de tots els horitzons locals. Aplicant l’equació de Raychaudhuri, la condició d’energia nul·la T^{\text{pred}}_{\mu\nu} k^\mu k^\nu \geq 0, la integració sobre la superfície nul·la, i la identitat de Bianchi contreta:

\boxed{G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} \propto \frac{8\pi G_{\text{OPT}}\,\hbar_c}{c_{\text{codec}}^3}\, T^{\text{pred}}_{\mu\nu}}

Subjecta al coeficient de Bekenstein-Hawking importat (§5.1) i a l’assumpció de proporcionalitat \delta S \propto \delta A, la derivació de Jacobson produeix les equacions de camp d’Einstein en el llenguatge del còdec de l’OPT amb la constant d’acoblament 8\pi G_{\text{OPT}}\hbar_c/c_{\text{codec}}^3. La constant cosmològica \Lambda sorgeix idènticament com la constant d’integració de mapatge de la relació de Clausius — i es correspon nativament amb la densitat entròpica de renderització de l’estat fonamental s_0 que segueix el còdec del buit.

El tensor energia-impuls T^{\text{pred}}_{\mu\nu} és el tensor energia-impuls predictiu: la distribució de densitat de càrrega predictiva i de flux a través de l’espaitemps renderitzat. En el límit newtonià per a matèria sense pressió, T^{\text{pred}}_{00} = Q_M/V i tots els altres components s’anul·len, recuperant §4.

§6. La curvatura gravitatòria com a desbordament taxa-distorsió

El criteri de tancament per a T-2 requereix una prova formal que la curvatura gravitatòria és la resistència del còdec a renderitzar informació que excedeix l’equilibri taxa-distorsió. La §5 proporciona les equacions d’Einstein; aquesta secció fa precisa aquesta identificació.

6.1 La hipòtesi de localització taxa-distorsió

A partir de T-1, el Filtre d’Estabilitat imposa un llindar condicional global de frontera R_{\text{req}}(D_{\min}) \leq B_{\max} = C_{\max} \cdot \Delta t. Les correspondències taxa-distorsió en la AIT són formalment conjunts globals de processos. Definir una restricció predictiva estrictament local requereix estendre explícitament el formalisme (p. ex. mitjanes de subensembles ergòdics espacials), cosa que es difereix formalment a T-5. Als efectes d’aquest esbós estructural, tractem la curvatura local com un reflex de la densitat local de desbordament taxa-distorsió, amb la justificació formal diferida a T-5.

6.2 La curvatura com a resistència del Còdec — La identificació formal

Per cartografiar estrictament la funció d’acotació de l’entropia de render que mapeja funcionalment G_{\mu\nu}, construïm explícitament una identificació estructural formal que concorda matemàticament amb les accions gravitatòries físiques estàndard i que defineix de manera nativa:

S_{\text{render}}[g] := \frac{1}{4G_{\text{OPT}}}\int R\sqrt{-g}\, d^4x

Aquesta és una definició estructural importada formalment que concorda exactament amb la correspondència de Bekenstein-Hawking assignada de manera rigorosa. Explícitament, no es deriva algebraicament seguint directament els límits d’àrea de T-1. Subjecte a aquesta definició, el càlcul variacional estàndard dona:

\frac{\delta S_{\text{render}}}{\delta g_{\mu\nu}} \propto \left(G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu}\right)

Les equacions de camp d’Einstein (§5.2) ara es llegeixen de manera nativa i idèntica com un equilibri estructural òptimament acotat:

\frac{\delta S_{\text{render}}}{\delta g_{\mu\nu}} \propto \frac{1}{2T_{\text{codec}}}\, T^{\text{pred}}_{\mu\nu}

Això defineix la condició de render extremal: la configuració mètrica que minimitza el cost entròpic del render donat T^{\text{pred}}_{\mu\nu} és exactament la que satisfà les equacions d’Einstein.

Enunciat formal de la correspondència de tancament parcial.

Sota aquesta identificació, el tensor d’Einstein G_{\mu\nu} és la derivada mètrica del funcional d’entropia de render. Conceptualment, la curvatura codifica la resistència de segon ordre del còdec a la pertorbació mètrica: és gran allí on cal assignar bits addicionals de frontera per acomodar la densitat local de càrrega predictiva.

§7. Horitzons d’esdeveniments com a punts de saturació del Còdec

Nota: L’anàlisi següent tracta R_{\text{req}}(p, D_{\min}) com una quantitat local ben definida; això requereix la Hipòtesi de Localització de §6.1 i, per tant, és heurístic a l’espera de T-5.

7.1 La condició de saturació

Un horitzó d’esdeveniments es forma allí on R_{\text{req}}(p, D_{\min}) = B_{\max} exactament — el límit en què el Filtre d’Estabilitat queda saturat. Per a una font esfèricament simètrica de càrrega predictiva Q_M, fixant R_{\text{req}}(r_S) = B_{\max} i resolent:

r_S = \frac{G_{\text{OPT}}\, Q_M}{c_{\text{codec}}^2}

Aquest és el radi de Schwarzschild propi de l’OPT. El resultat estàndard de la relativitat general és r_S = 2GM/c^2, que difereix per un factor 2. Aquesta discrepància d’un factor 2 no es deriva dels primitives de l’OPT; fer coincidir el resultat clàssic requeriria o bé Q_M = 2M (una identificació ad hoc) o bé un tractament adequat de la geometria prop de l’horitzó que produís el factor de manera natural. No imposem aquesta coincidència; en canvi, assenyalem el factor 2 com una discrepància oberta que potser es resoldrà amb una anàlisi completa de la regió propera a l’horitzó.

Dins de r_S, \Delta R(p) > 0 a cada punt: el còdec es troba en desbordament permanent. L’interior d’un forat negre és la regió on el Filtre d’Estabilitat falla de manera irrecuperable — no una localització en l’espai físic, sinó un límit topològic de la capacitat representacional del còdec.

7.2 Radiació de Hawking com a fuita de frontera del còdec

A l’horitzó r = r_S, la temperatura del còdec amb \kappa = c_{\text{codec}}^4/(4G_{\text{OPT}} Q_M) dona:

T_H = \frac{\hbar_c\, c_{\text{codec}}^4}{8\pi k_B G_{\text{OPT}}\, Q_M}

Això reprodueix la temperatura estàndard de Hawking en forma estructural. L’ajust amb el valor físic requereix \hbar_c c_{\text{codec}}^4/G_{\text{OPT}} = \hbar c^3/G, cosa que fixa C_{\max} en termes de constants fonamentals, i introdueix una tensió amb el tractament de C_{\max} a T-1 com a paràmetre empíric lliure. La resolució es difereix a T-5.

§8. Constant cosmològica com a cost de renderització del buit

La constant cosmològica \Lambda apareix a §5.2 com la constant d’integració de la relació de Clausius. L’estat de buit del còdec no és buit: és la configuració d’estat fonamental de l’entropia de renderització amb densitat uniforme s_0 = (\log q)/l_{\text{codec}}^2. La tensió-energia predictiva de buit associada és:

T^{\text{vac}}_{\mu\nu} = -\frac{\Lambda\, c_{\text{codec}}^4}{8\pi G_{\text{OPT}}\,\hbar_c}\, g_{\mu\nu}

En OPT, \Lambda > 0 correspon a una geometria del còdec de de Sitter — l’estat fonamental del còdec és una expansió accelerada. Qualitativament, això constitueix una racionalització estructural esperable: el Filtre d’Estabilitat selecciona preferentment configuracions en què les branques del Ventall Predictiu estan separades al màxim (l’expansió cosmològica incrementa la distància informacional entre branques, reduint la taxa de reacoblament causal accidental). Aquest marc proporciona una explicació qualitativa del signe de \Lambda, tot i que la derivació dels seus límits observacionals quantitatius extraordinàriament petits es difereix fins a la recuperació de les constants físiques a T-5.

§9. Resum de tancament i fronts oberts

Lliurables T-2 — Parcialment resolts (mapatge estructural)

1. Entropia de render formalitzada. S_{\text{render}}(A) definida mitjançant informació mútua acotada. La llei d’àrea queda confirmada; es defineix la densitat local s(x).

2. Llei de Newton mapada. F_r = -G_{\text{OPT}} Q_M m / r^2 es recupera mitjançant el mecanisme de Verlinde, condicionat a la importació de l’assumpció de frontera d’Unruh.

3. Equacions d’Einstein mapades. G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} \propto T^{\text{pred}}_{\mu\nu} s’alinea amb el mètode de Clausius de Jacobson, condicionat a les assumpcions de saturació de l’horitzó i del funcional d’Einstein-Hilbert.

4. Criteri de tancament satisfet com a mapatge. G_{\mu\nu} \propto \delta S_{\text{render}} / \delta g_{\mu\nu}. La curvatura s’identifica estructuralment amb la derivada mètrica de l’entropia de render — la resistència mapada del còdec al desbordament taxa-distorsió. \blacksquare

5. Horitzons d’esdeveniments. r_S = G_{\text{OPT}} Q_M / c_{\text{codec}}^2 derivat com el punt de saturació del còdec. La temperatura de Hawking es recupera a partir de la termodinàmica de frontera.

Fronts oberts restants

• T-3 (xarxes tensorials MERA) té ara un objectiu més precís: l’actualització en xarxa tensorial de Z_t és necessària per convertir S_{\text{render}} d’una llei d’àrea clàssica en la cota d’entropia hologràfica de Ryu-Takayanagi. La derivació de Jacobson aquí n’és el nivell intermedi.

• T-5 (recuperació de constants) depèn de T-2: G_{\text{OPT}} = c_{\text{codec}}^2 / \log q s’ha de fer correspondre amb la G empírica mitjançant la identificació l_{\text{codec}} \to l_P. Això constreny l’espaiat de la xarxa del còdec a la longitud de Planck, i proporciona la primera desigualtat estructural per a T-5a.

• Gravetat quàntica (obert): derivar les equacions exactes del camp d’Einstein a partir de la Inferència activa — en lloc de fer-ho a partir del mètode termodinàmic de Jacobson — continua essent un repte profundament obert. L’actualització de xarxa tensorial (T-3) i la via de correcció quàntica d’errors ADH (P-2) són els passos formals següents.

• Extensió de de Sitter (obert): la derivació de la §5 segueix Jacobson i s’aplica netament a geometries asimptòticament planes i AdS. L’extensió a dS/CFT — coherent amb la \Lambda positiva observada — requereix l’extensió matemàtica oberta assenyalada al punt 4 de la §8.3 del preprint.

Aquest apèndix es manté com a part del repositori del projecte OPT juntament amb theoretical_roadmap.pdf. Referències: Verlinde (2011) [38], Jacobson (1995), Bekenstein (1981) [40], Almheiri-Dong-Harlow (2015) [42].