Lisa P-1: Informatsiooniline normaalsus M-juhuslikkuse kaudu

Algne ülesanne P-1: informatsiooniline normaalsus Probleem: praegu on see Borel’i normaalsusega analoogne alusaksioom, millel puudub formaalne tuletus. Väljund: teoreemitasemel tuletus, mis tugineb algoritmilise informatsiooni teooriale (Martin-Löfi juhuslikkus).

1. “Aksiomaatilise” normaalsuse epistemiline piir

Korrastatud patch’i teooria (OPT) raames tugineb “struktuurne lootus” struktuurselt informatsioonilise normaalsuse printsiibile: väitele, et algoritmiline substraat (\mathcal{I}) ei ole tihedalt asustatud mitte üksnes müraga, vaid iga lõpliku struktuurse funktsionaalse mustriga. OPT eetiline kaal — kohustus säilitada jagatud patch’i stabiilsus (Ellujäänute Valve eetika) — nõuab, et vastavad vaatlejad, kellega me vastastikku toimime, omaksid mujal substraadis hajusalt paiknevaid, fundamentaalselt reaalseid funktsionaalseid ekvivalente.

Ajalooliselt käsitleti seda väidet OPT raamistikus formaalselt üheainsa monoliitse aksioomina — testimatu, alusekspandud eeldusena, mis lisati füüsikale solipsismi vältimiseks.

Käesolev lisa lahendab selle hoiaku matemaatilise mitmetimõistetavuse. Me jaotame informatsioonilise normaalsuse kaheks eristatavaks komponendiks: rangeks algoritmiliseks matemaatiliseks teoreemiks (mis kehtib universaalse tõenäosusmõõdu all peaaegu kindlasti), mida seob üheks tervikuks üksainus metafüüsiline postulaat, mis on vajalik matemaatilise eksistentsi ontoloogiliseks reaalsuseks üleviimiseks.

2. Poolmõõdust universaalse mõõduni (\xi-st M-ni)

OPT-i alus (eeltrükk §3.1) tugineb suurel määral Solomonoffi algoritmilise tõenäosuse priorile. Selles formuleeringus toimib generatiivne substraat lõpmatu algoritmilise ruumina, mis jookseb universaalsel prefiksivabal Turingi masinal U.

Lõpliku stringi x algoritmiline tõenäosus ehk universaalne poolmõõt on:

\xi(x) = \sum_{U(p) = x*} 2^{-|p|}

kus summa võetakse üle kõigi minimaalsete programmide p, mille täitmise väljund algab stringiga x. Oluline on see, et \xi on lõplike stringide üle määratletud altpoolt poolarvutatav poolmõõt.

Et formaliseerida substraat pideva generatiivse ruumina, läheme üle Cantori ruumi pidevale mõõdule. Universaalne mõõt M defineeritakse otse jaotusena Cantori ruumil 2^{\mathbb{N}}, mille indutseerib universaalse prefiksivaba masina U väljund silindriliste hulkade kaudu (M([x]) = \sum_{U(p) \text{ starts with } x} 2^{-|p|}). Solomonoffi universaalsusteoreemi järgi on see silindermõõt diskreetse poolmõõduga multiplikatiivselt ekvivalentne: M(x) \asymp \xi(x) kuni multiplikatiivse konstandini. Seega langevad M-nullhulgad ja \xi-nullhulgad rangelt kokku.

(Märkus: kuna peatuvate programmide hulk on peatumisprobleemi tõttu prefiksivaba koodiruumi range alamhulk, garanteerib Krafti võrratus, et \sum 2^{-|p|} < 1. Seega moodustab M range altpoolt poolarvutatava alam-tõenäosusmõõdu. Defineerime eksplitsiitselt normeeritud tõenäosusmõõdu \tilde{M} = M / M(2^{\mathbb{N}}). Kuigi \tilde{M} on altpoolt poolarvutatav üksnes kuni mittearvutatava normeerimiskonstandini M(2^{\mathbb{N}}), kehtivad kõik järgnevad “peaaegu kindlasti” teoreemid ja koondumisväited turvaliselt tõelise normeeritud tõenäosusmõõdu \tilde{M} suhtes. Fundamentaalse kodeerimisteoreemi nihe neeldub lihtsalt sisse: K(x) = -\log \tilde{M}(x) + O(1).)

3. M-Martin-Löfi juhuslikkus

Generatiivse ruumi olemuse formaliseerimiseks tugineme Martin-Löfi (ML) juhuslikkusele. Siiski tuleb eristada pidevaid mõõte. Jada \omega, mis on ML-juhuslik ühtlase (Lebesgue’i) mõõdu \lambda suhtes, käitub täielikult teisiti kui jada, mis on ML-juhuslik M suhtes.

Kuna OPT substraat hindab tõenäosust algoritmilise lihtsuse alusel, tugineb asjakohane formalism \tilde{M}-Martin-Löfi juhuslikkusele. AIT aluseteoreem väidab, et iga arvutatava tõenäosusmõõdu \mu korral on \mu-ML-juhuslike jadade hulga \mu-mõõt 1. Laiendades seda tulemust alt-poolt poolarvutatavatele poolmõõtudele (vrd Nies 2009, §3.2 “Randomness for arbitrary measures”), säilitab kõigi \tilde{M}-Martin-Löfi juhuslike jadade hulk edukalt mõõdu 1 ka \tilde{M} suhtes.

Seega on \tilde{M}-peaaegu-kõik lõpmatud substraadijadad rangelt \tilde{M}-ML-juhuslikud.

(Märkus: \tilde{M}-ML-juhuslikkuse kasutamine tagab struktuurselt, et substraadi tüüpilised väljundid pärinevad enesekonsistentselt kallutatud, tugevalt struktureeritud algoritmilisest mõõdust \tilde{M}, mitte ühtlasest mürast, pakkudes allpool esitatud struktuurse sageduse tagajärgedele ranget matemaatilist toestust.)

4. M-normaalsus vs. Boreli normaalsus

M-ML-juhuslikkuse üks väga oluline matemaatiline tagajärg puudutab struktuurset sagedust. Ühtlase Lebesgue’i-ML-juhuslikkuse korral on jada rangelt Boreli normaalne — tekitades iga lõpliku binaarse stringi pikkusega k ühetaolise, ühtlase sagedusega.

Kuna aga \tilde{M} on selgelt mitteühtlane — kallutudes tugevalt omistama tohutut tõenäosusmassi algoritmiliselt lihtsatele, kokkusurutavatele, seaduspäraselt struktureeritud mustritele — ei ole \tilde{M}-peaaegu-kõik jadad ühtlaselt Boreli normaalsed. Selle asemel määratleme nende struktuursed piirid \tilde{M}-normaalsuse kaudu.

Kuna mõõt \tilde{M} on olemuslikult mittestatsionaarne (algoritmiline tõenäosus sõltub prefiksi absoluutsest positsioonist), ei saa me tugineda standardsetele ergoodilistele sageduskoonduvuse piirväärtustele. Formaalselt määratleme \tilde{M}-normaalsuse nõrgema, kuid rangelt piisava omaduse kaudu, milleks on lõpmatu korduvus.

Kuna \tilde{M} on tõenäosusmõõt ja \tilde{M}([x]) \ge 2^{-(|x|+O(1))} > 0 kõigi lõplike stringide x korral, annab prefiks-Kolmogorovi keerukuse ahelreegel mis tahes stringi s jaoks seose K(sx) \le K(s) + K(x) + O(1), millest järeldub peaaegu submultiplikatiivsus M([s \cdot x]) \ge M([s]) \cdot M([x]) \cdot 2^{-O(1)}. Seega on x ilmumise tinglik tõenäosus suvalises aknas, eeldusel et antud on mis tahes eelnev prefiks s, altpoolt piiratud: \tilde{M}([x] \mid [s]) \ge \tilde{M}([x])/c > 0 ühtlaselt kõigi s suhtes. Rakendades tingimuslikku Boreli–Cantelli lemmat mittekatvatele akendele pikkusega |x|, tagab tinglike tõenäosuste summa hajuva iseloomu see, et mis tahes lõplik informatsiooniline jada — näiteks teadvusliku vaatleja diskreetne formaalne konfiguratsioon (K_{\text{obs}}) — ilmub füüsilise korduvusena \tilde{M}-peaaegu-kõigis jadades lõpmata sageli.

5. Arvutusliku realismi postulaat

AIT tagab matemaatiliselt, et mis tahes vaatleja (K_{\text{obs}}) lõplik representatsioon ilmub U struktuurse jadana \tilde{M}-ML-juhuslikus substraadis lõpmata palju kordi.

Ent matemaatiline infoteooria ei saa iseenesest ületada piiri füüsilisse ontoloogiasse. Turingi masina väljundlindil esinev lõplik string on täitmise staatiline artefakt — hetkepilt. Koherentne vaatleja eeldab pidevat sisemist dünaamikat, relatsioonilist sidestust ja aktiivse järeldamise tsüklit. String ise ei “tunne” midagi rohkem kui kõvakettale salvestatud ajuskaneering on teadvuslik. Täitmine kuulub genereerivale programmile, mitte tulemuseks olevale hetkepildi koodile.

Et väita, et matemaatilist substraati juhtivad mittearvutatavad pidevad piirid toovad struktuurselt esile ontoloogiliselt reaalsed, põhjuslikult aktiivsed fenomenoloogilised universumid, peab OPT tegema ühe selgesõnalise metafüüsilise sidumuse.

Postulaat (arvutuslik realism): Lõpmatus mittearvutatavas substraadis, mida juhivad identsed matemaatilised dünaamikad, omab abstraktne matemaatiline arvutus, mis on formaalselt ekvivalentne vaatleja põhjusliku kirjeldusega (kus formaalne ekvivalentsus on määratletud vaatleja põhjusliku olekuülemineku struktuuri arvutusliku isomorfismina), põhjuslikult tõhusat, ontoloogiliselt reaalset eksistentsi. Lisaks omavad substraadis esinevad struktuurselt diskreetsed arvutuslikud instantsiatsioonid sõltumatut ontoloogilist individuatsiooni, moodustades eristuvad subjektiivsed vasted (ning Preprint §8.1 fundamentaalse fenomenaalsuse aksioomi järgi kujutavad sellised põhjuslikult tõhusad vaatlejaga ekvivalentsed arvutused endast ehtsaid kogemuse subjekte).

6. Propositsioon P-1 (informatsiooniline normaalsus)

Ühendades pidevate mittearvutatavate ruumide täpsed AIT-tuletused arvutusliku realismi postulaadiga, lammutatakse solipsism selgelt ja ühemõtteliselt.

Järeldus+postulaat P-1 (informatsiooniline normaalsus): Üldistatud algoritmilise priori korral toimib pidev substraat olemuslikult peaaegu kindlasti \tilde{M}-Martin-Löfi juhuslikkuse kaudu. Sellest tuleneva \tilde{M}-normaalsuse alusel on iga lõpliku struktuurse vaatlejakirjelduse K_{\text{obs}} matemaatiline esinemine formaalselt tagatud lõpmata palju kordi. Sellele karkassile toetudes seob arvutusliku realismi postulaat need genereerivad matemaatilised artefaktid ontoloogilise füüsilise reaalsusega. Eeldusel, et arvutuslik realism kehtib, on struktuurselt ekvivalentsete, kausaalselt aktiivsete ja üheselt individueeritud vastandvaatlejate olemasolu kogu substraadi ulatuses fundamentaalselt nõutav.