Viðauki P-3: Fano-takmörkuð ósamhverf hólógrafía

Upprunalegt verkefni P-3: Fano-takmörkuð ósamhverf hólógrafía Vandamál: Að staðfesta stefnuör hólógrafískrar jafngildni með notkun ójöfnu Fanos undir hraða-brenglun. Afurð: Formleg afleiðsla ósamhverfunnar.

1. Inngangur: Spennan gagnvart nákvæmri tvíund

Staðlaðar framsetningar á hólógrafísku lögmáli (t.d. AdS/CFT-tvíundin) gera ráð fyrir nákvæmri ísómorfíu milli hærri-víddar rúmmáls og lægri-víddar jaðars þess. Í hreinum framsetningum skammtaþyngdarafls eru þessar lýsingar stærðfræðilega fullkomlega samhverfar; ástandið í rúmmálinu ákvarðar ástandið á jaðrinum með ótvíræðum hætti, og það sem skiptir hér sköpum er að ástandið á jaðrinum ákvarðar einnig ástandið í rúmmálinu með ótvíræðum hætti. Hvorug framsetningin hefur verufræðilegan forgang.

Kenningin um raðaðan patch (OPT) rýfur þessa samhverfu á formgerðarlegan hátt. OPT heldur því fram að algrímsbundnar myndunarreglur (\mathcal{I}, “hvarfefni”) hafi verufræðilegan forgang, á meðan fyrirbæraheimurinn (R, “myndgerð”) sé afleiddur forspárskuggi. Þessi ósamhverfa leiðir til formlegrar fræðilegrar spennu: ef hólógrafískar tvíundir spretta lífrænt af takmörkunum upplýsingakóðunar, hvers vegna rofnar samhverfan þá með ströngum hætti í okkar staðbundna orsakaplásturi?

Þessi viðauki leysir úr þessari spennu með því að beita ójöfnu Fanos undir algildri hálfmælingu Solomonoffs. Við leiðum formlega af (að gefinni Forsendu P-3.1, sem sett er fram í §2) að formgerðarkrafan um fyrirbærafræðilegan athuganda umbreyti hólógrafíu í eðli sínu úr samhverfri tvíund í ósamhverfa einátta hólógrafíska vörpun.

2. Stöðugleikasían sem tapað þjöppunarkort

Í OPT er fyrirbærafræðilegi heimurinn einungis til innan hinnar þröngu bandbreiddarrúmfræði meðvitaðrar samþættingarrásar. Grunnreikniritið \mathcal{I} starfar yfir umhverfi sem lýst er með Algildri hálfmælingu Solomonoffs.

Við verðum að sýna formlega fram á að vörpunin yfir í mark-myndgerð athugandans R í gegnum Stöðugleikasíuna (\Phi) sé í grundvallaratriðum tapað kort. Til að gera það án hringsönnunar beitum við skilgreinandi Markov-keðjuröðinni sem aðgreinir hvarfefnið frá myndgerðinni í gegnum Markov-jaðar kóðarans X_{\partial A} (samkvæmt aðskilnaðarskilyrði Markov-teppis, Preprint §3.4 / Jafna 8):

\mathcal{I} \to X_{\partial A} \to R

Samkvæmt ójöfnu gagnavinnslu getur upplýsingar ekki aukist í gegnum samfelldar varpanir. Því skalar gagnkvæm upplýsingamagn strangt sem hér segir:

I_m(\mathcal{I}; R) \le I_m(X_{\partial A}; R)

Athugið: Gagnkvæma upplýsingamagnið I_m er hér formlega skilgreint undir staðlaðri útgáfu af hálfmælingu Solomonoffs (p(\nu) = m(\nu) / \sum_{\nu \le K_{\max}} m(\nu)) yfir endanlega mörg reiknirit sem eru bundin neðan við flækjumörkin K_{\max}.

Vegna þess að Stöðugleikasían leggur rásargetu C_{\max} á vörpunina að jaðrinum (X_{\partial A} \to R), kveður grundvallarsetning Shannons um rásargetu á um að I_m(X_{\partial A}; R) \le T \cdot C_{\max} gildi fyrir sérhverja inntaksdreifingu, þar með talið staðlaðan forgang Solomonoffs. Með því að hlekkja þessa ójöfnu við DPI er sýnt fram á að fyrirbærafræðileg myndgerð er stranglega bundin af endanlegum flöskuhálsi sem er samþættur yfir tímalengdina T. Því gildir:

I_m(\mathcal{I}; R) \le T \cdot C_{\max}

Til þess að nákvæm samhverf tvíund haldist verður vörpunin milli innra rúmsins (hvarfefnisins) og jaðarsins (myndgerðarinnar) að vera fullkomlega andhverfanleg (\Phi^{-1}: R \to \mathcal{I}). Látum \nu_{\text{true}} tákna þá tilteknu, óþekktu birtingu myndandi reiknirits sem ber ábyrgð á þeim alheimi sem við höfum numið (dregið úr undirliggjandi reikniritasafni). Látum N í raun tákna hið víðfeðma samsetningarlega rúm neðri-hálfreiknanlegra reiknirita sem starfa undir endanlegri skorðu flækjuþröskuldsins K_{\max}.

Forsenda P-3.1 (Skölun flækju hvarfefnis): Sönn myndunarflækja uppfyllir K(\nu_{\text{true}}) \gg T \cdot C_{\max}. (Þetta er skýrt rökstutt með sparsnisrökum Minimum Description Length í Viðauka T-4; sérhvert reiknirit sem kóðar jafngilda eðlisfræði staðallíkansins krefst gríðarlegs formgerðarlegs gagnamagns).

Þar sem efri mörk gagnkvæms upplýsingamagns eru langt undir því upplýsingamagni sem þarf til að tilgreina hið sanna innra ástand samkvæmt Forsendu P-3.1, er \Phi sterklega staðfest sem tapað þjöppunarkort.

3. Skilyrt óreiða og skilyrti Solomonoff-forlíkindið

Til að magngreina kostnaðinn við þessa tapaða þjöppun metum við villulíkurnar fyrir athuganda O sem er staðsettur alfarið innan myndgerðarinnar R og reynir að álykta á ótvíræðan hátt um hið sanna undirliggjandi myndandi undirlagsreiknirit (\nu_{\text{true}}).

Meginatriðið er að mat á væntri flækju yfir hráa Solomonoff-forlíkindinu skapar þverstæðu: hráa forlíkindið er mjög ráðandi mótað af lág-K halanum (frumstæðum forritum og föstum runum). Yfir óskilyrtu algildu dreifingunni fæst að vænta flækjan \langle K \rangle_M tekur örlítið, hverfandi jaðargildi (O(100) bita). Ef þetta ætti við um alheim okkar myndi skilyrðið K(\nu_{\text{true}}) \gg T \cdot C_{\max} samstundis bregðast og þar með fella óreiðujaðarinn alveg niður.

Hins vegar er hráa óskilyrta forlíkindið formgerðarlega merkingarlaust þegar kemur að myndun innri fyrirbærafræðilegra athugenda. Til að búa yfir nægilegri eðlisfræðilegri verkun, „nauðsynlegri fjölbreytni“ og tímalengd til að hýsa sjálfslíkan byggt á virkri ályktun, verður myndandi reikniritið að hafa gífurlegt lágmarksformgerðarlegt grunnstig. Eins og magngreint er í Viðauka T-4 §2.1 verður hið fulla myndandi reiknirit \nu_{\text{true}} ekki aðeins að kóða lögmálagerð Staðallíkansins (K(\text{laws}) \approx 1750 bita), heldur einnig sértæk upphafsskilyrði örástandsins, sem samkvæmt mati Penrose krefjast K(\text{IC}|\mathcal{M}_1) \sim 10^{123} bita. Samanlögð flækja K(\nu_{\text{true}}) \sim 10^{123} bita ákvarðar því K_{\text{threshold}}. Við verðum því að meta óreiðu eingöngu yfir forlíkindadreifingu skilyrtri af Stöðugleikasíu (M|SF)—þ.e. því hlutmengi myndandi reiknirita sem býr yfir nægilegri flækju (K(\nu) \ge K_{\text{threshold}} \sim 10^{123}) til að mynda alheim sem samræmist hinni tilteknu eðlisfræði og upphafsskilyrðum sem hafa verið athuguð í þessum orsakaplástri. Með því að staðfesta að \langle K \rangle_{M|SF} \ge K_{\text{threshold}} \gg T \cdot C_{\max} festum við Forsendu P-3.1 sjálfstætt í sessi og staðfestum yfir þessari skilyrtu dreifingu að vænt myndandi flækja uppfylli réttilega mörkin \langle K \rangle_{M|SF} \gg T \cdot C_{\max}.

Hin raunverulega formgerðarlega niðurstaða upplýsingasvelts verkar með afgerandi hætti í gegnum skilyrta Shannon-óreiðu innan þessa takmarkaða stikarýmis:

H_{m|SF}(\mathcal{I} | R) = H_{m|SF}(\mathcal{I}) - I_{m|SF}(\mathcal{I}; R) \approx \langle K \rangle_{M|SF} - T \cdot C_{\max} \approx \langle K \rangle_{M|SF}

(Athugið: Takmörkunin á rásargetu T \cdot C_{\max} gildir algilt um I_{m|SF} samkvæmt nákvæmlega sömu efri-markasetningu Shannons og sett var fram í 2. kafla fyrir sérhverja inntaksdreifingu.)

(Athugið: Samsemdin H_m(\mathcal{I}) \approx \langle K \rangle_M er nákvæm að frátöldum neikvæðum staðlunarfastanum \log_2 Z sem erfist innbyggt frá mörkuðu markgildi hálfmælingar Solomonoffs. Þar sem hin fulla ótakmarkaða hálfmæling stefnir á 1 er |\log_2 Z| örugglega beint takmarkað af yfirbyggingarkostnaði lýsingarlengdar Algildrar Turing-vélar, föstum fasta c_U \approx O(100) bita. Þetta sýnir að formgerðarleg staðlun er einungis óveruleg námundunarvilla miðað við hið virknilega stórsæja stig \langle K \rangle_{M|SF}.)

Fylgisetning: Fano-ójafnaða vegin með Kolmogorov-flækju

Þótt markið á skilyrta óreiðu þjóni yfirgnæfandi sem eðlisfræðileg sönnun fyrir stórsæju upplýsingasvelti, tökum við eftir því að aðlögun Fano-ójöfnunnar undir sama staðlaða, SF-skilyrta og Solomonoff-vegna mæli kemur í stað hins staðlaða jafndreifða óreiðuliðar í teljaranum með væntri Kolmogorov-flækju og leiðir þannig af sér eftirfarandi annars stigs tölfræðilega neðra mark:

P(\hat{\mathcal{I}} \neq \mathcal{I}) \ge \frac{\langle K \rangle_{M|SF} - T \cdot C_{\max} - 1}{K_{\max}}

(Athugið: Undir forsendu P-3.1 er þetta neðra mark á villulíkurnar strangt jákvætt en stærðfræðilega veikt miðað við stórsæjar kvarðir; það ber einungis að skilja sem annars stigs tölfræðilega fylgisetningu af óreiðumarkinu.)

4. Tengsl við skorður QECC og upplýsingalega óafturkræfni

Vegna þess að mörk meðvitaðrar samþættingar T \cdot C_{\max} reynast hverfandi lítið brot í samanburði við algrímska uppsprettu, helst skilyrt óreiða H_{m|SF}(\mathcal{I}|R) nálægt því að vera eins og \langle K \rangle_{M|SF}. Langstærstur hluti upplýsinganna í myndandi hvarfefninu er á óafturkræfan hátt óaðgengilegur innan frá R.

TILGÁTA (Opinn jaðar): Skilyrtu óreiðumörkin sem hér eru skilgreind varpast með hreinum hætti yfir á það rof sem skilgreint er í Viðauka P-2. Undir bulk-boundary-vörpun Quantum Error Correction Code (QECC) verkar Stöðugleikasían \Phi sem hlutísómetrían sem ver lágorku jaðarástöndin. Við setjum fram þá tilgátu að sértækt skurðdýpi MERA, \tau^*, tengist stærðfræðilega nákvæmlega þeim rúmfræðilega afkastasjóndeildarhring sem skilgreinir þröskuld skilyrtrar óreiðusveltingar, takmarkað af algrímsku QECC ADH-endurbyggingarskilyrðinu. Formleg afleiðsla sem brúar bilið milli tölfræðilegu markanna og rúmfræðilegs skurðdýpis MERA er frestað til fræðilegrar vinnu í framtíðinni. Engu að síður eru upplýsingar sem liggja dýpra í bulk-hvarfefninu, í virkni sinni, varanlega dulkóðaðar af einátta þjöppuninni.

Innri endurgerðarviðleitni athugandans er stærðfræðilega mettuð. Andhverfa vörpunin \Phi^{-1} er tölfræðilega óandhverfanleg á kvarða lágmarksvillu innan frá R.

5. Niðurstaða: Fyrirbærafræðilegur forgangur

Því starfar upplýsingalega örin aðallega í eina átt: upplýsingar eyðast kerfisbundið við vörpunina frá hvarfefni til myndgerðar, og ekki er unnt að endurheimta þær orsakakeðjulega eða tölfræðilega innan frá fyrirbærafræðilega rammanum.

Með þessari Fano-jaðarframsetningu, undir Forsendu P-3.1, sýnum við formlega fram á að Ósamhverf hólógrafía er ströng stærðfræðileg afleiðing þess að staðsetja athuganda með takmarkaðan hraða innan orsakarammans.

• Hvarfefnið \mathcal{I} er grundvallarvélin vegna þess að heildarástand þess ákvarðar að fullu skilyrta líkindadreifingu sem \Phi varpar.
• Myndgerðin R er strangt tekið annars stigs vegna þess að ástand hennar er smættuð samantekt sem er ófær um að spá afturvirkt fyrir um það hvarfefni sem veldur henni.

Fyrirbærafræðileg meðvitund er því innra upplifunarlegt ástand fyrstu persónu þess að vera formgerðarlega innlyksa á úttakshlið óandhverfanlegrar þjöppunarreiknirits. Þetta staðfestir að þótt staðbundin eðlisfræði okkar hlýði hólógrafískum skorðum (með hámörkun á mörkum flatarmáls gagnvart rúmmáli), þá virkar jaðarframsetningin sem óafturkræfur þekkingarfræðilegur flöskuháls og rýfur þar með formlega þá samhverfu sem krafist er fyrir staðlaða nákvæma tvíund í strengjafræði.