Lisa P-3: Fano-piiratud asümmeetriline holograafia

Algne ülesanne P-3: Fano-piiratud asümmeetriline holograafia Probleem: holograafilise ekvivalentsi suunalisuse noole kehtestamine, kasutades Fano võrratust määrakiiruse-moonutuse raamistikus. Tulemus: asümmeetria formaalne tuletus.

1. Sissejuhatus: pinge täpse duaalsusega

Holograafilise printsiibi standardsed formuleeringud (nt AdS/CFT duaalsus) eeldavad täpset isomorfismi kõrgemamõõtmelise bulgi ja selle madalamamõõtmelise piiri vahel. Puhta kvantgravitatsiooni formuleeringutes on need kirjeldused matemaatiliselt täielikult sümmeetrilised; bulgi olek määrab üheselt piiri oleku ning — mis on otsustava tähtsusega — piiri olek määrab üheselt ka bulgi oleku. Kumbki representatsioon ei ole ontoloogiliselt esmane.

Korrastatud patch’i teooria (OPT) rikub seda sümmeetriat struktuurselt. OPT väidab, et algoritmilistel genereerivatel reeglitel (\mathcal{I}, “Substraat”) on ontoloogiline prioriteet, samas kui fenomenoloogiline maailm (R, “Renderdus”) on tuletatud prediktiivne vari. See asümmeetria toob sisse formaalse teoreetilise pinge: kui holograafilised duaalsused tekivad loomulikult informatsioonilise kodeerimise piirangutest, siis miks murdub sümmeetria meie lokaalses põhjuslikus patch’is rangelt?

See lisa lahendab selle pinge, rakendades Solomonoffi algoritmilise mõõdu all Fano võrratust. Tuletame formaalselt (tingimusel, et kehtib eeldus P-3.1, mis on kehtestatud §2-s), et fenomenoloogilise vaatleja struktuurne nõue teisendab holograafia olemuslikult sümmeetrilisest duaalsusest asümmeetriliseks ühesuunaliseks holograafiliseks projektsiooniks.

2. Stabiilsusfilter kui kadudega pakkimise kujutus

OPT-is eksisteerib fenomenoloogiline maailm üksnes teadvusliku integratsioonikanali kitsa ribalaiusega geomeetrias. Alusalgoritm \mathcal{I} toimib Solomonoffi universaalse poolmõõdu keskkonnas.

Peame formaalselt näitama, et teisendus vaatleja sihtrenderduseks R Stabiilsusfiltri (\Phi) kaudu on olemuslikult kadudega kujutus. Et teha seda ilma ringtõestuseta, kasutame määratlevat Markovi ahela jada, mis eraldab substraadi renderdusest koodeki Markovi piiri X_{\partial A} kaudu (Markovi teki eraldatavuse tingimuse järgi, preprint §3.4 / võrrand 8):

\mathcal{I} \to X_{\partial A} \to R

Andmetöötluse võrratuse järgi ei saa informatsioon järjestikuste teisenduste käigus suureneda. Seetõttu skaleerub vastastikune informatsioon rangelt järgmiselt:

I_m(\mathcal{I}; R) \le I_m(X_{\partial A}; R)

Märkus: vastastikune informatsioon I_m on siin formaalselt defineeritud Solomonoffi poolmõõdu normaliseeritud versiooni all (p(\nu) = m(\nu) / \sum_{\nu \le K_{\max}} m(\nu)) lõplikult paljude algoritmide üle, mis jäävad keerukuspiiri K_{\max} alla.

Kuna Stabiilsusfilter seab piirile kujutamisel (X_{\partial A} \to R) kanalimahuks C_{\max}, siis Shannoni fundamentaalne kanalimahu teoreem ütleb, et I_m(X_{\partial A}; R) \le T \cdot C_{\max} kehtib iga sisendjaotuse korral, sealhulgas normaliseeritud Solomonoffi priori puhul. Selle võrratuse aheldamine DPI-ga näitab, et fenomenoloogiline renderdus on rangelt piiratud kestuse T jooksul integreeritud lõpliku pudelikaelaga. Seega:

I_m(\mathcal{I}; R) \le T \cdot C_{\max}

Et kehtiks täpne sümmeetriline duaalsus, peab kujutus bulk’i (substraat) ja piiri (Renderdus) vahel olema täielikult pööratav (\Phi^{-1}: R \to \mathcal{I}). Olgu \nu_{\text{true}} selle genereeriva algoritmi konkreetne, tundmatu realisatsioon, mis vastutab meie vaadeldava universumi eest (valituna aluseks olevast algoritmilisest ansamblist). Olgu N efektiivne tähistus selle tohutu kombinatoorse ruumi jaoks, mille moodustavad alumiselt poolarvutatavad algoritmid, mis toimivad lõpliku keerukusläve K_{\max} all.

Eeldus P-3.1 (Substraadi keerukuse skaleerumine): tõeline genereeriv keerukus rahuldab tingimust K(\nu_{\text{true}}) \gg T \cdot C_{\max}. (Seda motiveerivad otsesõnu lisas T-4 esitatud minimaalse kirjelduspikkuse parsimooniaargumendid; iga algoritm, mis kodeerib samaväärset standardmudeli füüsikat, nõuab tohutul hulgal struktuurset andmestikku).

Kuna vastastikuse informatsiooni ülempiir jääb Eelduses P-3.1 nõutavale tõelise bulk-oleku määratlemiseks vajalikule informatsioonihulgale oluliselt alla, on \Phi tugevalt põhjendatud kui kadudega pakkimise kujutus.

3. Tingimuslik entroopia ja tingitud Solomonoffi prior

Selle kadudega pakkimise hinna kvantifitseerimiseks hindame veatõenäosust vaatlejal O, kes paikneb rangelt renderduse R sees ja püüab üheselt järeldada tegelikku aluseks olevat genereeriva substraadi algoritmi (\nu_{\text{true}}).

Oluline on see, et oodatava keerukuse hindamine toore Solomonoffi priori alusel tekitab paradoksi: toores prior on tugevalt domineeritud madala-K sabast (triviaalsed programmid ja konstantsed jadad). Tingimustamata universaalse jaotuse korral osutub oodatav keerukus \langle K \rangle_M tühiselt väikeseks piiriks (O(100) bitti). Kui see kehtiks meie universumi kohta, nurjuks tingimus K(\nu_{\text{true}}) \gg T \cdot C_{\max} otsekohe, ning entroopiline piir variseks täielikult kokku.

Toores tingimustamata prior on siiski sisemiste fenomenoloogiliste vaatlejate genereerimiseks struktuurselt mõttetu. Selleks et omada piisavat füüsikalist mehhanismi, „vajalikku mitmekesisust” ja ajalist kestust aktiivse järeldamise enesemudeli kandmiseks, peab genereerival algoritmil olema tohutu minimaalne struktuurne baastase. Nagu on kvantifitseeritud lisas T-4 §2.1, peab täielik genereeriv algoritm \nu_{\text{true}} kodeerima mitte üksnes Standardmudeli seadusstruktuuri (K(\text{laws}) \approx 1750 bitti), vaid ka konkreetseid mikroseisundi algtingimusi, mis Penrose’i hinnangu järgi nõuab K(\text{IC}|\mathcal{M}_1) \sim 10^{123} bitti. Kombineeritud keerukus K(\nu_{\text{true}}) \sim 10^{123} bitti määrab seega K_{\text{threshold}}. Seetõttu peame entroopiat hindama eranditult Stabiilsusfiltriga tingitud priori (M|SF) üle — see on nende genereerivate algoritmide alamhulk, millel on piisav keerukus (K(\nu) \ge K_{\text{threshold}} \sim 10^{123}), et genereerida universum, mis on kooskõlas selle põhjusliku patch’i konkreetselt vaadeldud füüsika ja algtingimustega. Kinnitades, et \langle K \rangle_{M|SF} \ge K_{\text{threshold}} \gg T \cdot C_{\max}, ankurdame sõltumatult eelduse P-3.1 ning kinnitame selle tingitud jaotuse korral, et oodatav genereeriv keerukus on tõepoolest piiratud kujul \langle K \rangle_{M|SF} \gg T \cdot C_{\max}.

Informatsioonilise näljastumise tegelik struktuurne järeldus toimib otsustavalt Shannoni tingimusliku entroopia kaudu selles piiratud parameeterruumis:

H_{m|SF}(\mathcal{I} | R) = H_{m|SF}(\mathcal{I}) - I_{m|SF}(\mathcal{I}; R) \approx \langle K \rangle_{M|SF} - T \cdot C_{\max} \approx \langle K \rangle_{M|SF}

(Märkus: kanali läbilaskevõime piir T \cdot C_{\max} kehtib universaalselt ka I_{m|SF} suhtes täpselt sama Shannoni supremumteoreemi alusel, mis kehtestati 2. jaotises mis tahes sisendjaotuse jaoks.)

(Märkus: samasus H_m(\mathcal{I}) \approx \langle K \rangle_M on täpne, välja arvatud negatiivne normaliseerimiskonstant \log_2 Z, mis pärandub loomupäraselt kärbitud Solomonoffi poolmõõdu piirist. Kuna täielik piiramatu poolmõõt läheneb väärtusele 1, on |\log_2 Z| turvaliselt ülalt piiratud otse universaalse Turingi masina kirjelduspikkuse lisakuluga, s.t. fikseeritud konstandiga c_U \approx O(100) bitti. See näitab, et struktuurne normaliseerimine on funktsionaalselt makroskoopilise skaala \langle K \rangle_{M|SF} kõrval tühine ümardusviga.)

Järeldus: Kolmogoroviga kaalutud Fano võrratus

Kuigi tingliku entroopia piir toimib ülekaalukalt makroskoopilise informatsioonilise näljastumise füüsikalise tõendusena, märgime, et Fano võrratuse kohandamine sama normaliseeritud, SF-tingitud Solomonoffiga kaalutud mõõdu all asendab lugejas standardse ühtlase entroopia liikme Kolmogorovi keerukuse oodatud väärtusega, andes järgmise teisese statistilise alampiiri:

P(\hat{\mathcal{I}} \neq \mathcal{I}) \ge \frac{\langle K \rangle_{M|SF} - T \cdot C_{\max} - 1}{K_{\max}}

(Märkus: eelduse P-3.1 korral on see veatõenäosuse alampiir rangelt positiivne, kuid makroskoopiliste skaalade suhtes matemaatiliselt nõrk; seda tuleks mõista üksnes entroopilise piiri teisese statistilise järeldusena.)

4. Seos QECC piirangute ja informatsioonilise pöördumatusega

Kuna teadvusliku integratsiooni piir T \cdot C_{\max} osutub algoritmilise allikaga võrreldes tühiselt väikeseks osaks, jääb tingimuslik entroopia H_{m|SF}(\mathcal{I}|R) ligikaudu samaks kui \langle K \rangle_{M|SF}. Valdav enamus generatiivse substraadi informatsioonist on R seest pöördumatult kättesaamatu.

HÜPOTEES (avatud serv): Siin määratletud tingimusliku entroopia piirid vastavad puhtalt Appendix P-2-s määratletud lagunemisele. Quantum Error Correction Code’i (QECC) bulk-boundary kaardistuse korral toimib Stabiilsusfilter \Phi osalise isomeetriana, mis kaitseb madala energiaga piirseisundeid. Me oletame, et konkreetne MERA lõikesügavus \tau^* on matemaatiliselt seotud täpse ruumilise mahutavushorisondiga, mis määratleb tingimusliku entroopia nälgimisläve ning mida piirab algoritmiline QECC ADH rekonstrueerimistingimus. Formaalne tuletus, mis seoks statistilised piirid ja geomeetrilise MERA lõikesügavuse, jäetakse edasise teoreetilise töö hooleks. Funktsionaalselt jääb siiski nii, et sügavamal bulk-substraadis paiknev informatsioon on ühesuunalise pakkimise tõttu püsivalt krüpteeritud.

Vaatleja sisemine rekonstrueerimispüüe on matemaatiliselt küllastunud. Pöördkaardistus \Phi^{-1} on minimaalse vea skaalal R seest statistiliselt mittepööratav.

5. Järeldus: fenomenoloogiline prioriteetsus

Seega toimib informatsiooniline nool valdavalt ühes suunas: informatsioon hävib süstemaatiliselt projektsioonis substraadist renderdusse ning seda ei saa fenomenoloogilise raamistiku seest põhjuslikult ega statistiliselt taastada.

Selle Fano piiri formuleeringu kaudu, eelduse P-3.1 all, näitame formaalselt, et Asümmeetriline holograafia on range matemaatiline tagajärg sellele, kui paigutada ribalaiusega piiratud vaatleja põhjuslikku raamistikku.

• Substraat \mathcal{I} on fundamentaalne mootor, sest selle koguseisund määrab täielikult \Phi poolt kaardistatud tingliku tõenäosusjaotuse.
• Renderdus R on rangelt sekundaarne, sest selle seisund on taandatud kokkuvõte, mis ei suuda seda põhjustavat substraati tagantjärele ennustada.

Fenomenoloogiline teadvus on seega esimese isiku sisemine kogemuslik seisund sellest, et ollakse struktuurselt lõksus mittepööratava pakkimisalgoritmi väljundipoolel. See näitab, et kuigi meie lokaalne füüsika allub holograafilistele piirangutele (optimeerides pindala ja ruumala piiride vahekorda), toimib piiriesitus pöördumatu episteemilise pudelikaelana, murdes formaalselt sümmeetria, mida standardne täpne stringiteoreetiline duaalsus eeldab.