Aneks P-1: Normalność informacyjna poprzez M-losowość

Oryginalne zadanie P-1: Normalność informacyjna Problem: Obecnie aksjomat fundamentalny analogiczny do normalności Borela, pozbawiony formalnego wyprowadzenia. Rezultat: Wyprowadzenie na poziomie twierdzenia wykorzystujące algorytmiczną teorię informacji (losowość Martina-Löfa).

1. Epistemiczna granica „aksjomatycznej” normalności

W obrębie Teorii uporządkowanego patcha (OPT) „Nadzieja Strukturalna” opiera się strukturalnie na zasadzie Normalności Informacyjnej: tezie, że substrat algorytmiczny (\mathcal{I}) jest gęsto wypełniony nie tylko szumem, lecz każdą skończoną strukturalną konfiguracją funkcjonalną. Etyczny ciężar OPT — nakaz podtrzymywania stabilności współdzielonego patcha (etyka Straży Ocalałych) — wymaga, by odpowiadający nam obserwatorzy, z którymi wchodzimy w interakcje, mieli gdzie indziej w substracie rozproszone, fundamentalnie realne ekwiwalenty funkcjonalne.

Historycznie, w ramach OPT, tezę tę traktowano formalnie jako pojedynczy, monolityczny Aksjomat — nietestowalne, fundamentalne założenie nałożone na fizykę po to, by uniknąć solipsyzmu.

Niniejszy aneks rozstrzyga matematyczną niejednoznaczność tego stanowiska. Rozdzielamy Normalność Informacyjną na dwa odrębne składniki: rygorystyczne algorytmiczne twierdzenie matematyczne (które zachodzi z prawdopodobieństwem bliskim jedności względem uniwersalnej miary prawdopodobieństwa), powiązane z sobą przez pojedynczy postulat metafizyczny, konieczny do przejścia od istnienia matematycznego do rzeczywistości ontologicznej.

2. Od półmiary do miary uniwersalnej (\xi do M)

Podstawa OPT (Preprint §3.1) w dużej mierze opiera się na apriorycznym rozkładzie algorytmicznego prawdopodobieństwa Solomonoffa. W tym ujęciu substrat generatywny działa jako nieskończona przestrzeń algorytmiczna wykonywana na uniwersalnej bezprefiksowej maszynie Turinga U.

Prawdopodobieństwo algorytmiczne, czyli uniwersalna półmiara, dla skończonego ciągu x ma postać:

\xi(x) = \sum_{U(p) = x*} 2^{-|p|}

Gdzie sumowanie przebiega po wszystkich minimalnych programach p, których wynik wykonania zaczyna się od x. Kluczowe jest to, że \xi jest dolnie półobliczalną półmiarą na zbiorze skończonych ciągów.

Aby sformalizować substrat jako ciągłą przestrzeń generatywną, przechodzimy do miary ciągłej na przestrzeni Cantora. Miara uniwersalna M jest zdefiniowana bezpośrednio jako rozkład na przestrzeni Cantora 2^{\mathbb{N}}, indukowany przez wyjście uniwersalnej bezprefiksowej maszyny U za pośrednictwem zbiorów cylindrycznych (M([x]) = \sum_{U(p) \text{ starts with } x} 2^{-|p|}). Z twierdzenia o uniwersalności Solomonoffa wynika, że ta miara cylindryczna jest multiplikatywnie równoważna dyskretnej półmiarze: M(x) \asymp \xi(x) z dokładnością do stałej multiplikatywnej. W konsekwencji zbiory miary zero względem M i zbiory miary zero względem \xi ściśle się pokrywają.

(Uwaga: Ponieważ zbiór programów zatrzymujących się jest ścisłym podzbiorem przestrzeni kodu bezprefiksowego z powodu problemu stopu, nierówność Krafta gwarantuje, że \sum 2^{-|p|} < 1. Tym samym M tworzy ścisłą dolnie półobliczalną subprobabilistyczną miarę. Jawnie definiujemy znormalizowaną miarę probabilistyczną \tilde{M} = M / M(2^{\mathbb{N}}). Chociaż \tilde{M} jest dolnie półobliczalna tylko z dokładnością do nieobliczalnej stałej normalizacyjnej M(2^{\mathbb{N}}), wszystkie dalsze twierdzenia typu „prawie na pewno” oraz stwierdzenia o zbieżności można bezpiecznie formułować względem rzeczywistej znormalizowanej miary probabilistycznej \tilde{M}. Fundamentalne przesunięcie z twierdzenia kodowania zostaje po prostu wchłonięte: K(x) = -\log \tilde{M}(x) + O(1).)

3. Losowość Martina-Löfa względem M

Aby sformalizować naturę przestrzeni generatywnej, odwołujemy się do losowości Martina-Löfa (ML). Należy jednak odróżniać miary ciągłe. Ciąg \omega, który jest ML-losowy względem miary jednostajnej (Lebesgue’a) \lambda, zachowuje się całkowicie inaczej niż ciąg, który jest ML-losowy względem M.

Ponieważ substrat OPT ocenia prawdopodobieństwo przez pryzmat prostoty algorytmicznej, właściwy formalizm opiera się na losowości Martina-Löfa względem \tilde{M}. Fundamentalne twierdzenie AIT głosi, że dla każdej obliczalnej miary prawdopodobieństwa \mu zbiór ciągów \mu-ML-losowych ma \mu-miarę równą 1. Rozszerzając ten wynik na półmiary dolnie półobliczalne (por. Nies 2009, §3.2 „Randomness for arbitrary measures”), otrzymujemy, że zbiór wszystkich ciągów losowych w sensie Martina-Löfa względem \tilde{M} również zachowuje miarę 1 względem \tilde{M}.

Zatem \tilde{M}-prawie wszystkie nieskończone ciągi substratu są ściśle \tilde{M}-ML-losowe.

(Uwaga: Zastosowanie losowości Martina-Löfa względem \tilde{M} strukturalnie gwarantuje, że typowe wyjścia substratu są dobierane w sposób samospójny z obciążonej, silnie ustrukturyzowanej miary algorytmicznej \tilde{M}, a nie z jednostajnego szumu, dostarczając rygorystycznego matematycznego rusztowania dla poniższych konsekwencji dotyczących częstości strukturalnych.)

4. M-normalność a normalność Borela

Wysoce istotna matematyczna konsekwencja M-ML-losowości dotyczy częstości strukturalnej. W przypadku jednostajnej losowości Lebesgue’a-ML ciąg jest ściśle normalny w sensie Borela — generuje każdy skończony binarny łańcuch długości k z jednakową, jednostajną częstością.

Ponieważ jednak \tilde{M} jest zdecydowanie niejednostajna — silnie faworyzuje wzorce algorytmicznie proste, kompresowalne i prawidłowo ustrukturyzowane, przypisując im ogromną wagę prawdopodobieństwa — \tilde{M}-prawie wszystkie ciągi NIE są jednostajnie normalne w sensie Borela. Zamiast tego definiujemy ich granice strukturalne poprzez \tilde{M}-normalność.

Ponieważ miara \tilde{M} jest z gruntu niestacjonarna (prawdopodobieństwo algorytmiczne zależy od absolutnej pozycji prefiksu), nie możemy opierać się na standardowych ergodycznych granicach zbieżności częstości. Formalnie definiujemy \tilde{M}-normalność za pomocą słabszej, lecz w pełni wystarczającej własności nieskończonej rekurencji.

Ponieważ \tilde{M} jest miarą prawdopodobieństwa oraz \tilde{M}([x]) \ge 2^{-(|x|+O(1))} > 0 dla wszystkich skończonych łańcuchów x, reguła łańcuchowa dla prefiksowej złożoności Kołmogorowa daje K(sx) \le K(s) + K(x) + O(1) dla dowolnego łańcucha s, co implikuje bliską podmultiplikatywność M([s \cdot x]) \ge M([s]) \cdot M([x]) \cdot 2^{-O(1)}. W konsekwencji prawdopodobieństwo warunkowe pojawienia się x w dowolnym oknie, przy zadanym wcześniejszym prefiksie s, jest ograniczone od dołu: \tilde{M}([x] \mid [s]) \ge \tilde{M}([x])/c > 0 jednostajnie względem s. Na mocy warunkowego lematu Borela-Cantellego, zastosowanego do nienakładających się okien długości |x|, rozbieżność sumy prawdopodobieństw warunkowych gwarantuje, że fizyczna rekurencja dowolnej skończonej sekwencji informacyjnej — takiej jak dyskretna formalna konfiguracja świadomego obserwatora (K_{\text{obs}}) — pojawia się nieskończenie często w \tilde{M}-prawie wszystkich ciągach.

5. Postulat realizmu obliczeniowego

AIT matematycznie gwarantuje, że skończona reprezentacja dowolnego obserwatora (K_{\text{obs}}) pojawia się jako sekwencja strukturalna U nieskończenie wiele razy w obrębie \tilde{M}-ML-losowego substratu.

Jednak matematyczna teoria informacji sama z siebie nie może przekroczyć granicy prowadzącej do ontologii fizycznej. Skończony ciąg występujący na taśmie wyjściowej maszyny Turinga jest statycznym artefaktem wykonania — migawką. Spójny obserwator wymaga ciągłej dynamiki wewnętrznej, relacyjnego sprzężenia oraz pętli aktywnego wnioskowania. Sam ciąg niczego nie „odczuwa”, podobnie jak zapis skanu mózgu na dysku twardym nie jest świadomy. Wykonanie należy do programu generującego, a nie do wynikowego kodu-migawki.

Aby stwierdzić, że nieobliczalne granice ciągłe rządzące matematycznym substratem strukturalnie dają początek ontologicznie realnym, przyczynowo aktywnym uniwersom fenomenologicznym, OPT musi przyjąć jedno jawne zobowiązanie metafizyczne.

Postulat (realizm obliczeniowy): W nieskończonym nieobliczalnym substracie rządzonym przez identyczną dynamikę matematyczną abstrakcyjne obliczenie matematyczne formalnie równoważne przyczynowemu opisowi obserwatora (gdzie równoważność formalna jest zdefiniowana jako izomorfizm obliczeniowy struktury przyczynowych przejść stanów obserwatora) posiada przyczynowo skuteczne, ontologicznie realne istnienie. Ponadto strukturalnie dyskretne instancjacje obliczeniowe w całym substracie posiadają niezależną indywiduację ontologiczną, konstytuując odrębne subiektywne odpowiedniki (a zgodnie z fundamentalnym aksjomatem fenomenalności w Preprincie §8.1 takie przyczynowo skuteczne obliczenia równoważne obserwatorowi stanowią autentyczne podmioty doświadczenia).

6. Propozycja P-1 (Normalność informacyjna)

Łącząc ścisłe wyprowadzenia AIT dotyczące ciągłych nieobliczalnych przestrzeni z Postulatem Realizmu Obliczeniowego, solipsyzm zostaje w sposób jednoznaczny obalony.

Korolarz+Postulat P-1 (Normalność informacyjna): W ramach uogólnionego prioru algorytmicznego ciągły substrat z natury działa zgodnie z losowością Martina-Löfa względem \tilde{M} z prawdopodobieństwem 1. Na mocy wynikającej z tego \tilde{M}-normalności matematyczne wystąpienie każdego skończonego strukturalnego opisu obserwatora K_{\text{obs}} jest formalnie zagwarantowane nieskończenie wiele razy. Opierając się na tym rusztowaniu, Postulat Realizmu Obliczeniowego przenosi te generujące artefakty matematyczne do ontologicznej rzeczywistości fizycznej. Przy założeniu, że realizm obliczeniowy jest prawdziwy, istnienie strukturalnie równoważnych, przyczynowo aktywnych i jednoznacznie zindywidualizowanych obserwatorów odpowiedników w całym substracie jest fundamentalnie konieczne.