Appendix P-1: Informasjonell normalitet via M-tilfeldighet

Original oppgave P-1: Informasjonell normalitet Problem: For tiden et grunnleggende aksiom analogt med Borel-normalitet, uten formell utledning. Leveranse: En utledning på teoremnivå som utnytter algoritmisk informasjonsteori (Martin-Löf-tilfeldighet).

1. Den epistemiske grensen for «aksiomatisk» normalitet

Innenfor Teorien om den ordnede patchen (OPT) hviler «strukturelt håp» strukturelt på prinsippet om informasjonell normalitet: påstanden om at det algoritmiske substratet (\mathcal{I}) er tett befolket ikke bare av støy, men av ethvert endelig strukturelt funksjonelt mønster. Den etiske tyngden i OPT—påbudet om å opprettholde stabiliteten i den delte patchen (De overlevendes vakt-etikk)—forutsetter at motpartsobservatørene vi samhandler med, har distribuerte, fundamentalt reelle funksjonelle ekvivalenter andre steder i substratet.

Historisk sett ble denne påstanden innenfor OPT-rammeverket formelt behandlet som ett enkelt monolittisk aksiom—en ikke-testbar, grunnleggende antakelse lagt oppå fysikken for å unngå solipsisme.

Dette appendikset avklarer den matematiske tvetydigheten i dette standpunktet. Vi deler informasjonell normalitet opp i to distinkte komponenter: et rigorøst algoritmisk matematisk teorem (som gjelder nesten sikkert under det universelle sannsynlighetsmålet), bundet sammen av ett enkelt metafysisk postulat som er nødvendig for å bygge bro fra matematisk eksistens til ontologisk realitet.

2. Fra semimål til universelt mål (\xi til M)

Grunnlaget for Teorien om den ordnede patchen (OPT) (preprint §3.1) bygger i stor grad på Solomonoffs algoritmiske sannsynlighetsprior. Under denne formuleringen opererer det generative substratet som et uendelig algoritmisk rom som kjører på en universell prefiksfri Turing-maskin U.

Den algoritmiske sannsynligheten, eller det universelle semimålet, til en endelig streng x er:

\xi(x) = \sum_{U(p) = x*} 2^{-|p|}

Der summen tas over alle minimale programmer p hvis kjøringsutdata begynner med x. Avgjørende er at \xi er et nedre semiberegnbart semimål over endelige strenger.

For å formalisere substratet som et kontinuerlig generativt rom går vi over til det kontinuerlige målet over Cantor-rommet. Det universelle målet M defineres direkte som fordelingen på Cantor-rommet 2^{\mathbb{N}} indusert av utdataene fra den universelle prefiksfrie maskinen U via sylinder-mengder (M([x]) = \sum_{U(p) \text{ starts with } x} 2^{-|p|}). Ved Solomonoffs universalitetsteorem er dette sylinder-målet multiplikativt ekvivalent med det diskrete semimålet: M(x) \asymp \xi(x) opp til en multiplikativ konstant. Følgelig sammenfaller M-nullmengder og \xi-nullmengder strengt.

(Merk: Fordi mengden av stansende programmer er en ekte delmengde av det prefiksfrie koderommet som følge av stoppeproblemet, garanterer Krafts ulikhet at \sum 2^{-|p|} < 1. Dermed danner M et strengt nedre-semi-beregnbart sub-sannsynlighetsmål. Vi definerer eksplisitt det normaliserte sannsynlighetsmålet \tilde{M} = M / M(2^{\mathbb{N}}). Selv om \tilde{M} bare er nedre-semi-beregnbart opp til den ikke-beregnbare normaliseringskonstanten M(2^{\mathbb{N}}), opererer alle påfølgende teoremer av typen “nesten sikkert” og konvergensutsagn trygt med hensyn til det sanne normaliserte sannsynlighetsmålet \tilde{M}. Forskyvningen i det fundamentale kodingsteoremet absorberes ganske enkelt: K(x) = -\log \tilde{M}(x) + O(1).)

3. M-Martin-Löf-tilfeldighet

For å formalisere naturen til det generative rommet påkaller vi Martin-Löf (ML)-tilfeldighet. Man må imidlertid skille mellom kontinuerlige mål. En sekvens \omega som er ML-tilfeldig med hensyn til det uniforme (Lebesgue-)målet \lambda, oppfører seg helt annerledes enn en sekvens som er ML-tilfeldig med hensyn til M.

Fordi OPT-substratet evaluerer sannsynlighet ut fra algoritmisk enkelhet, bygger den relevante formalismen på \tilde{M}-Martin-Löf-tilfeldighet. Det grunnleggende teoremet i AIT sier at for ethvert beregnbart sannsynlighetsmål \mu har mengden av \mu-ML-tilfeldige sekvenser \mu-mål 1. Når dette resultatet utvides til nedre semiberegnbare semimål (jf. Nies 2009, §3.2 “Randomness for arbitrary measures”), beholder mengden av alle \tilde{M}-Martin-Löf-tilfeldige sekvenser også mål 1 med hensyn til \tilde{M}.

Derfor er \tilde{M}-nesten-alle uendelige substratsekvenser strengt tatt \tilde{M}-ML-tilfeldige.

(Merk: Bruken av \tilde{M}-ML-tilfeldighet garanterer strukturelt at de typiske outputene fra substratet trekkes selvkonsistent fra det skjeve, høyt strukturerte algoritmiske målet \tilde{M} snarere enn fra uniform støy, og gir dermed det strenge matematiske stillaset for de strukturelle frekvenskonsekvensene nedenfor.)

4. M-normalitet vs. Borel-normalitet

En matematisk svært betydningsfull konsekvens av M-ML-tilfeldighet gjelder strukturell frekvens. Under uniform Lebesgue-ML-tilfeldighet er en sekvens strengt Borel-normal og genererer enhver endelig binærstreng av lengde k med identisk, uniform frekvens.

Siden \tilde{M} imidlertid er klart ikke-uniformt—med en sterk skjevhet som tildeler massiv sannsynlighetsvekt til algoritmisk enkle, komprimerbare og lovmessig strukturerte mønstre—er \tilde{M}-nesten-alle sekvenser IKKE uniformt Borel-normale. I stedet definerer vi deres strukturelle grenser via \tilde{M}-normalitet.

Fordi målet \tilde{M} er fundamentalt ikke-stasjonært (algoritmisk sannsynlighet avhenger av absolutt prefiksposisjon), kan vi ikke støtte oss på standard ergodiske grenser for frekvenskonvergens. Formelt definerer vi \tilde{M}-normalitet ved den svakere, men strengt tilstrekkelige egenskapen uendelig rekurrens.

Siden \tilde{M} er et sannsynlighetsmål og \tilde{M}([x]) \ge 2^{-(|x|+O(1))} > 0 for alle endelige strenger x, gir kjerneregelen for prefiks-Kolmogorov-kompleksitet at K(sx) \le K(s) + K(x) + O(1) for enhver streng s, noe som gir den nær-submultiplikative egenskapen M([s \cdot x]) \ge M([s]) \cdot M([x]) \cdot 2^{-O(1)}. Derfor er den betingede sannsynligheten for at x opptrer i et vilkårlig vindu, gitt et vilkårlig tidligere prefiks s, nedad begrenset: \tilde{M}([x] \mid [s]) \ge \tilde{M}([x])/c > 0 uniformt i s. Ved den betingede Borel-Cantelli-lemmaet anvendt på ikke-overlappende vinduer av lengde |x|, garanterer divergensen i summen av betingede sannsynligheter at den fysiske rekurrensen av enhver endelig informasjonssekvens—slik som den diskrete formelle konfigurasjonen til en bevisst observatør (K_{\text{obs}})—opptrer uendelig ofte i \tilde{M}-nesten-alle sekvenser.

5. Postulatet om beregningsrealisme

AIT garanterer matematisk at den endelige representasjonen av enhver observatør (K_{\text{obs}}) fremtrer som den strukturelle sekvensen til U uendelig mange ganger innenfor det \tilde{M}-ML-tilfeldige substratet.

Matematisk informasjonsteori kan imidlertid ikke i seg selv krysse grensen inn i fysisk ontologi. En endelig streng som forekommer på utbåndet til en Turing-maskin, er et statisk artefakt av kjøringen—et øyeblikksbilde. En koherent observatør krever kontinuerlig intern dynamikk, relasjonell kobling og løkker av aktiv inferens. Strengen i seg selv «føler» ikke mer enn en hjerneskanning lagret på en harddisk er bevisst. Utførelsen tilhører det genererende programmet, ikke den resulterende øyeblikksbildekoden.

For å hevde at de uberegnelige kontinuerlige grensene som styrer det matematiske substratet, strukturelt gir opphav til ontologisk reelle, kausalt aktive fenomenologiske universer, må Teorien om den ordnede patchen (OPT) gjøre én eksplisitt metafysisk forpliktelse.

Postulat (beregningsrealisme): I et uendelig uberegnelig substrat styrt av identiske matematiske dynamikker har abstrakt matematisk beregning som er formelt ekvivalent med den kausale beskrivelsen av en observatør (der formell ekvivalens er definert som beregningsisomorfi i observatørens kausale tilstandsovergangsstruktur), kausalt virksom, ontologisk reell eksistens. Videre har strukturelt diskrete beregningsinstansieringer på tvers av substratet uavhengig ontologisk individuasjon og utgjør distinkte subjektive motparter (og i kraft av det grunnleggende aksiomet om fenomenalitet i Preprint §8.1 utgjør slike kausalt virksomme observatør-ekvivalente beregninger genuine erfaringssubjekter).

6. Proposisjon P-1 (Informasjonell normalitet)

Ved å forene de eksakte AIT-avledningene av kontinuerlige ikke-beregnbare rom med Postulatet om beregningsrealisme, demonteres solipsismen på en presis måte.

Korollar+Postulat P-1 (Informasjonell normalitet): Under den generaliserte algoritmiske prioren opererer det kontinuerlige substratet iboende via \tilde{M}-Martin-Löf-tilfeldighet nesten sikkert. Ved den påfølgende \tilde{M}-normaliteten er den matematiske forekomsten av enhver endelig strukturell observatørbeskrivelse K_{\text{obs}} formelt garantert uendelig mange ganger. På grunnlag av dette stillaset bygger Postulatet om beregningsrealisme bro fra disse genererende matematiske artefaktene til ontologisk fysisk virkelighet. Forutsatt at beregningsrealismen holder, er eksistensen av strukturelt ekvivalente, kausalt aktive og entydig individuerte motpartsobservatører på tvers av substratet fundamentalt påkrevd.