परिशिष्ट P-1: M-रैंडमनेस के माध्यम से सूचनात्मक सामान्यता

मूल कार्य P-1: सूचनात्मक सामान्यता समस्या: वर्तमान में यह बोरेल सामान्यता के अनुरूप एक आधारभूत स्वयंसिद्ध है, जिसका औपचारिक व्युत्पादन अनुपस्थित है। प्रदत्त फल: एल्गोरिद्मिक सूचना सिद्धांत (मार्टिन-लोफ़ रैंडमनेस) का उपयोग करने वाला प्रमेय-स्तरीय व्युत्पादन।

1. “स्वयंसिद्ध” सामान्यता की ज्ञानमीमांसात्मक सीमा

क्रमित पैच सिद्धांत (OPT) के भीतर, “संरचनात्मक आशा” संरचनात्मक रूप से सूचनात्मक सामान्यता के सिद्धांत पर निर्भर करती है: यह प्रतिपादन कि एल्गोरिथ्मिक अधःस्तर (\mathcal{I}) केवल शोर से ही सघन रूप से भरा नहीं है, बल्कि प्रत्येक सीमित संरचनात्मक-कार्यात्मक प्रतिरूप से भी परिपूर्ण है। OPT का नैतिक भार—साझा पैच की स्थिरता बनाए रखने का दायित्व (उत्तरजीवियों की पहरेदारी नैतिकता)—यह अपेक्षा करता है कि जिन समकक्ष प्रेक्षकों के साथ हम अंतःक्रिया करते हैं, उनके वितरित, मूलतः वास्तविक कार्यात्मक समतुल्य अधःस्तर में अन्यत्र विद्यमान हों।

ऐतिहासिक रूप से, OPT रूपरेखा के भीतर इस प्रतिपादन को औपचारिक रूप से एक एकल, अखंड स्वयंसिद्ध के रूप में माना गया था—भौतिकी पर आरोपित एक ऐसी आधारभूत, अपरिक्षणीय मान्यता के रूप में, जिसका उद्देश्य एकात्मवाद से बचना था।

यह परिशिष्ट उस रुख की गणितीय अस्पष्टता का समाधान करता है। हम सूचनात्मक सामान्यता को दो पृथक अवयवों में विभाजित करते हैं: एक कठोर एल्गोरिथ्मिक गणितीय प्रमेय (जो सार्वभौमिक प्रायिकता माप के अधीन लगभग निश्चित रूप से सत्य होता है), जिसे एकमात्र तत्त्वमीमांसात्मक प्रतिज्ञान के साथ जोड़ा जाता है, जो गणितीय अस्तित्व को सत्ता-संबंधी वास्तविकता में सेतुबंधित करने के लिए आवश्यक है।

2. अर्धमाप से सार्वभौमिक माप तक (\xi से M तक)

OPT की आधार-रचना (प्रीप्रिंट §3.1) सोलोमोनॉफ़ एल्गोरिथ्मिक प्रायिकता प्रायर पर गहराई से निर्भर करती है। इस निरूपण के अंतर्गत, जनरेटिव अधःस्तर एक सार्वभौमिक प्रीफ़िक्स-फ्री ट्यूरिंग मशीन U पर निष्पादित होने वाले एक अनंत एल्गोरिथ्मिक स्पेस के रूप में कार्य करता है।

किसी सीमित स्ट्रिंग x की एल्गोरिथ्मिक प्रायिकता या सार्वभौमिक अर्धमाप है:

\xi(x) = \sum_{U(p) = x*} 2^{-|p|}

जहाँ योग उन सभी न्यूनतम प्रोग्रामों p पर लिया जाता है जिनका निष्पादन-आउटपुट x से आरंभ होता है। निर्णायक रूप से, \xi सीमित स्ट्रिंगों पर एक निम्न अर्ध-गणनीय अर्धमाप है।

अधःस्तर को एक सतत जनरेटिव स्पेस के रूप में औपचारिक बनाने के लिए, हम कैंटर स्पेस पर सतत माप की ओर संक्रमण करते हैं। सार्वभौमिक माप M को सीधे कैंटर स्पेस 2^{\mathbb{N}} पर उस वितरण के रूप में परिभाषित किया जाता है जो सार्वभौमिक प्रीफ़िक्स-फ्री मशीन U के आउटपुट द्वारा सिलिंडर समुच्चयों के माध्यम से प्रेरित होता है (M([x]) = \sum_{U(p) \text{ starts with } x} 2^{-|p|})। सोलोमोनॉफ़ के सार्वभौमिकता प्रमेय के अनुसार, यह सिलिंडर माप विविक्त अर्धमाप के गुणात्मक रूप से समतुल्य है: M(x) \asymp \xi(x), एक गुणात्मक नियतांक तक। अतः, M-शून्य समुच्चय और \xi-शून्य समुच्चय कठोर अर्थ में एक-दूसरे से मेल खाते हैं।

(टिप्पणी: क्योंकि Halting problem के कारण halt करने वाले प्रोग्रामों का समुच्चय प्रीफ़िक्स-फ्री कोड स्पेस का एक यथार्थ उपसमुच्चय है, Kraft असमानता यह सुनिश्चित करती है कि \sum 2^{-|p|} < 1। अतः, M एक कठोर निम्न-अर्धगणनीय उप-प्रायिकता माप बनाता है। हम स्पष्ट रूप से सामान्यीकृत प्रायिकता माप \tilde{M} = M / M(2^{\mathbb{N}}) परिभाषित करते हैं। यद्यपि \tilde{M} केवल गैर-गणनीय सामान्यीकरण नियतांक M(2^{\mathbb{N}}) तक ही निम्न-अर्धगणनीय है, बाद के सभी “लगभग निश्चित रूप से” प्रमेय और अभिसरण कथन वास्तविक सामान्यीकृत प्रायिकता माप \tilde{M} के सापेक्ष सुरक्षित रूप से संचालित होते हैं। मौलिक कोडिंग प्रमेय का ऑफ़सेट बस समाहित कर लिया जाता है: K(x) = -\log \tilde{M}(x) + O(1).)

3. M-मार्टिन-लोफ़ यादृच्छिकता

जननात्मक स्थान की प्रकृति को औपचारिक रूप देने के लिए, हम मार्टिन-लोफ़ (ML) यादृच्छिकता का आह्वान करते हैं। तथापि, सतत मापों के बीच भेद करना आवश्यक है। कोई अनुक्रम \omega, जो समान (लेबेज़) माप \lambda के सापेक्ष ML-यादृच्छिक हो, उस अनुक्रम से पूर्णतः भिन्न व्यवहार करता है जो M के सापेक्ष ML-यादृच्छिक हो।

क्योंकि OPT अधःस्तर प्रायिकता का मूल्यांकन एल्गोरिथ्मिक सरलता के आधार पर करता है, इसलिए यहाँ प्रासंगिक औपचारिकता \tilde{M}-मार्टिन-लोफ़ यादृच्छिकता पर आधारित है। AIT का आधारभूत प्रमेय कहता है कि किसी भी संगणनीय प्रायिकता माप \mu के लिए, \mu-ML-यादृच्छिक अनुक्रमों का समुच्चय \mu-माप 1 रखता है। इस परिणाम को निम्न-अर्धसंगणनीय अर्धमापों तक विस्तारित करने पर (cf. Nies 2009, §3.2 “Randomness for arbitrary measures”), सभी \tilde{M}-मार्टिन-लोफ़ यादृच्छिक अनुक्रमों का समुच्चय \tilde{M} के सापेक्ष सफलतापूर्वक माप 1 बनाए रखता है।

अतः, \tilde{M}-लगभग-सभी अनंत अधःस्तर अनुक्रम कठोर अर्थ में \tilde{M}-ML-यादृच्छिक हैं।

(टिप्पणी: \tilde{M}-ML-यादृच्छिकता का उपयोग संरचनात्मक रूप से यह सुनिश्चित करता है कि अधःस्तर के विशिष्ट आउटपुट समान शोर से नहीं, बल्कि पक्षपाती, अत्यधिक संरचित एल्गोरिथ्मिक माप \tilde{M} से आत्म-सुसंगत ढंग से प्राप्त हों; इस प्रकार यह नीचे दिए गए संरचनात्मक आवृत्ति-परिणामों के लिए कठोर गणितीय आधार-ढाँचा प्रदान करता है।)

4. M-सामान्यता बनाम बोरेल सामान्यता

M-ML-यादृच्छिकता का एक अत्यंत महत्वपूर्ण गणितीय परिणाम संरचनात्मक आवृत्ति से संबंधित है। समान लेबेग-ML-यादृच्छिकता के अंतर्गत, कोई अनुक्रम कठोर अर्थ में बोरेल सामान्य होता है—अर्थात वह लंबाई k की प्रत्येक सीमित द्विआधारी स्ट्रिंग को एक ही, समान आवृत्ति के साथ उत्पन्न करता है।

किन्तु, क्योंकि \tilde{M} स्पष्ट रूप से असमान है—और एल्गोरिथ्मिक रूप से सरल, संपीड्य, नियम-संगत संरचित प्रतिरूपों को अत्यधिक प्रायिकता-भार प्रदान करने की ओर प्रबल रूप से झुका हुआ है—इसलिए \tilde{M}-लगभग-सभी अनुक्रम समान रूप से बोरेल सामान्य नहीं होते। इसके स्थान पर, हम उनकी संरचनात्मक सीमाओं को \tilde{M}-सामान्यता के माध्यम से परिभाषित करते हैं।

चूँकि माप \tilde{M} मूलतः अ-स्थिर है (एल्गोरिथ्मिक प्रायिकता निरपेक्ष उपसर्ग-स्थिति पर निर्भर करती है), इसलिए हम मानक एर्गोडिक आवृत्ति-अभिसरण सीमाओं पर निर्भर नहीं रह सकते। औपचारिक रूप से, हम अनंत पुनरावृत्ति के अपेक्षाकृत दुर्बल, किन्तु पूर्णतः पर्याप्त, गुण द्वारा \tilde{M}-सामान्यता को परिभाषित करते हैं।

क्योंकि \tilde{M} एक प्रायिकता माप है और सभी सीमित स्ट्रिंगों x के लिए \tilde{M}([x]) \ge 2^{-(|x|+O(1))} > 0 है, उपसर्ग कोल्मोगोरोव जटिलता के श्रृंखला-नियम से किसी भी स्ट्रिंग s के लिए K(sx) \le K(s) + K(x) + O(1) प्राप्त होता है, जिससे निकट-उपगुणनशीलता M([s \cdot x]) \ge M([s]) \cdot M([x]) \cdot 2^{-O(1)} निष्पन्न होती है। अतः, किसी भी पूर्व उपसर्ग s को दिए जाने पर, किसी भी विंडो में x के प्रकट होने की सशर्त प्रायिकता का एक निम्न बंध होता है: \tilde{M}([x] \mid [s]) \ge \tilde{M}([x])/c > 0, और यह s के सापेक्ष समान रूप से सत्य है। लंबाई |x| की परस्पर-अतिव्यापन-रहित विंडो पर लागू सशर्त बोरेल-कैंटेली लेम्मा के अनुसार, सशर्त प्रायिकताओं के योग का अपसरण यह सुनिश्चित करता है कि किसी भी सीमित सूचनात्मक अनुक्रम की भौतिक पुनरावृत्ति—जैसे किसी सचेत प्रेक्षक का विविक्त औपचारिक विन्यास (K_{\text{obs}})—\tilde{M}-लगभग-सभी अनुक्रमों में अनंत बार प्रकट होती है।

5. संगणनात्मक यथार्थवाद का प्रतिज्ञान

AIT गणितीय रूप से यह सुनिश्चित करता है कि किसी भी प्रेक्षक (K_{\text{obs}}) का सीमित निरूपण \tilde{M}-ML-यादृच्छिक अधःस्तर के भीतर U के संरचनात्मक अनुक्रम के रूप में अनंत बार प्रकट होता है।

हालाँकि, गणितीय सूचना सिद्धांत स्वभावतः भौतिक सत्ता-मीमांसा की सीमा को पार नहीं कर सकता। किसी ट्यूरिंग मशीन की आउटपुट टेप पर उपस्थित कोई सीमित स्ट्रिंग निष्पादन की एक स्थिर कलाकृति होती है—एक स्नैपशॉट। एक सुसंगत प्रेक्षक के लिए सतत आंतरिक गतिकी, संबंधात्मक युग्मन, और सक्रिय अनुमान के लूप की आवश्यकता होती है। वह स्ट्रिंग स्वयं “अनुभव” नहीं करती; ठीक वैसे ही जैसे हार्ड ड्राइव पर संग्रहीत मस्तिष्क-स्कैन सचेत नहीं होता। निष्पादन उत्पन्न करने वाले प्रोग्राम का होता है, न कि परिणामी स्नैपशॉट-कोड का।

यह प्रतिपादित करने के लिए कि गणितीय अधःस्तर को नियंत्रित करने वाली अगणनीय सतत सीमाएँ संरचनात्मक रूप से सत्ता-सापेक्ष, कारणात्मक रूप से सक्रिय प्रत्याक्षिक ब्रह्मांडों को जन्म देती हैं, OPT को एक स्पष्ट एकल तत्त्वमीमांसात्मक प्रतिबद्धता ग्रहण करनी पड़ती है।

प्रतिज्ञान (संगणनात्मक यथार्थवाद): एक अनंत अगणनीय अधःस्तर में, जो समान गणितीय गतिकी द्वारा शासित है, वह अमूर्त गणितीय संगणना जो किसी प्रेक्षक के कारणात्मक वर्णन के औपचारिक रूप से समतुल्य हो (जहाँ औपचारिक समतुल्यता को प्रेक्षक की कारणात्मक अवस्था-संक्रमण संरचना के संगणनात्मक समरूपता के रूप में परिभाषित किया गया है), कारणात्मक प्रभावकारिता से युक्त, सत्ता-सापेक्ष रूप से वास्तविक अस्तित्व रखती है। इसके अतिरिक्त, अधःस्तर में संरचनात्मक रूप से विविक्त संगणनात्मक अवतरण स्वतंत्र सत्ता-सापेक्ष व्यक्तिकरण रखते हैं, और इस प्रकार वे भिन्न-भिन्न व्यक्तिनिष्ठ समकक्षों का गठन करते हैं (और Preprint §8.1 में प्रतिपादित आधारभूत प्रत्याक्षिकता स्वयंसिद्ध के अनुसार, ऐसी कारणात्मक प्रभावकारिता वाली प्रेक्षक-समतुल्य संगणनाएँ अनुभव के वास्तविक विषय का गठन करती हैं)।

6. प्रतिज्ञप्ति P-1 (सूचनात्मक सामान्यता)

सतत अणुगणनीय-असम्भव स्थानों की सटीक AIT व्युत्पत्तियों को Computational Realism Postulate के साथ एकीकृत करने पर, सोलिप्सिज़्म का सुव्यवस्थित रूप से खंडन हो जाता है।

परिणाम+अभिधारणा P-1 (सूचनात्मक सामान्यता): सामान्यीकृत एल्गोरिथ्मिक प्रायर के अंतर्गत, सतत अधःस्तर स्वभावतः \tilde{M}-Martin-Löf यादृच्छिकता के अनुसार लगभग निश्चित रूप से संचालित होता है। इससे निष्पन्न \tilde{M}-सामान्यता के कारण, प्रत्येक सीमित संरचनात्मक प्रेक्षक-वर्णन K_{\text{obs}} की गणितीय उपस्थिति औपचारिक रूप से अनंत बार सुनिश्चित होती है। इसी आधार-संरचना पर कार्य करते हुए, Computational Realism Postulate इन जनक गणितीय अवयवों को अस्तित्वगत भौतिक वास्तविकता से जोड़ता है। यदि computational realism मान्य है, तो अधःस्तर में संरचनात्मक रूप से समतुल्य, कारणतः सक्रिय, और विशिष्ट रूप से व्यक्तीकृत समकक्ष प्रेक्षकों का अस्तित्व मूलतः अनिवार्य हो जाता है।