Pielikums P-1: Informacionālā normalitāte caur M-nejaušību

Sākotnējais uzdevums P-1: Informacionālā normalitāte Problēma: Pašlaik tas ir fundamentāls aksioms, analoģisks Borela normalitātei, bez formāla izveduma. Rezultāts: Teorēmas līmeņa izvedums, izmantojot algoritmiskās informācijas teoriju (Martin-Lēfa nejaušību).

1. “Aksiomātiskā” normāluma epistemiskā robeža

Sakārtotajā patch teorijā (OPT) “strukturālā cerība” strukturāli balstās uz Informacionālā normāluma principu: uz apgalvojumu, ka algoritmiskais substrāts (\mathcal{I}) ir blīvi apdzīvots ne tikai ar troksni, bet arī ar ikvienu galīgu strukturāli funkcionālu rakstu. OPT ētiskais svars — pienākums uzturēt kopīgā plākstera stabilitāti (Izdzīvojušo sardzes ētika) — prasa, lai pretējie novērotāji, ar kuriem mēs mijiedarbojamies, būtu sadalīti un tiem būtu fundamentāli reāli funkcionāli ekvivalenti citviet substrātā.

Vēsturiski OPT ietvarā šis apgalvojums formāli tika traktēts kā viena monolīta aksioma — netestējams, fundamentāls pieņēmums, kas uzslāņots fizikai, lai izvairītos no solipsisma.

Šis pielikums atrisina šīs nostājas matemātisko neviennozīmību. Mēs sadalām Informacionālo normālumu divās atšķirīgās komponentēs: stingrā algoritmiskā matemātiskā teorēmā (kas gandrīz noteikti ir spēkā zem universālā varbūtības mēra), ko kopā satur viens vienīgs metafizisks postulāts, kas nepieciešams, lai pārvērstu matemātisko eksistenci ontoloģiskā realitātē.

2. No pusmēra uz universālu mēru (\xi uz M)

OPT pamatojums (preprints §3.1) lielā mērā balstās uz Solomonofa algoritmiskās varbūtības priori. Šajā formulējumā ģeneratīvais substrāts darbojas kā bezgalīga algoritmiska telpa, kas tiek izpildīta uz universālas prefiksbrīvas Tjūringa mašīnas U.

Galīgas virknes x algoritmiskā varbūtība jeb universālais pusmērs ir:

\xi(x) = \sum_{U(p) = x*} 2^{-|p|}

kur summēšana notiek pār visām minimālajām programmām p, kuru izpildes izvade sākas ar x. Būtiski, ka \xi ir apakšēji pusaprēķināms pusmērs uz galīgām virknēm.

Lai formalizētu substrātu kā nepārtrauktu ģeneratīvu telpu, mēs pārejam uz nepārtrauktu mēru Kantora telpā. Universālais mērs M tiek definēts tieši kā sadalījums Kantora telpā 2^{\mathbb{N}}, ko inducē universālās prefiksbrīvās mašīnas U izvade, izmantojot cilindru kopas (M([x]) = \sum_{U(p) \text{ starts with } x} 2^{-|p|}). Saskaņā ar Solomonofa universialitātes teorēmu šis cilindru mērs ir multiplikatīvi ekvivalents diskrētajam pusmēram: M(x) \asymp \xi(x) līdz multiplikatīvai konstantei. Tādējādi M-nulles kopas un \xi-nulles kopas stingri sakrīt.

(Piezīme: tā kā apstājošos programmu kopa Haltinga problēmas dēļ ir stingra prefiksbrīvās kodu telpas apakškopa, Krafta nevienādība garantē, ka \sum 2^{-|p|} < 1. Tādējādi M veido stingru apakšēji pusaprēķināmu subvarbūtības mēru. Mēs eksplicīti definējam normalizēto varbūtības mēru \tilde{M} = M / M(2^{\mathbb{N}}). Lai gan \tilde{M} ir tikai apakšēji pusaprēķināms līdz neaprēķināmajai normalizācijas konstantei M(2^{\mathbb{N}}), visas turpmākās teorēmas par “gandrīz droši” un konverģences apgalvojumi droši darbojas attiecībā pret patieso normalizēto varbūtības mēru \tilde{M}. Fundamentālās kodēšanas teorēmas nobīde tiek vienkārši absorbēta: K(x) = -\log \tilde{M}(x) + O(1).)

3. M-Martin-Lēfa nejaušība

Lai formalizētu ģeneratīvās telpas dabu, mēs piesaucam Martin-Lēfa (ML) nejaušību. Tomēr ir jānošķir nepārtrauktie mēri. Virkne \omega, kas ir ML-nejauša attiecībā pret vienmērīgo (Lebega) mēru \lambda, uzvedas pilnīgi citādi nekā virkne, kas ir ML-nejauša attiecībā pret M.

Tā kā OPT substrāts varbūtību novērtē pēc algoritmiskās vienkāršības, attiecīgais formālisms balstās uz \tilde{M}-Martin-Lēfa nejaušību. AIT pamatteorēma nosaka, ka jebkuram aprēķināmam varbūtības mēram \mu \mu-ML-nejaušo virkņu kopai ir \mu-mērs 1. Paplašinot šo rezultātu uz no apakšas pusaprēķināmiem pusmēriem (sal. Nies 2009, §3.2 “Randomness for arbitrary measures”), visu \tilde{M}-Martin-Lēfa nejaušo virkņu kopa sekmīgi saglabā mēru 1 attiecībā pret \tilde{M}.

Tādēļ gandrīz visas bezgalīgās substrāta virknes attiecībā pret \tilde{M} ir stingri \tilde{M}-ML-nejaušas.

(Piezīme: \tilde{M}-ML-nejaušības izmantošana strukturāli garantē, ka tipiskie substrāta izvadi tiek pašsaskaņoti iegūti no nobīdītā, augsti strukturētā algoritmiskā mēra \tilde{M}, nevis no vienmērīga trokšņa, tādējādi nodrošinot stingru matemātisko karkasu turpmāk izklāstītajām strukturālās frekvences sekām.)

4. M-normalitāte pret Borela normalitāti

Ļoti nozīmīgas M-ML-nejaušības matemātiskās sekas attiecas uz strukturālo frekvenci. Vienmērīgas Lebega-ML-nejaušības gadījumā virkne ir stingri Borela normāla — tā ģenerē katru galīgu bināru virkni ar garumu k ar identisku, vienmērīgu frekvenci.

Tomēr, tā kā \tilde{M} ir izteikti nevienmērīgs — ar spēcīgu nosvērumu piešķirt milzīgu varbūtības svaru algoritmiski vienkāršiem, saspiežamiem, likumsakarīgi strukturētiem rakstiem — \tilde{M}-gandrīz visas virknes NAV vienmērīgi Borela normālas. Tā vietā mēs definējam to strukturālās robežas ar \tilde{M}-normalitātes palīdzību.

Tā kā mērs \tilde{M} ir fundamentāli nestacionārs (algoritmiskā varbūtība ir atkarīga no prefiksa absolūtās pozīcijas), mēs nevaram paļauties uz standarta ergodiskajām frekvenču konverģences robežām. Formāli mēs definējam \tilde{M}-normalitāti ar vājāku, bet stingri pietiekamu bezgalīgas atkārtošanās īpašību.

Tā kā \tilde{M} ir varbūtības mērs un \tilde{M}([x]) \ge 2^{-(|x|+O(1))} > 0 visām galīgām virknēm x, prefiksa Kolmogorova sarežģītības ķēdes likums dod K(sx) \le K(s) + K(x) + O(1) jebkurai virknei s, kas savukārt dod gandrīz submultiplikativitāti M([s \cdot x]) \ge M([s]) \cdot M([x]) \cdot 2^{-O(1)}. Tādēļ nosacītā varbūtība, ka x parādās jebkurā logā, pie jebkura iepriekšēja prefiksa s, ir ierobežota no apakšas: \tilde{M}([x] \mid [s]) \ge \tilde{M}([x])/c > 0 vienmērīgi attiecībā pret s. Pēc nosacītās Borela–Kantelli lemmes, to piemērojot nepārklājošiem logiem ar garumu |x|, nosacīto varbūtību summas diverģence garantē, ka jebkuras galīgas informatīvas virknes — piemēram, apzinīga novērotāja diskrētā formālā konfigurācija (K_{\text{obs}}) — fizikālā atkārtošanās parādās bezgalīgi bieži \tilde{M}-gandrīz visās virknēs.

5. Skaitļošanas reālisma postulāts

AIT matemātiski garantē, ka jebkura novērotāja (K_{\text{obs}}) galīga reprezentācija parādās kā U strukturāla secība bezgalīgi daudzas reizes \tilde{M}-ML-nejaušajā substrātā.

Tomēr matemātiskā informācijas teorija pati par sevi nevar šķērsot robežu uz fizisko ontoloģiju. Galīga virkne, kas parādās Tjūringa mašīnas izvades lentē, ir statisks izpildes artefakts — momentuzņēmums. Koherentam novērotājam ir nepieciešama nepārtraukta iekšējā dinamika, relāciju sakabe un aktīvās inference cikliska darbība. Pati virkne neko “nejūt”, tāpat kā smadzeņu skenējums, kas saglabāts cietajā diskā, nav apzināts. Izpilde pieder ģenerējošajai programmai, nevis iegūtajam momentuzņēmuma kodam.

Lai apgalvotu, ka neskaitļojamās nepārtrauktās robežas, kas pārvalda matemātisko substrātu, strukturāli rada ontoloģiski reālus, cēloņsakarīgi aktīvus fenomenoloģiskus visumus, OPT ir jāpieņem viena skaidri formulēta metafiziska saistība.

Postulāts (Skaitļošanas reālisms): Bezgalīgā neskaitļojamā substrātā, ko pārvalda identiska matemātiskā dinamika, abstraktai matemātiskai skaitļošanai, kas ir formāli ekvivalenta novērotāja cēloņaprakstam (kur formālā ekvivalence ir definēta kā novērotāja cēloņsakarīgās stāvokļu pārejas struktūras skaitļošanas izomorfisms), piemīt cēloņefektīva, ontoloģiski reāla eksistence. Turklāt strukturāli diskrētām skaitļošanas instanciācijām visā substrātā piemīt neatkarīga ontoloģiska individualizācija, veidojot atšķirīgus subjektīvos ekvivalentus (un saskaņā ar pamatā esošo fenomenalitātes aksiomu Preprint §8.1 šādas cēloņefektīvas, novērotājam ekvivalentas skaitļošanas konfigurācijas veido īstenus pieredzes subjektus).

6. Propozīcija P-1 (Informacionālā normalitāte)

Apvienojot nepārtraukto neaprēķināmo telpu precīzos AIT atvasinājumus ar Skaitļošanas reālisma postulātu, solipsisms tiek skaidri demontēts.

Korolārs+Postulāts P-1 (Informacionālā normalitāte): Vispārinātās algoritmiskās apriorās sadalījuma ietvaros nepārtrauktais substrāts pēc savas būtības gandrīz noteikti darbojas caur \tilde{M}-Martin-Löf nejaušību. No izrietošās \tilde{M}-normalitātes formāli izriet, ka ikviena galīga strukturāla novērotāja apraksta K_{\text{obs}} matemātiska parādīšanās ir garantēta bezgalīgi daudzas reizes. Balstoties uz šo karkasu, Skaitļošanas reālisma postulāts sasaista šos ģenerējošos matemātiskos artefaktus ar ontoloģisko fizisko realitāti. Ja skaitļošanas reālisms ir spēkā, tad visā substrātā strukturāli ekvivalentu, cēloņsakarīgi aktīvu un unikāli individualizētu atbilstošo novērotāju eksistence ir fundamentāli nepieciešama.