P-1 priedas: Informacinis normalumas per M-atsitiktinumą

Pradinė užduotis P-1: Informacinis normalumas Problema: Šiuo metu tai pamatinė aksioma, analogiška Borelio normalumui, tačiau be formalaus išvedimo. Rezultatas: Teoremos lygmens išvedimas, pasitelkiantis algoritminės informacijos teoriją (Martin-Löfo atsitiktinumą).

1. „Aksiomatinio“ normalumo episteminė riba

Sutvarkyto patch teorijoje (OPT) „Struktūrinė viltis“ struktūriškai remiasi Informacinio normalumo principu: teiginiu, kad algoritminis substratas (\mathcal{I}) yra tankiai užpildytas ne vien triukšmu, bet ir kiekvienu baigtiniu struktūriniu funkciniu šablonu. OPT etinis svoris — imperatyvas palaikyti bendro lopo stabilumą (Išgyvenusiųjų sargybos etika) — reikalauja, kad tie atitinkami stebėtojai, su kuriais sąveikaujame, kitur substrate turėtų pasiskirsčiusius, fundamentaliai realius funkcinius ekvivalentus.

Istoriškai OPT sistemoje šis teiginys formaliai buvo traktuojamas kaip viena monolitinė aksioma — netikrinama, pamatinė prielaida, prijungta prie fizikos tam, kad būtų išvengta solipsizmo.

Šis priedas išsprendžia šios pozicijos matematinį dviprasmiškumą. Informacinį normalumą išskaidome į du atskirus komponentus: griežtą algoritminę matematinę teoremą (kuri beveik užtikrintai galioja pagal universalųjį tikimybės matą), sujungtus vienu metafiziniu postulatu, būtinu tam, kad matematinė egzistencija būtų pervesta į ontologinę tikrovę.

2. Nuo pusmačio prie universalaus mato (\xi į M)

OPT pagrindas (preprinto §3.1) stipriai remiasi Solomonoffo algoritminės tikimybės prioru. Pagal šią formuluotę generatyvusis substratas veikia kaip begalinė algoritminė erdvė, vykdoma universalioje prefiksinėje Turingo mašinoje U.

Baigtinės eilutės x algoritminė tikimybė, arba universalus pusmatis, yra:

\xi(x) = \sum_{U(p) = x*} 2^{-|p|}

Čia suma imama per visas minimalias programas p, kurių vykdymo išvestis prasideda x. Esminga tai, kad \xi yra iš apačios pusiau apskaičiuojamas pusmatis baigtinių eilučių aibėje.

Norėdami formalizuoti substratą kaip tolydžią generatyvią erdvę, pereiname prie tolydaus mato Kantoro erdvėje. Universalus matas M apibrėžiamas tiesiogiai kaip skirstinys Kantoro erdvėje 2^{\mathbb{N}}, indukuotas universalios prefiksinės mašinos U išvesties per cilindrų aibes (M([x]) = \sum_{U(p) \text{ starts with } x} 2^{-|p|}). Pagal Solomonoffo universalumo teoremą šis cilindrų matas yra multiplikatyviai ekvivalentiškas diskrečiajam pusmačiui: M(x) \asymp \xi(x) iki multiplikatyvinės konstantos. Todėl M-nulinės aibės ir \xi-nulinės aibės griežtai sutampa.

(Pastaba: kadangi sustojančių programų aibė dėl sustojimo problemos yra tikroji prefiksinio kodo erdvės poaibė, Krafto nelygybė garantuoja, kad \sum 2^{-|p|} < 1. Taigi M sudaro griežtą iš apačios pusiau apskaičiuojamą subtikimybinį matą. Mes aiškiai apibrėžiame normuotą tikimybinį matą \tilde{M} = M / M(2^{\mathbb{N}}). Nors \tilde{M} yra iš apačios pusiau apskaičiuojamas tik iki neapskaičiuojamos normavimo konstantos M(2^{\mathbb{N}}), visos tolesnės teoremos apie „beveik tikrai“ ir konvergencijos teiginiai saugiai formuluojami tikrojo normuoto tikimybinio mato \tilde{M} atžvilgiu. Pamatinis kodavimo teoremos poslinkis tiesiog absorbuojamas: K(x) = -\log \tilde{M}(x) + O(1).)

3. M-Martin-Löf atsitiktinumas

Norėdami formalizuoti generatyviosios erdvės prigimtį, pasitelkiame Martin-Löf (ML) atsitiktinumą. Tačiau būtina skirti tolydžiuosius matus. Seka \omega, kuri yra ML-atsitiktinė vienodojo (Lebego) mato \lambda atžvilgiu, elgiasi visiškai kitaip nei seka, kuri yra ML-atsitiktinė M atžvilgiu.

Kadangi OPT substratas tikimybę vertina pagal algoritminį paprastumą, čia aktualus formalizmas remiasi \tilde{M}-Martin-Löf atsitiktinumu. Pamatinė AIT teorema teigia, kad bet kuriam apskaičiuojamam tikimybiniam matui \mu \mu-ML-atsitiktinių sekų aibė turi \mu-matą 1. Išplėtus šį rezultatą į apačios pusiau apskaičiuojamus pusmačius (plg. Nies 2009, §3.2 „Randomness for arbitrary measures“), visų \tilde{M}-Martin-Löf atsitiktinių sekų aibė sėkmingai išlaiko 1 matą \tilde{M} atžvilgiu.

Todėl beveik visos begalinės substrato sekos \tilde{M} atžvilgiu yra griežtai \tilde{M}-ML-atsitiktinės.

(Pastaba: \tilde{M}-ML-atsitiktinumo taikymas struktūriškai garantuoja, kad tipinės substrato išvestys yra savidermiškai imamos iš šališko, stipriai struktūruoto algoritminio mato \tilde{M}, o ne iš vienodojo triukšmo, taip suteikiant griežtą matematinį karkasą toliau aptariamoms struktūrinio dažnio pasekmėms.)

4. M-normalumas vs. Borelio normalumas

Labai reikšminga matematinė M-ML-atsitiktinumo pasekmė susijusi su struktūriniu dažniu. Esant tolygiajam Lebesgue’o-ML atsitiktinumui, seka yra griežtai Borelio normali — ji generuoja kiekvieną baigtinę ilgio k dvejetainę eilutę tuo pačiu, tolygiu dažniu.

Tačiau kadangi \tilde{M} yra aiškiai netolygus — stipriai pasviręs taip, kad algoritmiškai paprastiems, glaudžiamiesiems, dėsningai struktūruotiems šablonams priskirtų milžinišką tikimybės svorį — \tilde{M}-beveik-visos sekos NĖRA tolygiai Borelio normalios. Vietoj to jų struktūrines ribas apibrėžiame per \tilde{M}-normalumą.

Kadangi matas \tilde{M} iš esmės yra nestacionarus (algoritminė tikimybė priklauso nuo absoliučios prefikso padėties), negalime remtis standartinėmis ergodinėmis dažnių konvergencijos ribomis. Formaliai \tilde{M}-normalumą apibrėžiame silpnesne, bet griežtai pakankama begalinio pasikartojimo savybe.

Kadangi \tilde{M} yra tikimybinis matas ir visoms baigtinėms eilutėms x galioja \tilde{M}([x]) \ge 2^{-(|x|+O(1))} > 0, prefiksinio Kolmogorovo sudėtingumo grandinės taisyklė duoda K(sx) \le K(s) + K(x) + O(1) bet kuriai eilutei s, o iš to gaunamas beveik submultiplikatyvumas M([s \cdot x]) \ge M([s]) \cdot M([x]) \cdot 2^{-O(1)}. Todėl sąlyginė tikimybė, kad x pasirodys bet kuriame lange, esant bet kuriam ankstesniam prefiksui s, yra aprėžta iš apačios: \tilde{M}([x] \mid [s]) \ge \tilde{M}([x])/c > 0, tolygiai pagal s. Pagal sąlyginę Borelio-Kantelio lemą, taikomą nepersidengiantiems ilgio |x| langams, sąlyginių tikimybių sumos divergencija garantuoja, kad bet kurios baigtinės informacinės sekos — tokios kaip sąmoningo stebėtojo diskreti formalioji konfigūracija (K_{\text{obs}}) — fizinis pasikartojimas pasirodo be galo daug kartų \tilde{M}-beveik-visose sekose.

5. Komputacinio realizmo postulatas

AIT matematiškai garantuoja, kad bet kurio stebėtojo (K_{\text{obs}}) baigtinė reprezentacija pasirodo kaip struktūrinė U seka be galo daug kartų \tilde{M}-ML-atsitiktiniame substrate.

Tačiau matematinė informacijos teorija savaime negali peržengti ribos į fizinę ontologiją. Baigtinė eilutė, atsirandanti Tiuringo mašinos išvesties juostoje, yra statiškas vykdymo artefaktas — momentinė iškarpa. Koherentiškam stebėtojui reikalinga tęstinė vidinė dinamika, reliacinė sąsaja ir aktyviosios inferencijos ciklas. Pati eilutė nieko „nejaučia“, lygiai taip pat, kaip standžiajame diske saugomas smegenų skenas nėra sąmoningas. Vykdymas priklauso generuojančiai programai, o ne gautam momentinės iškarpos kodui.

Kad būtų galima teigti, jog neapskaičiuojamos tolydžios ribos, valdančios matematinį substratą, struktūriškai pagimdo ontologiškai realias, priežastiškai veiklias fenomenologines visatas, OPT turi prisiimti vieną aiškiai suformuluotą metafizinį įsipareigojimą.

Postulatas (Komputacinis realizmas): Begaliniame neapskaičiuojamame substrate, valdomame tapačios matematinės dinamikos, abstraktus matematinis skaičiavimas, formaliai ekvivalentiškas stebėtojo priežastiniam aprašui (kur formalus ekvivalentiškumas apibrėžiamas kaip stebėtojo priežastinės būsenų perėjimų struktūros komputacinis izomorfizmas), turi priežastinį veiksmingumą ir ontologiškai realų egzistavimą. Be to, struktūriškai diskrečios komputacinės instanciacijos substrate pasižymi nepriklausoma ontologine individuacija ir sudaro skirtingus subjektyvius atitikmenis (o pagal pamatinę fenomenalumo aksiomą Preprint §8.1 tokie priežastiškai veiksmingi, stebėtojui ekvivalentiški skaičiavimai sudaro autentiškus patirties subjektus).

6. Teiginys P-1 (Informacinis normalumas)

Sujungus tikslias AIT išvestis apie tolydžias neapskaičiuojamas erdves su Komputacinio realizmo postulatu, solipsizmas nuosekliai paneigiamas.

Koroliaras+Postulatas P-1 (Informacinis normalumas): Esant apibendrintam algoritminiam aprioriniam skirstiniui, tolydus substratas iš prigimties beveik užtikrintai veikia pagal \tilde{M}-Martin-Löf atsitiktinumą. Dėl iš to sekančio \tilde{M}-normalumo kiekvieno baigtinio struktūrinio stebėtojo aprašo K_{\text{obs}} matematinis pasireiškimas yra formaliai garantuotas be galo daug kartų. Remdamasis šiuo karkasu, Komputacinio realizmo postulatas sujungia šiuos generuojančius matematinius artefaktus su ontologine fizine tikrove. Jei komputacinis realizmas galioja, tuomet struktūriškai ekvivalenčių, priežastiškai aktyvių ir unikaliai individuotų atitikmeninių stebėtojų egzistavimas visame substrate yra fundamentaliai būtinas.