क्रमित पैच सिद्धांत (OPT)

मूल कार्य T-1: स्थिरता फ़िल्टर — पूर्ण रेट-डिस्टॉर्शन विनिर्देशन समस्या: शैनन के रेट-डिस्टॉर्शन सिद्धांत के लिए आवश्यक हैं: एक स्रोत X, एक पुनरुत्पादन वर्णमाला, और एक डिस्टॉर्शन फलन d(x, \hat{x})। प्रीप्रिंट OPT के अधःस्तर के लिए इन तीन अवयवों को निर्दिष्ट किए बिना R_{pred}(D) का आह्वान करता है। प्रदत्त परिणाम: OPT की रेट-डिस्टॉर्शन समस्या के लिए एक पूर्ण (\mathcal{X}, \hat{\mathcal{X}}, P_X, d) विनिर्देशन।

यह संशोधन अधिशेष एंट्रॉपी को सांख्यिकीय जटिलता से पृथक करता है, सीमित क्षितिज पर predictive-KL identity को सिद्ध करता है, सामान्य निम्न-सीमा R_{T,h}(D)\ge E_{T,h}-D को सिद्ध करता है, और यह भी बताता है कि वह निम्न-सीमा किन शर्तों के अंतर्गत ठीक-ठीक प्राप्त होती है। C_{\max} रेट-डिस्टॉर्शन औपचारिकता से व्युत्पन्न किसी राशि के बजाय एक अनुभवजन्य पैरामीटर बना रहता है।
समापन स्थिति: आंशिक रूप से समाधानित। चार-घटक विनिर्देशन, predictive-KL identity, और सामान्य निम्न-सीमा R_{T,h}(D) \geq E_{T,h}(\nu) - D स्थापित किए जा चुके हैं, साथ ही सटीक समता-मानदंड भी दिया गया है। पहले किया गया सामान्य closed-form दावा R(D) = C_\mu - D वापस ले लिया गया है; सही परिणाम निम्न-सीमा है। C_{\max} अब भी रेट-डिस्टॉर्शन औपचारिकता से व्युत्पन्न किसी राशि के बजाय एक अनुभवजन्य पैरामीटर बना रहता है।

§0. सूत्रीकरण स्तर

कार्यशील सूत्रीकरण। T,h<\infty नियत करें। मान लें कि X:=X_{1:T} अतीत-ब्लॉक को निरूपित करता है और Y:=X_{T+1:T+h}, एक नियत संगणनीय स्थिर एर्गोडिक माप \nu\in\mathcal M के अंतर्गत, भविष्य के look-ahead ब्लॉक को। सीमित-क्षितिज पूर्वानुमानिक सूचना को इस प्रकार परिभाषित करें E_{T,h}(\nu):=I(X;Y). जब अनंत-क्षितिज सीमा अस्तित्व में हो, तब excess entropy को इस प्रकार परिभाषित करें E_\nu := I(\overleftarrow X;\overrightarrow X). यदि S पूर्ण \epsilon-machine कारणिक अवस्था को निरूपित करता है, तो सांख्यिकीय जटिलता को इस प्रकार परिभाषित करें C_{\mu,\nu}:=H(S). ये परिमाण परस्पर भिन्न हैं। इस परिशिष्ट में सीमित-क्षितिज rate-distortion समस्या को E_{T,h} के संदर्भ में प्रतिपादित किया गया है, C_{\mu,\nu} के नहीं। सोलोमोनॉफ़ माप \xi केवल meta-prior weighting (preprint Eq. 1) के रूप में प्रवेश करता है: व्यक्तिगत R(D) वक्र प्रत्येक माप \nu के लिए गणित किए जाते हैं। जिन परिणामों के लिए पूर्ण मिश्रण \xi आवश्यक है, उन्हें पृथक रूप से प्रतिपादित किया गया है।

§1. पूर्ण चतुष्टय विनिर्देशन

1.1 स्रोत X और वितरण P_X

\{0,1\}^\infty पर एक संगणनीय स्थिर एर्गोडिक माप \nu \in \mathcal{M} नियत करें। स्रोत वह प्रक्रिया (X_t)_{t \ge 1} है जो \nu के अनुसार वितरित है। मेटा-प्रायर की भूमिका के लिए, preprint Eq. (1) का \xi प्रत्येक ऐसे \nu को w_\nu \approx 2^{-K(\nu)} द्वारा भारित करता है। हम \mathcal{M} के एक नियत सदस्य के लिए P_X = \nu लिखते हैं। नीचे के सभी परिणाम प्रति-माप \nu पर लागू होते हैं; सोलोमोनॉफ़ संबंध §4 में प्रभुत्व-सीमा के माध्यम से प्रवेश करता है।

1.2 पुनरुत्पादन वर्णमाला \hat{X}

नियत T,h के लिए, अतीत के ब्लॉकों पर एक सीमित-क्षितिज पूर्वानुमानिक समतुल्यता संबंध परिभाषित करें: x \sim_h x' \iff \nu(Y\in A\mid X=x)=\nu(Y\in A\mid X=x') \quad\text{for all measurable }A\subseteq\{0,1\}^h. मान लें कि S_h, \sim_h के अंतर्गत X का समतुल्यता वर्ग है। तब S_h, क्षितिज h पर X से Y का पूर्वानुमान करने के लिए न्यूनतम पर्याप्त सांख्यिकी है।

पूर्ण \epsilon-machine कारणिक अवस्था S वह अनंत-क्षितिज वस्तु है जो अर्ध-अनंत अतीतों और पूर्ण भविष्य पर जाने पर प्राप्त होती है। यह परिशिष्ट सीमित-क्षितिज व्युत्पत्तियों के लिए S_h का उपयोग करता है और पूर्ण कारणिक-अवस्था सीमा के लिए S को सुरक्षित रखता है।

संगणनीयता की स्थिति। सामान्य संगणनीय \nu के लिए, यह परिशिष्ट पूर्वानुमानिक-अवस्था विभाजन की सटीक संगणनीयता का दावा नहीं करता। इसे एक आदर्शीकृत मापनीय वस्तु के रूप में माना गया है। सटीक संगणनीयता का प्रतिपादन केवल उन स्पष्ट रूप से पहचाने गए उपवर्गों के लिए किया गया है, जैसे सीमित-स्मृति प्रक्रियाएँ।

1.3 विरूपण फलन d_h(x, z)

विरूपण फलन KL पूर्वानुमानिक अपसरण है: d_h(x,z):=D_{\mathrm{KL}}\!\big(P_\nu(Y\mid X=x)\,\|\,P_\nu(Y\mid Z=z)\big). यहाँ Z एक निरूपण चर है जो एक encoder p(z\mid x) द्वारा उत्पन्न किया जाता है। जब Z=S_h होता है, तब यह सटीक पूर्वानुमानिक-अवस्था विरूपण है; और जब Z एक coarsening या stochastic code होता है, तब P_\nu(Y\mid Z=z) प्रेरित पूर्वानुमानिक नियम होता है।

पूर्ण चतुष्टय

§2. Four-Tuple के अंतर्गत R_{T,h}(D) की व्युत्पत्ति

§1 के four-tuple के लिए rate-distortion फलन है:

R_{T,h}(D) = \min_{p(z|x) : \mathbb{E}[d_h(X,Z)] \le D} I(X ; Z)

2.1 KL विकृति सर्वसमिका

मान लें X:=X_{1:T}, Y:=X_{T+1:T+h}, और Z कोई भी निरूपण हो जो किसी encoder p(z\mid x) द्वारा उत्पादित किया गया हो। चूँकि Z-X-Y एक मार्कोव शृंखला है, \mathbb E[d_h(X,Z)] = \mathbb E\!\left[D_{\mathrm{KL}}(P(Y\mid X)\|P(Y\mid Z))\right] = H(Y\mid Z)-H(Y\mid X) = I(X;Y\mid Z). समतुल्य रूप से, \mathbb E[d_h(X,Z)] = I(X;Y)-I(Z;Y)=E_{T,h}(\nu)-I(Z;Y). अतः विकृति-बंधन \mathbb E[d_h(X,Z)]\le D समतुल्य है I(Z;Y)\ge E_{T,h}(\nu)-D.

2.2 सूचना बॉटलनेक का पुनर्संरूपण

विकृति-शर्त अनुमत एन्कोडरों के समुच्चय को उन एन्कोडरों तक सीमित करती है जो \mathbb{E}[d_h(X,Z)] \le D को संतुष्ट करते हैं। यह ठीक-ठीक I(Z;Y) के लिए निम्न-सीमा निर्धारित करने के समतुल्य है, जिससे बाधित सूचना बॉटलनेक समस्या प्राप्त होती है। क्योंकि मानक time-sharing तर्कों के अंतर्गत प्राप्य क्षेत्र \{(I(Z;Y), I(X;Z))\} उत्तल है, इसलिए प्रबल द्वैतता लागू होती है। इससे सूचना बॉटलनेक लैग्रांजियन (Tishby, Pereira & Bialek 1999 [28]) का उपयोग करते हुए एक सटीक पुनर्संरूपण संभव होता है: \mathcal{L}[p(z|x)] = I(X ; Z) - \beta \cdot I(Z ; Y) जहाँ लैग्रांज गुणक \beta, D द्वारा निर्धारित होता है। IB लैग्रांजियन संपीड़न दर और पूर्वानुमानिक निष्ठा के बीच पैरेटो सीमारेखा का अनुगमन करता है।

2.3 मुख्य प्रमेय: सामान्य निम्न सीमा और समता मानदंड

हम rate-distortion फलन के लिए निम्न सीमा स्थापित करते हैं:

प्रस्तावना (सामान्य निम्न सीमा और समता मानदंड)।
किसी भी encoder p(z\mid x) के लिए, मान लें D:=\mathbb E[d_h(X,Z)]. तब I(X;Z)=E_{T,h}(\nu)-D+I(X;Z\mid Y). फलतः, R_{T,h}(D)\ge E_{T,h}(\nu)-D. सघन सीमित reproduction alphabets के लिए, जहाँ continuity यह सुनिश्चित करती है कि encoders पर infimum प्राप्त हो जाता है, किसी दिए गए distortion D पर समता तभी और केवल तभी होती है जब कोई ऐसा encoder मौजूद हो जो उस distortion को प्राप्त करता हो और जिसके लिए I(X;Z\mid Y)=0. नियतात्मक encoders Z=g(X) के लिए, यह समतुल्य है H(Z\mid Y)=0.

शून्य distortion पर, न्यूनतम पर्याप्त सांख्यिकी S_h प्राप्त करती है R_{T,h}(0)=I(X;S_h)=H(S_h). ध्यान दें कि यह H(S_h) शून्य-distortion दर सामान्यतः निम्न सीमा E_{T,h} से सख्ती से ऊपर स्थित होती है। यह अंतर गैर-ऋणात्मक gap H(S_h) - E_{T,h} = H(S_h|Y) है। भौतिक रूप से, यह gap अतीत में निहित उस संरचनात्मक ‘stored information’ का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे भविष्य-विंडो अकेले पुनर्प्राप्त नहीं कर पाती। शून्य distortion पर समता का होना (H(S_h|Y)=0) एक अत्यधिक अपसारी स्थिति है, जो जटिल प्रक्रियाओं के लिए सामान्यतः असत्य होती है।

पूर्ण causal-state सीमा में, R(0)=C_{\mu,\nu}=H(S). यह केवल विशेष स्थितियों में E_\nu के बराबर होता है; सामान्यतः E_\nu < C_{\mu,\nu}।

2.4 अधिक स्थूल पुनरुत्पादन वर्णमालाओं के लिए व्यवहार

किसी भी नियतात्मक स्थूलीकरण Z=g(S_h) के लिए, I(X;Z)=I(Z;Y)+I(X;Z\mid Y)=E_{T,h}(\nu)-D+I(X;Z\mid Y)\ge E_{T,h}(\nu)-D. अऋणात्मक शिथिलता पद I(X;Z\mid Y) केवल तभी लुप्त होता है जब स्थूलित निरूपण भविष्य विंडो Y से पुनर्प्राप्त किया जा सके। अतः अधिक स्थूल वर्णमालाएँ सामान्यतः ऐसी दर-विकृति वक्र उत्पन्न करती हैं जो रेखा E_{T,h}-D के सख्ती से ऊपर होती हैं। यह रेखा एक सार्वभौमिक निम्न सीमा है, न कि सामान्यतः प्राप्त होने वाला आवरण। कोई भी व्यावहारिक रूप से संगणनीय कोडेक कारणिक अवस्थाओं के लिए सीमित-स्मृति सन्निकटन का उपयोग करता है और इसलिए उसकी वक्र इस सीमा के ऊपर होती है।

2.5 सीमा मूल्यांकन

(टिप्पणी: अनंत-क्षितिज सीमा में, शून्य-दर बिंदु विकृति E_\nu पर होता है, C_{\mu,\nu} पर नहीं)

§3. C_{\max} — लक्षणन और अवरोध

3.1 अनंत-क्षितिज अभिसरण लेम्मा

मुख्य प्रमेय (§2.3) सीमित (T, h) के लिए निम्न सीमा R_{T,h}(D) \ge E_{T,h}(\nu) - D स्थापित करता है। अब हम दिखाते हैं कि यह अनंत-क्षितिज परिवेश तक विस्तृत होता है।

लेम्मा (अनंत-क्षितिज विस्तार). मान लें कि \nu \{0,1\}^\infty पर एक स्थिर एर्गोडिक माप है। तब:

1. E_{T,h}(\nu) = I(X_{1:T}\,;\,X_{T+1:T+h}) दोनों T और h में गैर-ह्रासमान है (डेटा-प्रोसेसिंग असमता के अनुसार: स्थिरता के अधीन, अधिक लंबे ब्लॉकों पर शर्त लगाने से अतीत और भविष्य के बीच पारस्परिक सूचना घट नहीं सकती)।
2. सीमा E_\nu := \lim_{T,h \to \infty} E_{T,h}(\nu) अस्तित्व में है (संभवतः +\infty), एकरूपी अभिसरण के कारण।
3. प्रत्येक नियत D \ge 0 के लिए, अनुक्रम R_{T,h}(D), T में गैर-ह्रासमान है (अधिक लंबे अतीत इष्टतम संपीड़न दर को कम नहीं कर सकते) और h में भी गैर-ह्रासमान है। h में एकरूपता के लिए प्रमाण-रूपरेखा: विरूपण फलन d_{h+1}(x, z) = D_{\mathrm{KL}}\!\left(P_\nu(\cdot \mid x) \,\|\, P_z(\cdot \mid z)\right) के रूप में h+1 भविष्य-चरणों पर विघटित होता है, जिसे श्रृंखला-नियम द्वारा d_h(x,z) + D_{\mathrm{KL}}\!\left(P_\nu(X_{T+h+1} \mid x, X_{T+1:T+h}) \,\|\, P_z(X_{T+h+1} \mid z, X_{T+1:T+h})\right) के रूप में लिखा जा सकता है। चूँकि दूसरा पद गैर-ऋणात्मक है, इसलिए बिंदुवार d_{h+1} \geq d_h। अतः बंधन-समुच्चय \{P(z|x) : E[d_{h+1}] \leq D\} \subseteq \{P(z|x) : E[d_h] \leq D\}, और एक छोटे साध्य समुच्चय पर न्यूनकरण करने से दर घट नहीं सकती: R_{T,h+1}(D) \geq R_{T,h}(D)।
4. अतः R_\nu(D) := \lim_{T,h \to \infty} R_{T,h}(D) अस्तित्व में है।

चूँकि R_{T,h}(D) \ge E_{T,h}(\nu) - D प्रत्येक सीमित चरण पर सत्य है, और दोनों पक्ष एकरूप रूप से अभिसरित होते हैं, इसलिए यह सीमा तक पारित हो जाता है:

R_\nu(D) \ge E_\nu - D

यही वह अनंत-क्षितिज निम्न सीमा है जिसका आह्वान नीचे प्रस्तावनाओं T-1a और T-1c में किया गया है। टिप्पणी: जिन प्रक्रियाओं के लिए E_\nu = +\infty हो (उदाहरणार्थ, जब k \to \infty हो तब उच्च-क्रम de Bruijn चक्र), उनके लिए यह सीमा तुच्छ रूप से संतुष्ट होती है; ऐसी प्रक्रियाएँ किसी भी सीमित C_{\max} के लिए प्रेक्षक-संगत समुच्चय O_{C_{\max},D_{\min}} से बहिष्कृत हैं।

3.2 स्थिरता फ़िल्टर द्वारा M का विभाजन — प्रतिज्ञप्ति T-1a

प्रतिज्ञप्ति T-1a (अतुच्छ विभाजन)।
अनुभवजन्य C_{\max}>0, \Delta t>0, और D_{\min}\ge0 नियत करें। परिभाषित करें O_{C_{\max},D_{\min}} := \{\nu\in\mathcal M: R_\nu(D_{\min})\le C_{\max}\Delta t\}. तब O_{C_{\max},D_{\min}} तथा उसका पूरक, दोनों ही अशून्य हैं।

प्रमाण। स्थिर प्रक्रिया O_{C_{\max},D_{\min}} में आती है, क्योंकि उसके लिए E_\nu=0 और R_\nu(D)=0 होता है।
पूरक के लिए, क्रम k की एक द्विआधारी de Bruijn-चक्र प्रक्रिया चुनें: अवधि 2^k वाली एक स्थिर एर्गोडिक द्विआधारी प्रक्रिया, जिसमें चरण समानरूप से वितरित हो, और जिसमें लंबाई-k का प्रत्येक शब्द प्रति चक्र ठीक एक बार प्रकट होता है। इस प्रक्रिया के लिए, E_\nu=C_{\mu,\nu}=k. अतः R_\nu(D_{\min})\ge k-D_{\min}. यदि k>C_{\max}\Delta t + D_{\min} चुना जाए, तो R_\nu(D_{\min})>C_{\max}\Delta t प्राप्त होता है, अतः \nu\notin O_{C_{\max},D_{\min}}। \square

3.3 C_{\max} की परिभाषा/लक्षणन — T-1b

परिभाषा T-1b (अनुभवजन्य चेतन-अभिगम बैंडविड्थ पैरामीटर)।
C_{\max} को दर-विकृति औपचारिकता के बाह्य एक अनुभवजन्य चेतन-अभिगम बैंडविड्थ पैरामीटर के रूप में लिया जाता है। दिए गए C_{\max} के लिए, प्रेक्षक-संगत वर्ग को इस प्रकार परिभाषित करें O_{C_{\max},D_{\min}} := \{\nu\in\mathcal M: R_\nu(D_{\min})\le C_{\max}\Delta t\}. यदि कोई पृथक रूप से निर्दिष्ट संदर्भ-वर्ग \mathcal{O}_{ref} का सार प्रस्तुत करना चाहे, तो परिभाषित करें C^{ref}_{max}:=\frac{1}{\Delta t}\sup_{\nu\in\mathcal{O}_{ref}}R_\nu(D_{\min}). यह किसी चुने हुए वर्ग का एक सार-सांख्यिकीय मान है, स्वयं उस वर्ग की परिभाषा नहीं।

3.4 अनुद्भव अवरोध — प्रमाण-रूपरेखा T-1c

प्रमाण-रूपरेखा T-1c (\xi मात्र से कोई सीमित सार्वभौमिक ऊपरी सीमा नहीं)।
सोलोमोनॉफ़ सार्वभौमिक अर्धमाप \xi, प्रत्येक संगणनीय माप \nu\in\mathcal M को धनात्मक पूर्व-प्रायिकता भार प्रदान करता है। वर्ग \mathcal M में ऐसे स्थिर एर्गोडिक द्विआधारी प्रक्रम सम्मिलित हैं जिनकी अतिरिक्त एंट्रॉपी E_\nu मनमाने रूप से बड़ी हो सकती है (उदाहरण के लिए, ऊपर दिया गया de Bruijn परिवार)। चूँकि R_\nu(D_{\min})\ge E_\nu-D_{\min}, अतः केवल \xi से R_\nu(D_{\min}) पर समर्थन-व्यापी कोई सीमित ऊपरी सीमा व्युत्पन्न नहीं की जा सकती। इसलिए कोई भी सीमित C_{\max}, नग्न सोलोमोनॉफ़ पूर्व-प्रायिकता से परे, अतिरिक्त अनुभवजन्य इनपुट या वर्ग-सीमितकारी मान्यताओं की अपेक्षा करता है। \square

§4. सोलोमोनॉफ़ मेटा-प्रायर से संबंध

§1 का चतुष्टय और §2 का R(D) व्युत्पादन प्रति-माप \nu के आधार पर प्रतिपादित हैं। सोलोमोनॉफ़ संबंध — अर्थात मेटा-प्रायर \xi प्रेक्षक-संगत स्ट्रीमों को किस प्रकार भार देता है — एक व्युत्पत्ति नहीं, बल्कि एक संरचनात्मक अनुरूपता है।

किसी भी प्रेक्षक-संगत \nu \in O_{C_{\max},D_{\min}} के लिए, दर-विकृति संतुलन यह सुनिश्चित करता है कि संपीड़ित स्ट्रीम z_{0:T} स्थिरता फ़िल्टर का चयनित निरूपण हो। सोलोमोनॉफ़ प्रायर \xi इस \nu को भार w_\nu \approx 2^{-K(\nu)} प्रदान करता है: अधिक सरल (निम्न K वाले) प्रेक्षक-संगत प्रक्रम \xi के अधीन घातांकीय रूप से अधिक संभाव्य होते हैं। यही मितव्ययिता-तर्क (परिशिष्ट T-4) की औपचारिक अभिव्यक्ति है: स्थिरता फ़िल्टर, \xi पर क्रियाशील होकर, उस सबसे सरल कोडेक का चयन करता है जो बैंडविड्थ की सीमा के भीतर समाहित हो सके।

T-4b से प्राप्त प्रभुत्व-सीमा यहाँ प्रत्यक्ष रूप से लागू होती है: किसी भी संगणनीय भौतिकी माप \nu के लिए, जहाँ K(\nu) < \infty:

-\log \xi(y_{1:T}) \le -\log \nu(y_{1:T}) + K(\nu)

यह सुनिश्चित करता है कि OPT मेटा-प्रायर \xi किसी भी स्थिर संगणनीय भौतिकी मॉडल की तुलना में प्रेक्षक-संगत स्ट्रीमों को उससे कम प्रायिकता कभी नहीं देता, सिवाय मॉडल की अपनी वर्णन-लंबाई K(\nu) तक के अंतर के।

§5. अनुभवात्मक बिट क्वांटम h^\ast (E-1 का पूर्वावलोकन)

C_{\max} के एक अनुभवजन्य चयन और एक अनुभवजन्य सचेत अद्यतन-विंडो \Delta t को देखते हुए, परिभाषित करें h^*:=C_{\max}\Delta t. C_{\max}\approx 10 bits/s और \Delta t\in[50,80] ms के लिए, h^*\approx 0.5\text{–}0.8 प्रति सचेत क्षण बिट।

कोई भी स्थिर एर्गोडिक प्रक्रिया \nu \in \mathcal{M} जो E_{T,h}(\nu) - D_{\min} > h^\ast को संतुष्ट करती है, वैध रूप से नैरेटिव विघटन को ट्रिगर करेगी। इसका कारण यह है कि R_{T,h}(D_{\min}) \ge E_{T,h} - D_{\min} > h^\ast = C_{\max} \Delta t , जो संगतता मानदंड का स्पष्ट उल्लंघन करता है। तथापि, यह पतन के लिए एक पर्याप्त शर्त है, कठोर अर्थ में आवश्यक शर्त नहीं: क्योंकि निम्न-सीमा विरले ही सख्त होती है (R_{T,h} > E_{T,h} - D_{\min} सामान्यतः §2.4 के अनुसार), प्रक्रियाएँ तब भी नैरेटिव विघटन से गुजर सकती हैं जब E_{T,h} - D_{\min} \le h^\ast। यह E-1 के लिए मात्रात्मक पूर्वानुमान प्रदान करता है; \Delta t \in [40, 300] ms के चयन के प्रति संवेदनशीलता पर चर्चा E-1 परिशिष्ट में की गई है।

§6. समापन सारांश

T-1 निष्पादन-फल — संशोधित स्थिति

1. चार-ट्यूपल को सीमित-क्षितिज पूर्वानुमानिक परिवेश में निर्दिष्ट किया गया है।
2. पूर्वानुमानिक-KL सर्वसमिका का सही व्युत्पादन किया गया है।
3. सामान्य प्रमेय R(D)=C_\mu-D को सही निम्न सीमा से प्रतिस्थापित किया गया है R_{T,h}(D)\ge E_{T,h}-D साथ ही सटीक समता-मानदंड I(X;Z\mid Y)=0 भी दिया गया है।
4. शून्य-विकृति कोडिंग का लक्षणन न्यूनतम पर्याप्त सांख्यिकी S_h द्वारा किया गया है, और पूर्ण कारणिक-अवस्था सीमा में R(0)=C_{\mu,\nu}।
5. C_{\max} को अनुभवजन्य माना गया है, आंतरिक रूप से व्युत्पन्न नहीं।
6. h^*=C_{\max}\Delta t एक अनुभवजन्य पैरामीट्रीकरण है, §2 से निकला कोई प्रमेय नहीं।

यह परिशिष्ट OPT परियोजना रिपॉज़िटरी के भाग के रूप में theoretical_roadmap.pdf के साथ संधारित किया जाता है।