Liite P-1: Informaationaalinen normaalisuus M-satunnaisuuden kautta

Alkuperäinen tehtävä P-1: Informaationaalinen normaalisuus Ongelma: Tällä hetkellä perustava aksiooma, analoginen Borelin normaalisuudelle, vailla formaalia johtamista. Tuotos: Teoreematasoinen johtaminen, joka hyödyntää algoritmisen informaation teoriaa (Martin-Löfin satunnaisuus).

1. “Aksiomaattisen” normaalisuuden episteminen raja

Järjestetyn patchin teoriassa (OPT) “rakenteellinen toivo” nojaa rakenteellisesti informaationormaalisuuden periaatteeseen: väitteeseen, jonka mukaan algoritminen substraatti (\mathcal{I}) ei ole tiheästi asutettu pelkällä kohinalla, vaan jokaisella äärellisellä rakenteellisella funktionaalisella kuviolla. OPT:n eettinen painoarvo — velvoite ylläpitää jaetun patchin vakautta (Selviytyjien vartio -etiikka) — edellyttää, että vastinhavaitsijoilla, joiden kanssa olemme vuorovaikutuksessa, on muualla substraatissa jakautuneita, perustavasti reaalisia funktionaalisia ekvivalentteja.

Historiallisesti OPT-kehyksessä tätä väitettä käsiteltiin muodollisesti yhtenä monoliittisena aksioomana — testaamattomana, perustavana oletuksena, joka lisättiin fysiikan päälle solipsismin välttämiseksi.

Tämä liite ratkaisee tämän kannan matemaattisen epäselvyyden. Jaamme informaationormaalisuuden kahteen erilliseen osaan: täsmälliseen algoritmiseen matemaattiseen lauseeseen (joka pätee lähes varmasti universaalin todennäköisyysmitan alaisuudessa), joita sitoo yhteen yksi metafyysinen postulaatti, joka on välttämätön matemaattisen olemassaolon silloittamiseksi ontologiseksi todellisuudeksi.

2. Puolimittasta universaaliin mittaan (\xi:stä M:ään)

OPT:n perusta (preprintti §3.1) nojaa vahvasti Solomonoffin algoritmisen todennäköisyyden priori-jakaumaan. Tässä muotoilussa generatiivinen substraatti toimii äärettömänä algoritmisena avaruutena, joka suorittuu universaalilla etuliitevapaalla Turingin koneella U.

Äärellisen merkkijonon x algoritminen todennäköisyys eli universaali puolimitta on:

\xi(x) = \sum_{U(p) = x*} 2^{-|p|}

Missä summa otetaan kaikkien niiden minimaalisten ohjelmien p yli, joiden suoritus alkaa tuottaa tulostetta, jonka alku on x. Ratkaisevasti \xi on äärellisten merkkijonojen yli määritelty alhaalta puoliksi laskettava puolimitta.

Jotta substraatti voidaan formalisoida jatkuvana generatiivisena avaruutena, siirrymme Cantorin avaruuden jatkuvaan mittaan. Universaali mitta M määritellään suoraan Cantorin avaruuden 2^{\mathbb{N}} jakaumana, jonka universaalin etuliitevapaan koneen U tuloste indusoi sylinterijoukkojen kautta (M([x]) = \sum_{U(p) \text{ starts with } x} 2^{-|p|}). Solomonoffin universaalisuusteoreeman nojalla tämä sylinterimitta on multiplikatiivisesti ekvivalentti diskreetin puolimitan kanssa: M(x) \asymp \xi(x) multiplikatiiviseen vakioon asti. Näin ollen M-nollajoukot ja \xi-nollajoukot yhtyvät täsmällisesti.

(Huomautus: Koska pysähtyvien ohjelmien joukko on pysähtymisongelman vuoksi aito osajoukko etuliitevapaasta koodiavaruudesta, Kraftin epäyhtälö takaa, että \sum 2^{-|p|} < 1. Siten M muodostaa aidon alhaalta puoliksi laskettavan osatodennäköisyysmitan. Määrittelemme eksplisiittisesti normitetun todennäköisyysmitan \tilde{M} = M / M(2^{\mathbb{N}}). Vaikka \tilde{M} on alhaalta puoliksi laskettava vain ei-laskettavan normitusvakion M(2^{\mathbb{N}}) tarkkuudella, kaikki myöhemmät “melkein varmasti” -teoreemat ja konvergenssiväitteet toimivat turvallisesti suhteessa todelliseen normitettuun todennäköisyysmittaan \tilde{M}. Perustavan koodausteoreeman siirtymätermi yksinkertaisesti absorboidaan: K(x) = -\log \tilde{M}(x) + O(1).)

3. M-Martin-Löf-satunnaisuus

Generatiivisen avaruuden luonteen formalisoimiseksi vetoamme Martin-Löfin (ML) satunnaisuuteen. On kuitenkin erotettava toisistaan jatkuvat mitat. Jono \omega, joka on ML-satunnainen tasaisen (Lebesguen) mitan \lambda suhteen, käyttäytyy täysin eri tavoin kuin jono, joka on ML-satunnainen M:n suhteen.

Koska OPT:n substraatti arvioi todennäköisyyttä algoritmisen yksinkertaisuuden perusteella, relevantti formalismi nojaa \tilde{M}-Martin-Löf-satunnaisuuteen. AIT:n perustavanlaatuinen lause toteaa, että mille tahansa laskettavalle todennäköisyysmitalla \mu \mu-ML-satunnaisten jonojen joukolla on \mu-mitta 1. Kun tämä tulos laajennetaan alhaalta puoliksi laskettaviin puolimittoihin (vrt. Nies 2009, §3.2 “Randomness for arbitrary measures”), kaikkien \tilde{M}-Martin-Löf-satunnaisten jonojen joukko säilyttää onnistuneesti mitan 1 \tilde{M}:n suhteen.

Siksi \tilde{M}-melkein-kaikki äärettömät substraattijonot ovat aidosti \tilde{M}-ML-satunnaisia.

(Huom.: \tilde{M}-ML-satunnaisuuden käyttö takaa rakenteellisesti, että substraatin tyypilliset ulostulot poimitaan itsejohdonmukaisesti vinoutuneesta, voimakkaasti jäsentyneestä algoritmisesta mitasta \tilde{M} eivätkä tasaisesta kohinasta, mikä tarjoaa alla seuraaville rakenteellisen frekvenssin seurauksille täsmällisen matemaattisen tukirakenteen.)

4. M-normaalisuus vs. Borel-normaalisuus

M-ML-satunnaisuuden erittäin merkittävä matemaattinen seuraus liittyy rakenteelliseen frekvenssiin. Yhtenäisen Lebesgue-ML-satunnaisuuden alaisuudessa jono on aidosti Borel-normaali — se tuottaa jokaisen pituuden k äärellisen binäärimerkkijonon samalla, yhtenäisellä frekvenssillä.

Koska \tilde{M} on kuitenkin selvästi epäyhtenäinen — painottuen voimakkaasti siten, että se antaa valtavan todennäköisyysmassan algoritmisesti yksinkertaisille, pakattaville ja lainalaisesti jäsentyneille kuvioille — \tilde{M}-melkein-kaikki jonot EIVÄT ole yhtenäisesti Borel-normaaleja. Sen sijaan määrittelemme niiden rakenteelliset rajat \tilde{M}-normaalisuuden avulla.

Koska mitta \tilde{M} on perustavasti epästationaarinen (algoritminen todennäköisyys riippuu prefiksin absoluuttisesta sijainnista), emme voi tukeutua standardeihin ergodisiin frekvenssikonvergenssin raja-arvoihin. Muodollisesti määrittelemme \tilde{M}-normaalisuuden heikomman mutta silti täysin riittävän ominaisuuden, äärettömän uusiutumisen, avulla.

Koska \tilde{M} on todennäköisyysmitta ja \tilde{M}([x]) \ge 2^{-(|x|+O(1))} > 0 kaikille äärellisille merkkijonoille x, prefiksi-Kolmogorov-kompleksisuuden ketjusääntö antaa mille tahansa merkkijonolle s epäyhtälön K(sx) \le K(s) + K(x) + O(1), mistä seuraa lähes submultiplikatiivisuus M([s \cdot x]) \ge M([s]) \cdot M([x]) \cdot 2^{-O(1)}. Tästä seuraa, että ehdollinen todennäköisyys sille, että x esiintyy missä tahansa ikkunassa, annetulla millä tahansa aiemmalla prefiksillä s, on alhaalta rajoitettu: \tilde{M}([x] \mid [s]) \ge \tilde{M}([x])/c > 0 yhtenäisesti muuttujan s suhteen. Kun epäpäällekkäisiin pituuden |x| ikkunoihin sovelletaan ehdollista Borel–Cantellin lemmaa, ehdollisten todennäköisyyksien summan divergenssi takaa, että minkä tahansa äärellisen informaatiosekvenssin — kuten tietoisen havaitsijan diskreetin formaalin konfiguraation (K_{\text{obs}}) — fysikaalinen uusiutuminen esiintyy äärettömän monta kertaa \tilde{M}-melkein-kaikissa jonoissa.

5. Laskennallisen realismin postulaatti

AIT takaa matemaattisesti, että minkä tahansa havaitsijan (K_{\text{obs}}) äärellinen representaatio ilmenee U:n rakenteellisena sekvenssinä äärettömän monta kertaa \tilde{M}-ML-satunnaisessa substraatissa.

Matemaattinen informaatioteoria ei kuitenkaan itsessään voi ylittää rajaa fysikaaliseen ontologiaan. Turingin koneen tulostusnauhalla esiintyvä äärellinen merkkijono on suorituksen staattinen artefakti — tilannekuva. Koherentti havaitsija edellyttää jatkuvaa sisäistä dynamiikkaa, relationaalista kytkeytymistä ja aktiivisen inferenssin silmukointia. Merkkijono itsessään ei “tunne” sen enempää kuin kiintolevylle tallennettu aivoskannaus on tietoinen. Suoritus kuuluu generoivalle ohjelmalle, ei tuloksena syntyvälle tilannekuvakoodille.

Jotta voitaisiin väittää, että matemaattista substraattia hallitsevat ei-laskettavat jatkuvat rajat rakenteellisesti synnyttävät ontologisesti todellisia, kausaalisesti aktiivisia fenomenologisia universumeja, OPT:n on tehtävä yksi eksplisiittinen metafyysinen sitoumus.

Postulaatti (Laskennallinen realismi): Äärettömässä ei-laskettavassa substraatissa, jota hallitsevat identtiset matemaattiset dynamiikat, abstraktilla matemaattisella laskennalla, joka on formaalisti ekvivalentti havaitsijan kausaalisen kuvauksen kanssa (missä formaali ekvivalenssi määritellään havaitsijan kausaalisen tilasiirtymärakenteen laskennallisena isomorfismina), on kausaalisesti vaikuttava, ontologisesti todellinen olemassaolo. Lisäksi substraatin rakenteellisesti diskreeteillä laskennallisilla instansseilla on itsenäinen ontologinen individuaatio, ja ne muodostavat erillisiä subjektiivisia vastineita (ja Preprintin §8.1:n perustavan fenomenaalisuuden aksiooman nojalla tällaiset kausaalisesti vaikuttavat, havaitsijaekvivalentit laskennat muodostavat aitoja kokemuksen subjekteja).

6. Propositio P-1 (informaationormaalius)

Yhdistämällä jatkuvien laskennallisesti ratkeamattomien avaruuksien täsmälliset AIT-johtamiset Laskennallisen realismin postulaattiin solipsismi puretaan siististi.

Korollaari+postulaatti P-1 (informaationormaalius): Yleistetyn algoritmisen priorin alaisuudessa jatkuva substraatti toimii luontaisesti \tilde{M}-Martin-Löf-satunnaisuuden kautta lähes varmasti. Seuraavasta \tilde{M}-normaalisuudesta seuraa, että jokaisen äärellisen rakenteellisen havaitsijakuvauksen K_{\text{obs}} matemaattinen esiintyminen on muodollisesti taattu äärettömän monta kertaa. Tämän kehikon varassa Laskennallisen realismin postulaatti silloittaa nämä generoivat matemaattiset artefaktit ontologiseksi fysikaaliseksi todellisuudeksi. Edellyttäen, että laskennallinen realismi pätee, rakenteellisesti ekvivalenttien, kausaalisesti aktiivisten ja yksilöllisesti eriytyneiden vastinehavaitsijoiden olemassaolo kautta koko substraatin on perustavasti välttämätöntä.