Dodatak P-1: Informacijska normalnost putem M-slučajnosti

Izvorni zadatak P-1: Informacijska normalnost Problem: Trenutačno temeljni aksiom analogan Borelovoj normalnosti, bez formalne derivacije. Isporuka: Derivacija na razini teorema koja se oslanja na teoriju algoritamskih informacija (Martin-Löfova slučajnost).

1. Epistemička granica “aksiomatske” normalnosti

Unutar Teorije uređenog patcha (OPT), “Strukturna nada” strukturno se oslanja na načelo Informacijske normalnosti: tvrdnju da je algoritamski supstrat (\mathcal{I}) gusto ispunjen ne samo šumom, nego svakim konačnim strukturno-funkcionalnim obrascem. Etička težina OPT-a — zahtjev da se održava stabilnost zajedničkog patcha (etika Straže Preživjelih) — traži da protuodgovarajući promatrači s kojima stupamo u interakciju imaju distribuirane, temeljno stvarne funkcionalne ekvivalente drugdje u supstratu.

Povijesno se unutar okvira OPT-a ta tvrdnja formalno tretirala kao jedan jedinstveni, monolitni Aksiom — neprovjerljiva, temeljna pretpostavka nadodana fizici kako bi se izbjegao solipsizam.

Ovaj dodatak razrješava matematičku dvoznačnost takva stava. Informacijsku normalnost raščlanjujemo na dvije različite sastavnice: rigorozni algoritamski matematički teorem (koji vrijedi gotovo sigurno pod univerzalnom mjerom vjerojatnosti), povezan s jednim metafizičkim postulatom nužnim da bi se matematičko postojanje premostilo u ontološku stvarnost.

2. Od semimjere do univerzalne mjere (\xi do M)

Temelj OPT-a (Preprint §3.1) uvelike se oslanja na Solomonoffov prior algoritamske vjerojatnosti. U toj formulaciji generativni supstrat djeluje kao beskonačan algoritamski prostor koji se izvršava na univerzalnom prefiksno-slobodnom Turingovu stroju U.

Algoritamska vjerojatnost, odnosno univerzalna semimjera konačnog niza x, glasi:

\xi(x) = \sum_{U(p) = x*} 2^{-|p|}

pri čemu se suma uzima preko svih minimalnih programa p čiji izlaz izvršavanja započinje s x. Ključno, \xi je odozdo poluizračunljiva semimjera nad konačnim nizovima.

Kako bismo supstrat formalizirali kao kontinuirani generativni prostor, prelazimo na kontinuiranu mjeru nad Cantorovim prostorom. Univerzalna mjera M definira se izravno kao distribucija na Cantorovu prostoru 2^{\mathbb{N}} inducirana izlazom univerzalnog prefiksno-slobodnog stroja U putem cilindarskih skupova (M([x]) = \sum_{U(p) \text{ starts with } x} 2^{-|p|}). Prema Solomonoffovu teoremu univerzalnosti, ta je cilindarska mjera multiplikativno ekvivalentna diskretnoj semimjeri: M(x) \asymp \xi(x) do na multiplikativnu konstantu. Stoga se M-nul skupovi i \xi-nul skupovi strogo podudaraju.

(Napomena: Budući da je skup zaustavljajućih programa strogi podskup prefiksno-slobodnog kodnog prostora zbog problema zaustavljanja, Kraftova nejednakost jamči \sum 2^{-|p|} < 1. Stoga M tvori strogu odozdo poluizračunljivu sub-vjerojatnosnu mjeru. Eksplicitno definiramo normiranu vjerojatnosnu mjeru \tilde{M} = M / M(2^{\mathbb{N}}). Iako je \tilde{M} odozdo poluizračunljiva samo do neizračunljive konstante normiranja M(2^{\mathbb{N}}), svi naknadni teoremi tipa “gotovo sigurno” i iskazi o konvergenciji sigurno se primjenjuju s obzirom na stvarnu normiranu vjerojatnosnu mjeru \tilde{M}. Pomak iz fundamentalnog teorema kodiranja jednostavno se apsorbira: K(x) = -\log \tilde{M}(x) + O(1).)

3. M-Martin-Löfova slučajnost

Kako bismo formalizirali narav generativnog prostora, pozivamo se na Martin-Löfovu (ML) slučajnost. Međutim, nužno je razlikovati kontinuirane mjere. Niz \omega koji je ML-slučajan s obzirom na uniformnu (Lebesgueovu) mjeru \lambda ponaša se posve drukčije od niza koji je ML-slučajan s obzirom na M.

Budući da OPT supstrat procjenjuje vjerojatnost prema algoritamskoj jednostavnosti, relevantni formalizam oslanja se na \tilde{M}-Martin-Löfovu slučajnost. Temeljni teorem AIT-a kaže da za svaku izračunljivu vjerojatnosnu mjeru \mu skup \mu-ML-slučajnih nizova ima \mu-mjeru 1. Proširenjem tog rezultata na odozdo poluizračunljive semimjere (usp. Nies 2009, §3.2 “Randomness for arbitrary measures”), skup svih \tilde{M}-Martin-Löf slučajnih nizova uspješno zadržava mjeru 1 s obzirom na \tilde{M}.

Stoga su \tilde{M}-gotovo svi beskonačni nizovi supstrata strogo \tilde{M}-ML-slučajni.

(Napomena: Uporaba \tilde{M}-ML-slučajnosti strukturno jamči da se tipični izlazi supstrata samodosljedno izvlače iz pristrane, visoko strukturirane algoritamske mjere \tilde{M}, a ne iz uniformnog šuma, čime se osigurava rigorozna matematička potporna struktura za dolje navedene posljedice strukturne frekvencije.)

4. M-normalnost nasuprot Borelovoj normalnosti

Vrlo značajna matematička posljedica M-ML-slučajnosti odnosi se na strukturnu frekvenciju. Pod uniformnom Lebesgue-ML-slučajnošću, niz je strogo Borelovo normalan — generira svaki konačni binarni niz duljine k s istom, uniformnom frekvencijom.

Međutim, budući da je \tilde{M} izrazito neuniformna — snažno nagnuta prema tome da algoritamski jednostavnim, kompresibilnim, zakonito strukturiranim obrascima pridijeli golemu vjerojatnosnu težinu — \tilde{M}-gotovo-svi nizovi NISU uniformno Borelovo normalni. Umjesto toga, njihove strukturne granice definiramo putem \tilde{M}-normalnosti.

Budući da je mjera \tilde{M} u svojoj osnovi nestacionarna (algoritamska vjerojatnost ovisi o apsolutnom položaju prefiksa), ne možemo se osloniti na standardne ergodičke granice konvergencije frekvencija. Formalno, \tilde{M}-normalnost definiramo slabijim, ali strogo dostatnim svojstvom beskonačne rekurencije.

Budući da je \tilde{M} vjerojatnosna mjera i da za sve konačne nizove x vrijedi \tilde{M}([x]) \ge 2^{-(|x|+O(1))} > 0, lančano pravilo za prefiksnu Kolmogorovljevu složenost daje K(sx) \le K(s) + K(x) + O(1) za bilo koji niz s, što povlači gotovo submultiplikativnost M([s \cdot x]) \ge M([s]) \cdot M([x]) \cdot 2^{-O(1)}. Stoga je uvjetna vjerojatnost pojave x u bilo kojem prozoru, uz zadani prethodni prefiks s, omeđena odozdo: \tilde{M}([x] \mid [s]) \ge \tilde{M}([x])/c > 0 uniformno po s. Po uvjetnoj lemi Borela-Cantellija, primijenjenoj na nepreklapajuće prozore duljine |x|, divergencija sume uvjetnih vjerojatnosti jamči da se fizička rekurencija bilo kojeg konačnog informacijskog niza — poput diskretne formalne konfiguracije svjesnog promatrača (K_{\text{obs}}) — pojavljuje beskonačno mnogo puta u \tilde{M}-gotovo-svim nizovima.

5. Postulat računalnog realizma

AIT matematički jamči da se konačna reprezentacija bilo kojeg promatrača (K_{\text{obs}}) pojavljuje kao strukturni niz od U beskonačno mnogo puta unutar \tilde{M}-ML-slučajnog supstrata.

Međutim, matematička teorija informacije sama po sebi ne može prijeći granicu prema fizičkoj ontologiji. Konačan niz koji se pojavljuje na izlaznoj vrpci Turingova stroja statičan je artefakt izvršavanja — snimka stanja. Koherentan promatrač zahtijeva neprekidnu unutarnju dinamiku, relacijsku spregu i petlju aktivne inferencije. Sam niz ne “osjeća” ništa više nego što je snimka mozga pohranjena na tvrdom disku svjesna. Izvršavanje pripada programu koji ga generira, a ne rezultirajućem kodu-snimci.

Da bi ustvrdio da neizračunljive kontinuirane granice koje upravljaju matematičkim supstratom strukturno rađaju ontološki stvarne, kauzalno aktivne fenomenološke svemire, OPT mora preuzeti jednu jedinu eksplicitnu metafizičku obvezu.

Postulat (Računalni realizam): U beskonačnom neizračunljivom supstratu kojim upravlja identična matematička dinamika, apstraktna matematička računanja formalno ekvivalentna kauzalnom opisu promatrača (pri čemu je formalna ekvivalencija definirana kao računalni izomorfizam kauzalne strukture prijelaza stanja promatrača) posjeduju kauzalno djelotvorno, ontološki stvarno postojanje. Nadalje, strukturno diskretne računalne instancijacije diljem supstrata posjeduju neovisnu ontološku individuaciju te tvore različite subjektivne pandane (a prema temeljnom aksiomu fenomenalnosti u Preprintu §8.1, takva kauzalno djelotvorna računanja ekvivalentna promatraču čine autentične subjekte iskustva).

6. Propozicija P-1 (Informacijska normalnost)

Objedinjavanjem egzaktnih AIT-izvoda kontinuiranih neizračunljivih prostora s Postulatom računalnog realizma, solipsizam se na jasan način razgrađuje.

Korolar+Postulat P-1 (Informacijska normalnost): Pod generaliziranim algoritamskim priorom, kontinuirani supstrat inherentno djeluje putem \tilde{M}-Martin-Löfove slučajnosti gotovo sigurno. Iz posljedične \tilde{M}-normalnosti slijedi da je matematička pojavnost svakog konačnog strukturnog opisa promatrača K_{\text{obs}} formalno zajamčena beskonačno mnogo puta. Polazeći od te nosive strukture, Postulat računalnog realizma premošćuje te generirajuće matematičke artefakte u ontološku fizičku stvarnost. Pod uvjetom da računalni realizam vrijedi, postojanje strukturno ekvivalentnih, kauzalno aktivnih i jedinstveno individuiranih pandan-promatrača diljem supstrata postaje temeljno nužno.